四川省自贡市荣县中学校2025-2026学年下学期高二年级数学入学巩固练习（含解析）

数学入学巩固练习一、单选题(40分)1.已知空间向量a=1,p,4,b=3,A.10B.12C.14D.162.已知数列1,3,5,7,A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项3.已知双曲线C:x2−yA.x±3C.x±3y4.已知an是等比数列，a2=2,A.12B.6C.20D.505.如图,在四面体PABC中,PA=a,PB=b,PC=c.点E在棱PB上,且BE=A.12aC.12a6.已知圆C1:x2+y2+6x+5=0和圆C2:x2+y2−A.x236+y2277.中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图,若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系,半椭球面的方程为x2a2+y2b2+z2c2=1(z≥0,,a,b,c>0,且A.1B.2C.3D.48.已知直线l:2x+3y=0与双曲线C:A.132,+∞C.1,13二、多选题(18分)9.甲、乙两位射击爱好者,各射击10次,甲的环数从小到大排列为4,5,5,6,6,7,7,8,8,9，乙的环数从小到大排列为2,5,6,6,7,7,7,8,9,10，则()A.甲、乙的第70百分位数相等B.甲的极差比乙的极差小C.甲的平均数比乙的平均数大D.甲的方差比乙的方差大10.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1A.三棱锥A1−B.EC.二面角E−A1BD.存在某个点E,使直线A1E与平面ABCD所成角为11.已知抛物线Γ:x2=aya>0的焦点为F,O为坐标原点,过点A.点F的坐标为0B.过点A作抛物线准线的垂线，垂足为A1，则A1C.若1≤a≤2,则抛物线上的点到直线xD.过点P−1,−2作抛物线Γ的两条切线,切点分别为M,N,则点P到直线三、填空题(15分)12.抛物线y=813.一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)14.数列an的前n项和为Sn=2n四、解答题15.已知等差数列an前n项和为S(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn(2)设数列bn=3Sn，求证:bn是等比数列，并求出bn的前16.某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了100名学生的成绩,并以[50,60),[(1)求频率分布直方图中x的值；(2)估计这100名学生成绩的第25百分位数；(3)现从样本成绩在[70,80)与[80,90)两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人.写出试验的样本空间,并求这17.设圆C的圆心C在直线l:2x−7y+8=0上，且(1)求圆C的标准方程；(2)若直线m:x−y+3=0与圆C相交于18.如图,在四棱锥P−ABCD中,侧面PAD为等腰直角三角形,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,BC(1)求证:PO⊥CD(2)求平面PAD与平面PCD所成的锐角二面角的余弦值.19.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l交椭圆E于R,S两点，RS的中点坐标为T1,14(3)如图所示，过点P−2,1的直线与椭圆E交于不同的两点C,D，过点C作x轴的垂线分别与直线AD,AB交于点M,N1.C因为a//b,所以解得:p=2,q=故选:C.2.B由题意可知,被开方数是首项为1,公差为2的等差数列,所以该数列的通项公式为an=2n−1,令2n故选:B.3.B由双曲线C:x2−y∴e所以双曲线的渐近线方程为y=±即3x故选:B4.D由等比数列性质可得a52=a2a8,又a2=2,5.AEF=EP+PC+CF,因为E在棱PB上,且又F为AC中点,所以CF=故EF=−故选:A6.A圆C1:x2+圆C2:x2+设动圆的圆心为P,半径为r,由题意得PC1=r+所以动圆圆心P的轨迹是以C1,C2设椭圆方程为x2a2+y得a=6,c=P的轨迹方程为x2故选:A7.B在x2a2+y2b2+z2c2=1中,令且πa2=m2π,则a=b=m若ac=m2,则mc=m2,可得c若ac>m,则mc>m>0故选:B.8.D双曲线C:x2a2因为直线l:2x+3y=0与C无公共点，所以−所以e=ca=1+b2a2≤133故选:D.9.AB对于A,因为10×70%=7,所以甲的环数的70百分位数是7+82=7.5对于B,甲的极差为9−4=5,乙的极差为10−2对于C,甲的平均数为4+52+5+6+6对于D,根据题中数据可知,甲数据分布更集中,而乙数据分布更分散,甲的方差比乙的方差小,故D错误.故选:AB10.ABC对于选项A:三棱锥A1−AB1E因为平面AA1B1B//平面DCC1D1,所以E对于选项B:如图建系,设DE=t,则因为EB所以得EB1⊥AD1对于选项D:取平面ABCD的法向量为n=因为A1则设直线A1E与平面ABCD所成角θ,则当t=0时，sinθmax=12，这时直线A1E与平面ABCD所成角对于选项C:设平面EA1B1所以A1B1⋅所以令x=1,可得m=1,0,−1设二面角E−A1B1−A所以二面角E−A1B1−A的大小为故选:ABC.11.ABD如图:易得F0,a4,设直线AB将直线y=kx+a4与抛物线x化简整理得x2−akx−a所以x2a=−a4所以kOB=kOA1,又O为公共点,所以A设抛物线上的点Qx0,1ax02到直线x−令t=−x0​2a+x0−2a,Δ=所以d=x02a−x0+2a2,当x0=a2时,故a=2时2a−a42取得最小值设Mx3,y3,Nx4,y4,则抛物线Γ:x2=aya>0在M处的切线为:又点P−1,−2所以直线MN的方程为:−2=−2ax点P到直线MN的距离为:d1令fa=2+令f′a=0当0<a<8时，f′a>0；当故a=8时fa取得最大值:f8故选:ABD12.1抛物线y=8x2化为标准方程为抛物线x2=18y故答案为:113.2.5圆柱的底面半径为4 cm,设铁球的半径为r,且r由圆柱与球的性质知AB即4r∴r故答案为:2.5.14.19a5故答案为:1915.(1)设等差数列an的公差为d由题意可得a1则an(2)将Sn代入得:bn又b1所以bn为首项为3,公比为3所以前2n项和T2n16.(1)由已知可得0.01×2+0.03×(2)由于第一组的频率为0.1，前两组的频率之和为0.1+0.3所以第25百分位数a∈则0.1+a−60×故这100名学生成绩的第25百分位数为65分;(3)由(1)可知，[70,80)与故这两组中所抽取的人数分别为3,2,记成绩在[70,80)这组的3成绩在[80,90)这组的2则从中任取2人的所有可能结果为a,b、a,c其中恰有1人成绩在[70,80)为a,d、a,17.1(2)1(1)设所求圆的方程为x−由题意得6解得a=因此所求圆的方程为x−(2)设MN中点为D，由垂径定理可知，CD⊥m，又因为km=1，所以直线可得直线CD方程为x+联立x−y+3=0x+y−5=018.(1)连接OC,由PA=PD,O为AD又:四边形ABCD为直角梯形,BC//所以AO//BC,AO=BC∴OC在△POC中,PC则PC2=PO又AD⊂平面ABCD,OC⊂∴PO⊥平面又CD⊂平面ABCD,∴(2)由(1)可得OC,OD,OP两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OC，OD，OP方向为A易知平面PAD的法向量为m=1设平面PCD的法向量为n=x,y,z，DC则n⋅DC=0n⋅DP=0∴cos⟨m故平面PAD与平面PCD所成的锐角二面角的余弦值为3319.(1)由题可知b=112a×b=22,得(2)设Rx1,y1,Sx2,y2所以x1−x2⋅直线l的方程为:y−14=−所以直线l的方程为:8x(3)方法一:点N为线段CM的中点，理由如下:由题知直线的斜率存在，如下图所示:设过点P−2,1的直线CD的方程为y−联立y=kx+2整理得1+由Δ=42k2+设Cx则x直线AD的