四川遂宁市射洪中学校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含解析）

射洪中学高2023级高三下期入学考试数学试题考试时间:120分钟试卷满分:150分注意事项:1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题:(本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z满足iz=−2+3i，其中iA.3,−2B.−3,−2.已知全集U={−1,0,A.{−1,0,1}3.设a,b是向量,则“a+b⋅a−b=0”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.现有甲、乙两台机床同时生产直径为40 mm的零件,从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是A.甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差B.乙机床数据比甲机床数据更稳定C.甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数D.甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数5.若m为直线，α,βA.若m//α,n⊂α,则m//nC.若m//α,m⊥β,则α⊥β6.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有()A.12种B.24种C.36种D.48种7.若log22x−y=2A.23B.29C.28.已知a>1,若函数fx=axlnA.e,+∞B.1,eC.2e,+∞二、多选题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.设等差数列an的前n项的和为Sn,若a1A.a1>C.当n=4时,SD.数列Snn10.已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,A.fB.fx的零点个数为C.fx的极值点个数为D.若方程fx=t有三个实数根,则t11.已知函数fx=3A.fx的图象可由y=2sin3xB.直线x=2π9是C.fx在区间−πD.y=fx−sinx在区间三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.正项等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a13.直线ax−2y+5=0与圆x2+y2=2相交于A,14.已知三棱锥P−ABC中,Q为BC中点,PB=PC=AB=BC=AC=4,侧面四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求A；(2)若sinB+sinC=11316.某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果(“次品”或“合格品”)得到如下列联表:生产批次产品检测结果合计次品合格品第一批次10190200第二批次40260300合计50450500(1)根据小概率值α=0.01的χ(2)用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品.(i)求取出的产品是次品的概率；(ii)已知取出的产品是次品,求它是从第一批次的产品中取出的概率.参考公式:χ2=nad−参考数据:α0.150.100.050.010x2.0722.7063.8416.63517.已知椭圆x2a2+y2b2=(1)求椭圆的方程；(2)已知过原点的直线l1与椭圆相交于M,N两点，若直线l2:x−2y+42=0上存在点Q，18.如图,直角梯形ABCD,AB//CD,BC⊥CD,AE⊥CD,M为AD中点,将△(1)求证:PC//平面BEM(2)若平面AEP⊥平面ABCE，AE=PE=4，(i)当λ=13时,求证:平面PBC⊥(ii)当二面角P−EM−N的正弦值为4171719.拉格朗日(Lagrange)中值定理,是微分学中的基本定理之一,反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下:若函数fx在a,b上连续,且其导函数为f′x,那么在开区间a,b内至少存在一点ξ(1)求函数fx在1e(2)已知0<a(i)2ξ<(ii)若对满足0<a<b<3a条件的a,b,不等式f1.D由iz=−2+3则z在复平面内对应点的坐标为3,故选:D2.D因为A={x∈Z∥x−1∣<故选:D.3.B因为a+b⋅a−b=a2可知a+b⋅a−若a=b或a=−b,可得a=b若a+b⋅a−b=0,即a=例如a=1,0,b=0,1,满足a综上所述，“a+b⋅a−b=0”是故选:B.4.C对于A:甲机床数据的极差为40.2−39.8=0.4,乙机床数据的极差为40.1−39.9对于B:乙机床数据比甲机床数据更集中，所以乙机床数据比甲机床数据更稳定，故B正确;对于C:甲机床数据的平均数为1乙机床数据的平均数为110故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数,故C错误;对于D:甲机床数据从小到大排列为:39.8,39.8,39.9,40,40,40.1,40.2,40.2,40.2,故中位数为40+乙机床数据从小到大排列为:39.9,39.9,39.9,40,40,40,40,40.1,40.1,40.1,故中位数为40+402=故选:C5.C对于A,若m//α,n⊂α,则m对于B,若m⊥α,m⊥β,则α对于C,若m//α,则存在直线所以由m⊥β可得a⊥β,故α⊥β对于D,m⊂α,α⊥β,则m与β可平行或相交或故选:C.6.B因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看做一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有:3!x×2故选:B7.B因为log22x−y=2,所以所以19当且仅当3−2x=3y,即y=−故选:B.8.B由题意f′x=axlna2−e,令f′x0=ax0lna2−e=0,得x0当x>logaelna2时,f′x=故当x=x0=logaelna由此可知当x→+∞时,fx=xaxf若函数fx=fx的最小值f又a>1,所以lna2<1,lna>即a的取值范围是1,e故选:B.9.ACD因为a5<0,a对于选项A:可得公差d=a5−对于选项B:可得S9=9a对于选项C:因为等差数列an当n≤4时，an>0；当n≥所以当n=4时，Sn对于选项D:因为Sn则Sn所以数列Snn是递减数列,故故选:ACD.10.BD函数fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,A,f−1B,f−3=−fC,当x>0时,求导得由0<x<1,得f′x<0函数fx在0,1上单调递减,在当x=1时,fx取得极小值由奇函数的性质得在x<0时,fx取得极大值因此fx的极值点个数为2,CD,在坐标平面内作出函数y=f观察图象得当且仅当3<t<2e或t=0时,函数y=fx的图象与直线y=t有故选:BD11.ABDfx对A:将y=2sin3x的图象向右平移y=2sin3对B:x=2π9时,由直线x=π2是函数故直线x=2π9是fx的图象的一条对称轴,故对C:x∈−π18由函数y=sinx在−故fx在区间−π18,5π18对D:令y=fx−sinx则y=fx−sinx的零点个数即为y=作出y=fx与y=sinx由图可得,两函数图象在0,2π上共有即y=fx−sinx在区间0,12.3当q=1时,3a1=S3=∴S3=a∵本题正确结果:313.±依题意,圆心为O0,0,半径为因为∠AOB=90∘，所以△AOB为等腰直角三角形，所以AB=2+2=2又圆心O到直线AB:ax−2y+5所以5a2+4=故答案为:±114.4π连接PQ,QA,由可知:△ABC和△PBC设三棱锥P−ABC外接球的球心为所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是△ABC和△PBC的中心△PBC是等边三角形,Q为BC中点,所以PQ又因为侧面PBC⊥底面ABC,侧面PBC∩底面ABC=BC,所以PQ⊥底面ABC,而AQ⊂底面ABC,因此所以OFQE是矩形,应为△ABC和△PBC是边长为所以两个等边三角形的高h=在矩形OFQE中,OE=连接OA,所以OA=设过点Q的平面为α,当OQ⊥α可得OQ=因此圆Q的半径为OA所以此时面积为π⋅22=4π,当点Q面积为:π⋅21532故答案为:4π,15.(1)A(2)6(1)因为3asinC−ccossinC≠0,故3sinA−cosA−1又0<A<π(2)由(1)知A=π3，所以B+C==sin即sinB所以sinB=sinB+π6−π6又sinB所以sinB=83所以△ABC的面积S16.(1)有关联(2)(i)11120;(ii)(1)提出零假设H0:由χ2根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,推断即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01;(2)设事件B=“取出的产品是次品”，事件A=(i)依题意,PAP由全概率公式得:PB(ii)取出的是次品,则它是从第一批次的产品中取出的概率为:P17.1(2)4x−15y=0(1)∵抛物线y2=46x∴椭圆x2a2+y2b2=∵椭圆的短轴长为22,∴2b=2∴椭圆的方程为x2(2)设Mx1当直线l1的斜率不存在时，l1此时M,N分别为椭圆的上、下顶点,不妨设要使△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,则Q∴OQ=当直线l1的斜率为0时,l此时M,N分别为椭圆的左、右顶点,不妨设要使△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,则Q0,2当直线l1的斜率存在且不为0时,设l由y=kxx28∴x∴MN设MN的垂直平分线方程为y=−由y=−1kxx∵△MNQ是以MN为底边的等腰直角三角形,∴∴−化简得,15k2−4k=0,∴k=综上,直线l1的方程为4x−15y=018.(1)连接AC交BE于点O,连接OM,由题意四边形ABCE是矩形,所以O为AC中点,又因为M为PA中点,所以在△PAC中,有OM因为OM⊂平面BEM,PC⊄平面BEM,所以PC//(2)由AE=PE=4,AB=42又平面AEP⊥平面ABCE,平面AEP∩平面ABCE=AE,∴PE⊥面ABCE,EA,EC⊂面在矩形ABCE中,有EC⊥以E为原点,以EA,EC,EP方向为x轴,y轴,则有E0所以EM=由PN=(i)当λ=13时,∴ENEM⋅又∵EM∩EN=E，EN⊂平面EMN，EM∴PB⊥平面EMN,PB⊂平面PBC,则平面PBC(ii)取平面EMP的法向量m=0,1,0,设平面则EM⋅n=2x+2z=0EN因为二面角P−EM−N的正弦值为41717∴cos⟨化简得:3λ2−8λ+4=019.(1)由fx=xlnx,可得f′x=lnx+1,令lnx+1=0,解得x=1e,当1e2≤x<1e时,f′x<ln1e+1=0,函数fx