第07讲立体几何初步（8.6空间直线、平面的垂直）（解析版）

第07讲立体几何初步2

目录

高频考点1：线面垂直

①证明线面垂直

②补全线面垂直条件

③线面垂直证明线线垂直

④线面垂直证明面面垂直

高频考点2：面面垂直

①证明面面垂直

②补全面面垂直条件

③面面垂直证明线面垂直

高频考点3：异面直线所成角

高频考点4：直线与平面所成角

①定义法

②等体积法求垂线段法

高频考点5：二面角

①定义法

②三垂线法

③垂面法

④射影面积法（cos，/二普）

高频考点6：空间距离

①直接法（找+证）

②等体积法

高频考点L线面垂直

①证明线面垂直

1.(2022•山西高一阶段练习)如图，在三棱锥V-ABC中，为等边三角形，ACJ.BCRAC=BC=2f

O,M,。分别为43,AV,的中点，BM,VO交于点F.

C

(1)证明：ABJ_平面VOC；

【答案】

证明；

•••AC=BC,。是A5的中点，

/.AB1OC,

又•••△V4B是等边三角形，O是AB的中点，

/.ABLOC,

又二OC^\OV=O,OC,OVu平面VOC,

平面VOC；

2.(2022•河北•模拟预测)如图，在四棱锥尸-A8CO中，已知

AB//CD,AD_LCD,CD=2AB=4,3C=BP,AADP是等边三角形，E为切的中点.

(1)证明：AE_L平面PCD.

【答案】

证明：取PC的中点广，连接律1”.

因为人E是等边△4DP的中线，所以AE_LPD.

因为石是棱尸D的中点，F为。C的中点，所以/CD,且防-

因为A8〃CDA8=LCO,所以斯〃/wr且即=人9,

2

所以四边形加正是平行四边形，所以AE〃防.

因为8C=3P,/为户。的中点，所以8尸_LPC,从而AE_LPC.

又PCcPQ=P,且PC、PDu平面PCD,所以AE_L平面PCD.

3.（2022唉国•高一专题练习）如图，在四棱锥中，PA=PDfAB//CDtCDLADfCD=2AB,

点E为PC的中点,且BE1平面PCD.求证：CQ_L平面尸A。；

【答案】证明见解析

【详解】

证明：取夕。的中点尸，连接"，EF,

则EF//CD,EF=；CD.又AB〃CD,AB=^CD,

所以M//AA,EF=AB,则四边形相所为平行四边形，

所以A尸"BE,

又BE1平面PC。，COu平面PCD,所以BEJLCD,所以AFJ.C£>,

又CD_LAO,AFfAD=A,AF,4Ou平面尸AO，所以CO_L平面尸AO.

4.（2022♦全国•高一专题练习）三棱柱A8C-AgG被平面AM截去一部分后得到如图所示几何体，网1

平面ABC,ZABC=90°,BC=BBltE为棱RC上的动点（不包含端点），平面ABE交于点八

(1)求证：/13_1平面8用。；

(2)求证：EF//ABi

【答案】(1)证明见解析；

⑵证明见解析；

证明：

由三棱柱的几何特征，

•.・B玛JL平面ABC,I平面ABC,，BB11AB.

VZABC=90°.BCLAB.

Xv^nBC=B,3修u平面4BC,8Cu平面8/C,

.•.人8_1平面43。.

(2)

证明：如图，

在三棱柱ABC-AqG中，AB"AB\,

AAU平面A4C,AMU平面ARC，

:.ABH平面A)C.

又平面4?比平面ABE771平面ABC=EF,

：.EF//AB.

5.(2022•吉林•模拟预测(理))如图，在平面四边形A。8c中，AC=f3C=3tAP=BP,ZAC8=90。,

/423=60。.将AE4B沿48折起得到三棱锥产-ABC,使得P'C_LAC.

(1)求证：产C_L平面A3C；

【答案】(1)证明见解析

【分析】

证明：「AP=BP,/.AP=BP.

义:AC=BC,CP=CP,二△ACP^ABCP.

即/ACP=4BCP.

•「P'CA.AC,PC-LBC.

vACpBC=C,ACu平面ABC,BCu平面ABC,

PC_L平面ABC.

②补全线面垂直条件

1.(2022・全国・高一专题练习)如图，在棱长为1的正方体ABCO-ABGR中，E是。。的中点.

⑴求证：AC〃平面ARE；

⑵求点。到平面ARE的距离；

(3)在对角线上是否存在点入使得/»_L平面A"E?若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)如⑶存在，CP=@

⑴连结A。，交AR于点尸，连结£尸.

因为四边形AQRA是正方形，所以厂是A。的中点，乂E是的中点，

所以石F〃AC.因为£Fu平面人RE,ACU平面八RE,所以AC//平面ARE.

⑵因为正方体A6CO-4MGR的枝长为1，E是C。的中点，

所以AE=〃E=Jl+(；j=坐，所以AR边上的高为_1曰［=曰，所以

=%必与4.

因为%一叱二%.叱，所以、逅xd」xklxkl,解得：d=见,即点O到平面的距离为在.

3432266

⑶在对角线AC上存在点P,且使得。PL平面8小.

证明如下：因为四边形A。2A是正方形，所以ARJ.A。.

因为CQ_L平面AOAA，AQu平面4。。同，所以COJLAR.因为入。「1。。=。，所以平面A。。.

因为AQu平面4"E,所以平面A"EJ_平面A。。.作QP^AC于尸，因为E尸//4。，所以力P_L£F.

因为£>Pu平面A。，平面ACQc平面ARE=E尸,所以DP_L平面ARE.

由放sACO~Rf.OCP,得。2=里=J==且.所以当。2=造时，QP_L平面ARE.

AC633

2.(2022嚏国曲三专题练习(文))如图,三棱柱ABC-A^C,的侧面3。£片是平行四边形，BC,1C.C,

平面4GCA，平面8。储用，且E,尸分别是8C,A片的中点.

⑵求证：E/I平面AGO;

AP

(3)在线段AB上是否存在点P,使得BG_L平面瓦尸？若存在，求出三的值：若不存在，请说明理由.

AB

ApI

【答案】⑴证明见解析⑵证明见解析⑶存在，益=5

⑴证明：因为8G-LCC，又平面AGC4_L平面BCC4,

且平面AGCAc平面8CG&=CC，8C|U平面BCG耳，所以BC|_L平面ACGA.

又因为ACu平面AGCA,所以8GAAC.

(2)证明：取AG中点G,连"G,连GC.

在5与6中，因为尸，G分别是44，AC中点,

所以尸G//BC，月/G=；BC.

乙

在平行四边形6CC百中，因为E是8c的中点,

所以七C〃BC，H.EC=^IC1.

所以EC"FG,且EC=R7.

所以四边形庄CG是平行四边形，所以FE//GC.

又因为庄仁平面4CCA,GCu平面AGC4,所以后产〃平面A£CA.

（3）解：在线段A8上存在点P,使得4G_L平面£FR

取A8的中点尸，连尸E,连PF.

因为1平面ACGA,从。u平面4CGA,CGu平面4CC1％,

A

所以BqAC,BC1±CG.

在&A4C中，因为乙E分别是A3,4c中点，所以PE//AC.

又由（2）知FE//CG,所以8G，PE,fiC,1EF.

由PEcEF=E，PE,EFu平面EFP,所以平面EFP.

\p\

故当点P是线段/IB的中点时，B,上平面EFP.此时方=大.

AB2

3.（2022•全国•高三专题练习（文））《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方

早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（/&?"〃）;

阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖麝（加e/阳。）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，

三棱柱ABC—A4C，5G_L平面AGO,四棱锥3—AGC4为阳马，且E,尸分别是BC,A片的中点.

（D求证：M〃平面AGCA；

AP

（2）在线段A8上是否存在点尸，使得BCJ平面17?若存在，求出F的值；若不存在，请说明理由.

AP1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；^-=-.

Ao2

（1）取4G中点G,连接"G,GC,

在28°中，因为尸，G分别是人石，AG中点，

所以尸G〃4G，且广G=g&c，

在平行四边形8CG8中，因为E是BC的中点，

所以ECV/BC，且EC=g/G，

所以EJ尸G,且EC=FG,

所以四边形FECG是平行四边形，

所以正〃GC,

又因为所平面ACCA,GCu平面4CCA,所以所〃平面AGCA.

（2）在线段A8上存在点，，使得3C|_L平面EFP，

取A8的中点P,连PE,连PF,

因为BCj1平面人CC|A,ACU平面ACGA，CGu平面ACC^,

所以8G八AC,BC1±CG,

在4.ABC中，因为P,E分别是43,4c中点，所以PE〃4C,

又由（1）乐FE〃CG、所以8G_LPE,BC11EF,

由PEcEF=E得BQ上平面EFP,

Ap1

故当点户是线段/IB的中点时，8,1.平面£FR此时，—-=

Ai32

4.（2022•全国•高三专题练习（理））如图，三棱锥P—ABC中，B4_L平面ABC,PA=\,AB=\,

AC=2fZBAC=60.

A

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

⑵在线段PC上是否存在点使得AC_L用W,若存在点M,求出罂的值；若不存在，请说明理由.

MC

【答案】(1)B(2)存在，的=：

6MC3

0

⑴由题知A8=l,AC=2,ZBAC=6Qt

可得SAABC=^ABACsin60°=且，

22

由PAJ_平面4BC可知必是三棱锥P—ABC的高.

又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=1S^ABCPA=巫.

36

⑵在平面A8C内，过点8作8N_LAC,垂足为N.在平面PAC内，过点N作MMIPA交PC于点M,连接

BM.

由PA_L平面ABC知A4_LAC,所以MMLAC.

由于BNcMN=N,故ACJ_平面MBN.

又面MBN,所以AC_L8M.

在RmBAN+，AN=AB-cosZ.BAC=J,

从而NC=AC—AN=-.

2

PMAN1

由MNIIPA,得

A/C-NC-3

③线面垂直证明线线垂直

1.(2022•浙江♦模拟预测)如图，在三棱锥。-/WC中，侧面D4C_L底面ABC,E为的中点,

B

(1)若A8=4£>,C8=C。，求证：BDLAC.

【答案】（1）证明见解析（2）在

4

[BD1AE

⑴由已知E为B。的中点，所以若A8=AD,C8=C£>,则｛nc।而4即CE=E，且AE，C£u平面ACE,

故8O_L平面ACE,

由于ACu平面ACE,所以3O_LAC.

2.（2022•河南安阳•模拟预测（文））已知空间几何体43cM中，A4CO与。均为等边三角形，

平面4CZ5JL平面A8C,BC=6,BE=a,QE=G,QE//平面ABC.

⑴求证：ACIBDi

【答案】

取AC的中点/，连接力M,BM

■■■△ACO与二A8C均为等边三角形，则AC_LDW,AC_L8W

DMBM=M,则AC_L平面BDM

/.ACIRD

3.（2022•青海•大通回族土族自治县教学研究室三模（理））如图，在三棱锥P-A4C中，△%（?是等

边三角形，AB=ACfABLACt点E是BC的中点.

（1）求证：PE±AC；

【答案】（1）证明见解析

证明：如图，取4c的中点F,连EEPF.

因为点尸是AC的中点，点E是8c的中点，所以EF//AB,又AB_LAC,所以痔_LAC.

因为△P4C是等边三角形，尸是人。的中点，所以「"JLAC.

又环。尸尸=尸，EF,依u平面出孑所以AC_L平面尸EE

又PEu平面PEF,所以PE_LAC.

4.（2022•全国•高一专题练习）如图，在三棱柱ABC-A&G中，CC」平面ABC,AC±BCtAC=BC=2f

CC=3r点。,E分别在棱AA和棱C。上，且4）=1,CE=2,M为棱A耳的中点.求证：C.A/1B.D；

【答案】证明见解析

证明：在三棱柱A8C-4MG中，CGJ•平面48C,

则该三棱柱是个直三棱柱（各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直），

vC,A=C,B,=2,所以5娜G为等腰二角形，

且例为棱A4的中点，・,.GM_1_4与，而GMu平面。①圈，

又平面GA与JL平面A4BA，且平面GA4n平面4用明=4平,

C{M_L平面AiB[BA,•<,B[Du\BiBA,C（M1B1D.

高频考点2：面面垂直

①证明面面垂直

1.（2022•全国•高三专题练习）如图，在三棱柱A8C-4冏G中，平面ACQA，平面

ABC,AC1BC.AC=BC=CC,=4.

（D证明：平面A4C_L平面48C；

【答案】

（1）由题知，四边形ACGA为菱形，则AG1CA，

又平面ACGA1平面ABC,且於为交线，AC±BC,

则8。1_平面八。。小，又4Gu平面4CGA，

则8CJ.AG，又BCcCA=C,

则AC]_L平面ABC,又4Gu平面ABC，

则平面A^CJ•平面八8g；

2.(2022靖海玉树隔三阶段练习(文))如图，在四棱锥P-A3C。中，AD//BC,ND48=90。，ADLPB,

AP4B是等边三角形，DA=AB=2fBC=\-AD.

(1)求证：平面融8_L平面A8CD；

【答案】(1)详见解析；

⑴证明：因为ND4B=9O°,

所以4)_LAB，又AT)_LP8，且A3c必=3,

所以A。_L平面244,

又AOu平面A3CO,

所以平面P48_L平面ABCD；

3.(2022喟建•厦门一中高一阶段练习)已知四棱锥尸-ABC。的底面为直角梯形，A8//OC,NDW=90。,

抬_1_平面ABC。，KPA=AD=DC=^AB=\tM是，8中点.

(1)求证：平面必£>_L平面PC。；

【答案】

⑴因为P4L平面/WCZ),COu平面A8CO,所以小_LCD,又四边形A3CD为直角梯形，RAB//DC,

所以CDJLAD,又FAcAO=A,所以C3_L平面Q4O,

又CZ）u平面-CO.所以平面平面QCD

4.（2022•广西•昭平中学高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A8CO是矩形，AD±

平面COP,PD=CDfDE=PE,且NP8=30。.

（1）求证：平面ADE_L平面ABC。；

【答案】

因为尸£>=CO,所以NPC£>=NQPC=30。，所以NPDC=120。，

乂因为DE=PE,所以NPDE=NEPD=300,所以ZEDC=90°,所以EOJ.DC,

又因为AO_L平面C。？，OEu平面COQ,所以AOJ.OK,

又因为C£>AD=D,CD、4Ou平面A8CD,所以。E_L平面A8CO,

而DEu平面AOE，所以平面4年L平面ABC。.

得证.

②补全面面垂直条件

1.（2022•四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，在四棱锥S八88中，底面A8CD为矩形，SAD

为等腰直角三角形，SA=SD=2曰/W=2,尸是BC的中点.

（1）在AO上是否存在点E,使得平面S£/，平面48CQ,若存在,求出点E的位置；若不存在，请说明

理由.

【答案】（1）存在，E为AO的中点

⑴在线段4。上存在点七满足题意，且石为4。的中点.

如图，取A。中点E连接EF,SE,SF,因为四边形ABC。是矩形，所以又£,尸分别是A。，BC

的中点，所以EF//AB,AD±EF.

因为二地为等腰直角三角形，SA=SD,七为八。的中点，所以SE_LAO.

因为SEEF=E,SEu平面SEF,£Fu平面SEF,

所以A。_L平面SEP.

又A7）u平面ABC。.所以平面SM_L平面A8CD.

故AO上存在中点£使得平面SE"_L平面A8co.

2.（2022•全国•高一单元测试）如图，在四棱锥尸-A8CD中，底面43co为矩形，PA_L底面ABC。,

PA=ABfE为线段尸3上的一点，且庄="＞以尸为线段8C上的动点.

（1）当4为何值时，平面A所，平面P8C,并说明理由；

【答案】（l"=g，理由见解析

解：当义=；时，平面AE/_L平面尸8C,理由如下：

因为A4JL底面ABC。，BCu平面A8C。，所以B4_L8C,

因为A8CO为矩形，所以A8_L8C,

乂PA[AB=A,所以ACL平面厚3.

因为AEu平面上44,所以A£_LBC

因为PE="8,所以E为线段心的中点，又因为D4=AB，所以AE_LP8，

乂PBcBC=B，所以AEL平面P8C,

因为AEu平面A£E,所以平面AM_L平面P8C.

3.（2022•宁夏•银川一中三模〔文））如图，四边形八班尸为正方形，若平面45CD_LA8E/LAD//BCt

AD±DCtAD=3DC=3BC=3.

E

（1）在线段AO上是否存在点P,使平面EBPJ_平面仍C,请说明理由；

【答案】（1）存在，理由见解析；

存在这样的点P为线段靠近点。的三等分点，使平面£4。，平面EBC,

证明如下：在线段4。上取一点尸，使得。。=1，因为38c=3,所以8c=1,

所以力P=BC,乂因为4婷〃BC,所以四边形9C73是平行四边形，

又因为AOJ.OC,所以四边形PDC8是矩形，所以8P_L8C,

因为四边形A8E尸为正方形，所以

因为平面AACOL平面4?加平面人4。。0平面4叫沙=只〃，E3u面ABE”,

所以硝L面A8CO,因为平面A8CO,所以£B_L/3P,

因为HEBC=B,所以“2_1_面用。，

因为80u面E8P,所以平面E8P_L平面MC.

4.（2022•全国•高三专题练习）如图，在直三梭柱/WC-ABG中，AB=BC=A\=\t4。=6，点力,

E分别为AC和6c的中点.

（1）棱AM上是否存在点/，使得平面以2_L平面AHE?若存在，写出始的长并证明你的结论；若不存在,

请说明理由.

【答案】（1）存在；幺=未证明见解析；

4

解：（1）存在点P满足题意，且PA=:

4

证明如下：

取AG的中点为尸，连接£7LAF,DF.

则E尸〃ABJ/AB,所以AFu平面A比.

因为。是4c的中点，所以BD_LAC.

在直三棱柱A8C-AeG中，平面A3CL平面4CG，且交线为AC,

所以8O_L平面ACG，所以3。_LA

在平面ACC1内，—=—,z™)=Z4£>P=90°,

ADDF2

所以口△力山5Rt.ADF,从而可得Ab_LPD.

又因为叨cA/)=D,所以4产_1_平面Q8O.

因为A/u平面AM，所以平面PBO_L平面4WT.

③面面垂直证明线面垂直

1.(2022•四川省成都市新都一中高二期中(文))如图，四边形A8CQ是正方形，平面E4O_L平面A8CO,

EAA.AD,EA//BF,AB=BF=1,AE=2.

(1)证明：平面E4C_L平面8。尸；

【答案】

证明：由平面£4O_L平面A8CO,

平面E4。］平面A8CD=4)且E4J_4),

所以E4_L平面A8az所以E418D,

又四边形ABC。是正方形，所以BOJ.4C,

又ACc£4=A,4Cu平面E4C且E4u平面E4C，

所以5O_L平面EAC,

所以3Du平面5£)产，

所以平面E4C_L平面BDF.

2.（2022•吉林•三模（理））如图，四棱柱A8CQ-ABCQ中，平面AGC4，平面A8CO,底面A8CO

为菱形，AC与BD交于点O,ZABC=60°,AB=AA.=ACi=2.

（1）求证：。0，平面48。。；

【答案】A4,=AG,M=CC,,AC,=CC,,

乂。是AC中点QO1AC

・•・平面AG。1平面ABCD,平面AGCAc平面ABCD=AC,

COu平面A^CA,/.CQ1平面ABCD

3.（2022•北京市第十二中学三模）如图，在四棱锥P-ABC/）中，底面ABCO是边长为2的正方形，侧

面P4。是正三角形，平面PAZ）_L平面A8CD

（1）证明：45_1_平面24。；

【答案】四边形A8C。为正方形，则AB_LAD,

.・平面QM）_L平面48a）,平面PAD1平面A3CD=AO,

.•./15_1平面抬。；

4.（2022•重庆八中高一阶段练习）如图，在四棱锥Q-ABC/）中，

AO=2,AB=BC=CD=1,BC//AD.N幺0=90。，平面平面A8CQ.

BC

（1）证明：PAlYffiABCD；

【答案】

证明：取A。中点为Q,

因为在四棱锥Q-A8CD中，AD=2,AB=BC=CD=1,BC//AD,

所以BC〃QD,且8C=Q。，所以四边形BCOQ为平行四边形，

所以4Q=C£）=1=QO=QA,

所以4〃_L5£）,

又平面2人“J_平面48CQ,平面P/Wc平面ABCD=AB,

所以3。，平面所以或>_LR4,

又%_LA£>,ADCBD=D,

所以孙，平面4HCD;

高频考点3：异面直线所成角

1.（2022•贵州•贵阳一中模拟预测（文））在正方体48。。-4/6口中，用为4。的中点，则直线CM

为出AC所成的角为（）

A.乌B.乌C.△D.乌

2346

【答案】D

设正方体棱长为1，连接ACACAG，，CM与AG所成角即是CM与AC所成角，

222

•••AC=Q,AM=¥，CM=J；）+'；）=2^,AAM+CA/=AC,"CMA为口△,

sin^CM=—=-,:.ZACM=-

AC26

故选:D

□

2.（2022•黑龙江•哈尔滨三中模拟预测（文））在三棱柱ABC-4与G中，DE分别为的中点,

若AA=AC=2,DE=6则OE与CG所成角的余弦值为（)

A.巫B.渔C.显3限

343~~8~

【答案】D

如图所示，取点BC的中点尸，连接。尸,石尸，

因为三棱柱A8C-A&G中，C、EHCF,C\E=CF,

所以，四边形GER7是平行四边形，所以，CC.//EF,

所以NDEF异面直线DE与CC,所成的角或其补角，

在所中，可得£r=A4,=2,O"=；AC=1,OE=6，

由余弦定理可得cosNDEF=（扃二一「=巫.

2x76x28

所以，。石与CG所成角的余弦值为主区

8

故选:C.

3.（2022•河北­沧县中学模拟预测）如图，在正四面体A-BCD中，E为A。的一个靠近点。的三等分

点,则异面直线CE与A3所成角的余弦值为（）

【答案】B

如图，在棱8。取一点3使得。广=：8。，连接EECb,

因为£为AO的一个靠近点。的三等分点，所以D芸F=DF1

BDAD3

则EF//AB，根据异面直线所成用的定义，

4CEF（或其补角）即为异面直线CE与AB所成的角，

设正四面休人一"8的边长为3,EF=^AB=\,

在/XCDE中，CD=3,DE=1,ZCDE=60°,

由余弦定理得：CE2=CO2+QE2—2・CE・£)E・COS600=32+12—2X3X1XL=7,

2

C£=V7,同理。尸=近，

在△(7防中，由余弦定理得：

E尸+CE〈_C尸二尸+（近尸一（近尸二正

CQS/.CEF=

2»EF»CE2x\xy/l14

即异面直线CEHAB所成角的余或值为正：

14

故选：B.

4.（2022•山西•高一阶段练习）如图，己知四棱锥M-A8CD,底而A3C。是边长为2的正方形，侧

棱长相等且为4,E为C。的中点，则异面直线CM与AE所成角的余弦值为（）

A.3B.。C.qD.些

551520

【答案】D

如图，取A8的中点F,连接/C,FM,

因为底面人AC。是边长为2的正方形，E是C。的中点，

所以CE〃AE,且b=AE=拉+F=亚，

所以异面直线CM与AE所成的角为NFCM或其补角，

四棱锥的侧棱相等且为4,在△MA8中，由勾股定理得月0="7了=后，

在AMC/中，由余弦定理得cosNFCM=0；+CM-*M=5+4115.遗

2CFCM2xx/5x420

所以异面直线CM与所成角的余弦值为地,

20

故选：D

5.（20224可北邢台福一阶段练习）如图，S为等边三角形A8C所在平面外一点，且SA=SB=SC=ABf

E,尸分别为SC,A3的中点，则异面直线所与AC所成的角的正切值为.

【答案】1

解.：如图，取AS的中点G,连接G£Gb,则G&ACGF公B

.•.NGEF等于异面直线所与AC所成角.

设48=2,则G£=1,G尸=1.

取AC的中点“，连接MS,M6.

QSA=SB=SC=AB,.JSAC—HBC为等边三角形，

/.SM±AC,BM±AC,SMcBM=M、SM、BMu平面BMS,

.,.人（7_1平面8必5,..从。，5'8..卬_16尸，

/.ZGEF=45°.

所以，异面直线石尸与AC所成的侑的正切值等于1.

故答案为：1

6.（2022•江苏南京•高二阶段练习）棱长为2的正四面体ABC。中，E为8c的中点，则异面直线A£与

C。所成角的余弦值为.

【答案】B

6

取8D的中点尸，连接质、EF,

D

因为“ABC、△ABO都是以2为边长的等边三角形，且石、尸分别为BC、8。的中点,

则A£_LBC,AF上3D,则AE=A/=2sin60=G,EFHCDW.EF=^CD=\,

所以，异面直线AEHC。所成角为NAE/或其补角，

由余弦定理可得cosZAEF="='=&

2AEEF2V36

因此，异面直线4E与CD所成角的余弦值为立.

6

故答案为：立.

6

高频考点4：直线与平面所成角

①定义法

核心知识点

1定义法（如右图）：

直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。

由定义可知：斜线与平面所成角的范围为0,9；具体操作方法:

①在直线/上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面。引（通常都是找+证明）垂线4。；

②连接斜足与垂足MO；

③则斜线/与射影M。所成的角乙4MO,就是直线与平面所成角.

1.（2022•吉林省实验中学高一期中）如图，在三棱柱ABC-A7TC中，底面A8C是正三角形，A4U底

r

面八8C,且A3=l,AA=2t则直线AC与平面A8H4'所成角的正弦值为

A'

【答案】叵力历

1010

解：取49的中点0,连接OC',OA,

因为在三棱柱ABC-AA'C中，底面ABC是等边三角形，且AAJL底面ABC,

所以CC_L平面A8'C,CO_LAB1,

因为AA'IICC,所以COJ_AA',

所以NC'BO是直线BC与平面A^Af所成角,

因为AB=1,/VT=2,

所以8(7=存方=5F^二冬

所内9。嘿f屈,

所以直线BC与平面AB/M所成角的正弦值为巫,

10

故答案为：—

10

2.（2022•河南•宝丰县第一高级中学模拟预测（文））在矩形A3CO中，AB=2AD=4t氤E为CD

的中点（如图1）,沿4E将△AOE折起到^APE处，使得平面平面ABCK（如图2）,则直线P。

与平面ABCE所成角的正切值为.

【答案】《

取AE的中点尸，连接。尸，PF,

PA=QE且E为的中点，PF1AE,

又••・平面平面A3CE,平面「4EQ平面A8CE=AE,尸尸u平而P4E,

PF上平面ABCE,

则直线PC与平面ABCE所成角为NPCF

AE={AD2+DE=2夜，PF=EF=42

CF-=EF1+CE2-2EFCEcosNCEF=1()即CF=而，

所以tanNPCr=£=".

x/105

故答案为：g.

3.(2022•全国•高一课时练习)等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面。内，若AC与。所成的角为

30,则斜边上的中线CM与。所成的角为.

【答案】45。##；

4

如图，设C在平面。内的射影为点。，连接CO,AO,MO,如图所示：

设AC=8C=1,则人8=夜，CM=

因为AC与。所成的角为30,COJ■平面。，则/CAO=30,。。二：

又因为/CMO为CM与平面。所成角，

所以sin/CMO="=①，即NCMO=45.

CM2

故答案为：45

4.(2022婀北廊坊高三阶段练习)在三棱锥P-A4C中，0A_L底面A3C,PA=\tA4=4C=3,AC=4拉,

则PB与平面PAC所成角的正切值为.

【答案】|

如图，取AC的中点。，连接BO,PD.

△ABC中:AA=AC,AD=DC,则BD1AC.

由"JL底面ABC,BDu底面ABC,可知

又PAAC=A,故8。J.平面PAC,则尸。为尸8与平面P4C所成的角.

△A3C中:A4=BC=3,AD=DC,AC=A6,

所以=JAB-AD'M-Q®=1，

△PAD中,PD=J幺2+AD?=卅+(2&)2=3，

A/)I

故，=J

PD3

故答案为：!

5.(2022•全国•高三专题练习)在四棱锥尸-ABCO中，P4JL平面A8CO,底面A8CO是正方形，且

PA=AB=2f则直线//与平面PAC所成角为.

【答案】30.

由底面/WCO是正方形，可得8QJLAC,

又rhR4_L平面八38,且8/)u平面八3。£),所以8DLPA,

因为ACcR4=A,且平面P4C,所以4。_L平面PAC,

所以NB尸。即为直线心与平面P4C所成角，设为。，

由底面人是正方形，且A4=2,可得A0=40=a,

在直角尸04中，PO=yJPA2+AO2=y/6>

所以$也夕=&^=^^,所以6=30.

PO3

故答案为：30.

6.（2022•全国•高二课时练习）已知正方体/WCO-A4G〃中，E是8的中点，直线AE与平面46c

所成角的正弦值为

【答案】|

取八蜴的中点F,连接CF,则CE/小尸，CE=AF,

二.四边形A/CE为平行四边形，。/〃4上，

.•・直线CF与平面43c所成角就是直线A?.与平面4AC所成角，连接4C,

87_1,平面8/C,N4b即为所求,

BF1

设正方体的棱长为2,在对△CF4中，tan/4C尸=证=运，

sinZB,CF=1,

直线AE与平面8乃。所成角的正弦值为

②等体积法求垂线段法

核心知识点

【答案】旦

3

设正方形ABC。的中心为0,连PO,则PO_L平面A8CO,所以尸O_L8C,

取8c的中点E，连0E,PE,QE,

因为为正三角形，所以PELBC,乂POcPE=P,所以3cl平面POE,

因为cQBC为止三角形，所以QE_L8C,又QEcPE=E,所以8C_L平面PQE,

因为平面。。后与平面尸QE有公共点E,所以平面POE与平面PQE重合，

取PQ的中点尸，连环，因为PE=QE,所以b_LPQ,

11

因为COS£PEO=^=4=®,cosDEPF="=%=叵,

口“PEC3'PE下>3'

22

所以行狎9=EPF,所以PQ//QE,

因为PQ<Z平面ABC。，OEu平面A8C。，所以尸。〃平面A8C。,

所以产、。两点到平面ABCD的距离相等,都为国.工

2<2~2

所以VQ-A8C~Vp_ABC=_PO•S△八席=—x—X1X1=，

332212

设点A到平面QBC的距离为力，则匕惭=-liS^c='h正=3,

由^Q-AHC=匕-Q8C得h>得力=,

延长OE,使得OE=EG,连则四边形PQGO为矩形，则。G//PO,

所以QG_L平面A8C"所以AG=J（；J+11+,J=芈,所以=+（半）=日

所以直线4。与平面8C。所成角的正弦值为hTx/2.

而=正=亍

故答案为：立.

3

2.（2022•全国•高三专题练习）在三棱锥S-A8C中，△A4C是边长为2的正三角形，SA_L平面A4C,

且%=2,则与平面S8C所成角的正弦值为

【答案】叵

7

取8c中点。，连接A。、SD,过A作AOJ_S。，交SO于点。，

;在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，SA1平面A8C且加=2,

/.AD1BC,SD工BC,ADcSD=D,则8€?_1_面以。，而AOu面SAD,

BCA.AO,BCcSD=D,贝1]40_1_面$3。，

AABO是A4与平面SBC所成角，

又SAJ_A。，则AO=^^iT^=^/j,SD=J（4+4）-l=/,

由jxSAx4£）=；xS£）xAO,AO=,

2历

AO

二.AB与平面S3C所成角的正弦值为：./.八~T~X/21.

sinZABO=---=­£—=---

AB27

故答案为：在1.

7

D

B

3.（2021•陕西•西安中学高二期中（理））如图，在斜三棱柱ABC-A4G中,

点。是AG的中点，AO1平面已知N8C4=90。，AAy=AC=BC=2.

⑴求证：AB|JLAC;

（2）求AG与平面AA4所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）亘

(1)'・・AO_L平面4阴。,：.AO±BiCbXVA/C/IB/C