江苏省苏州市吴中区2025-2026学年九年级（上）期中数学试卷(含答案)

第=page77页，共=sectionpages2222页2025-2026学年江苏省苏州市吴中区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1.下列方程中，属于一元二次方程的是(

)A.x+1=0 B.x2=2x−1 C.2y−x=1 2.方程x2=3x的解为(

)A.x=3 B.x=0 C.x1=0,x3.已知x−2yy=25，则xA.54 B.45 C.5124.九年级(1)班甲、乙、丙、丁四名同学几次数学测试成绩的平均数x(分)及方差s2甲乙丙丁平均数(分)95979597方差0.50.50.20.2老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.若函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠06.一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是(

)A.16 B.13 C.127.如图，在△ABC中，DE//BC，若ADDB=23，则S△ADE:S△BECA.2:15 B.4:15 C.4:9 D.3:158.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=32x2−23x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点是该抛物线对称轴上的一点，则A.3 B.23 C.3+2二、填空题9.方程x2=9的解是

.10.已知关于x的一元二次方程2x2+x−m=0没有实数根，则m的取值范围是

11.一组数据4，1，7，4，5，6则这组数据的极差为

.12.三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，则该三角形的周长为

.13.将函数y=3x2的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为

.14.两个相似三角形的一组对应边长分别为15和27，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是

.15.某款汽车价格由2024年8月份29万元/辆下降到10月份的23.49万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为

.16.如图，已知二次函数y=−x2−5x+6的图象交x轴于A，B两点(A在B左边)，交y轴于C点，点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与A，C重合)，则P点到直线AC距离的最大值是

____.

三、解答题17.解方程：(1)x218.如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B,C的坐标分别为A(1,2),B(0,1),C(2,0)，先以原点O为位似中心在第三象限画一个△A1B1C(1)画出△A1B1(2)求△A19.阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长(单位：小时)的情况，对全班40名学生进行问卷调查．所得的结果如图所示：(1)这40名学生上周阅读时间的众数为

小时，中位数为

小时；(2)求这40名学生上周在家阅读的平均时长？20.已知抛物线y=x(1)求证：不论m取何值时，抛物线必与x轴相交于两点；(2)若抛物线与x轴的一个交点为2,0，试求m的值与另一个交点的坐标．21.如图，在ΔABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：(1)△ABE∼△ACD(2)AD⋅BC=DE⋅AC22.如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法(画树状图或列表)求A，C两个区域所涂颜色不相同的概率．23.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：ΔABE∽ΔDFA；(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．24.“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件(20≤x≤40).(1)请用含售价x(元/件)的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．25.定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求26.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x−3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A和点C.

(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．27.【定义与性质】如图，记二次函数y=ax−b2+c和y=−ax−p定义：若抛物线C1的顶点Qp,q在抛物线C上，则称C1性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点Pb,c【理解与运用】(1)若二次函数y=−12x−22+m和y=−12x−n2(2)【思考与探究】设函数y=x2①若函数y=−x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点x1,0，x

参考答案一．选择题1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

6.A

7.B

8.B

二、填空题9.x=±3

10.m<−111.6

12.12

13.y=3x14.45

15.291−x16.92三、解答题17.（1）解：x2分解因式得，x−6x+1所以x−6=0或x+1=0，解得，x1=6，（2）解：3x−2移项，得3x−2分解因式得，x−23x−2−x∴x−2=0或2x−6=0，解得，x1=218.解：（1）依题意，A1−2,−4,故答案为：−2,−4（2）S19.解：（1）∵40名学生中阅读时间为7小时的有15人，最多，∴众数为7小时，中位数为第20和第21名学生阅读的平均数，即6+72故答案为：7，6.5；（2）40名学生上周在家阅读的平均时长=10×5+10×6+15×7+5×8答：40名学生上周在家阅读的平均时长为6.375小时．20.（1）证明：Δ=−2故此抛物线与x轴有两个交点；（2）解：将2,0代入y=x2−2∴抛物线解析式为y=x令y=0得到x2解得：x=±2，∴抛物线与x轴另一交点为−2,021.解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB=∠ADC=90在△ABE和△ACD中∠ADC=∠AEB=90∴△ABE∽△ACD；（2）∵△ABE∽△ACD，∴在△ADE和△ACB中，AE∴△ADE∽△ACB∴∴AD⋅BC=DE⋅AC.22.解：画树状图如答图：∵共有8种不同的涂色方法，其中A，C两个区域所涂颜色不相同的情况有4种，∴P(A,C两个区域所涂颜色不相同)=23.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90∘∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90∴∠B=∠DFA，∴ΔABE∽ΔDFA.（2）∵ΔABE∽ΔDFA，∴∵BC=4，E是BC的中点，∴BE=∴在RtΔABE中，AE=又∵AD=BC=4，∴6∴DF=24.解：（1）∵该商品的售价为x元/件(20≤x≤40)，且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40−x)=(180−3x)件；（2）①依题意，得：(x−20)(180−3x)=900，整理，得：x2解得：x1=30，x2答：该商品的售价为30元/件；②0.5×(180−3×30)=45(元)，答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．25.解：（1）点D是ΔABC的“理想点”，理由如下：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，AD⋅AB=8，∵AC=2∴AC∴AC∴AC∵∠A=∠A，∴ΔACD∽ΔABC，∴∠ACD=∠B，∴点D是ΔABC的“理想点”；（2）(2)①D在AB上时，如图：∵D是ΔABC的“理想点”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，当∠ACD=∠B时，∵∠ACD+∠BCD=90∴∠BCD+∠B=90∴∠CDB=90∘，即CD是当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90∘，即CD是在RtΔABC中，∠ACB=90∘，AB=5，∴BC=∵S∴CD=12②∵AC=4，BC=3，∴AC>BC有∠B>∠A，∴

“理想点”D不可能在BC边上，③D在AC边上时，如图：∵D是ΔABC的“理想点”，∴∠DBC=∠A，又∠C=∠C，∴ΔBDC∽ΔABC，∴CDBC=∴CD=9综上所述，点D是ΔABC的“理想点”，CD的长为125或26.（1）解：∵一次函数y=x−3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，∴A(3,0)，B(0,−3)，∵点B关于x轴的对称点是C，∴C(0,3)，∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A∴c=3∴b=2，c=3，∴二次函数的解析式为：y=−（2）∵A(3,0)，C(0,3)，平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E，设E(m,m−3)，则D(m+3,m−6)，∵D落在二次函数在第四象限的图象上，∴−(m+3)m1=1，m2∴D(4,−5)，（3）∵C(0,3)，D(4,−5)，∴b=3解得k=−2b=3∴直线CD的解析式为y=−2x+3，令y=0，则x=3∴M(3∵一次函数y=x−3的图象与x轴交于A(3,0)，C(0,3)，∴AO=3，OC=3，∴∠OAC=45过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC，∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，设P(m,−m2+2m+3)∴PE=PN−EN=−m∴EN=−m+3，AE=2(−π+3)∴CF=AC−AE−EF=①当△COM∽△PFC，PFCF∴解得m1=0，舍去，②当△COM∽△CFP时，PFCF∴解得m1=0(舍去)，综合可得P点的横坐标为53或27.解：（1）二次函数y=−12x−22+m∴点2,m,n,1代入得：m=12×解得：m=2，n=±1，故答案为：2；±1；（2）①y=x∴顶