第7节利用空间向量求空间角

第7节利用空间向量求空间角

考试要求1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的

计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题口的应用.

基础知识殄断回顾教材，夯实基础

知识梳理

1.异面直线所成的角

设4,力分别是两异面直线，2的方向向量，则

Q与力的夹角夕与，2所成的角夕

叵外

范围（0,兀）

丝ab一二”1〃仍1

求法LOsfJ~\a\\b\cosO-|cos//|一⑷⑸

2.求直线与平面所成的角

设直线/的方向向量为平面。的法向量为〃，直线/与平面a所成的角为仇

则sin8=|cos〈0,而

3.求二面角的大小

（1）如图①，AB,CD是二面角a—/一6的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角

的大小0=CD).

⑵如图②③，ni,in分别是二面角。一/一夕的两个半平面a,4的法向最，则二

面角的大小。满足|cosOl=|cos〈〃|,“2〉I，二面角的平面角大小是向量n\与m

的夹角（或其补角）.

［常用结论与微点提醒］

1.线面角。的正弦值等于直线的方向向量。与平面的法向量〃所成角的余弦值的

绝对值，即sinO=|cos〈a,〃〉不要误记为cosO=|cos〈a,

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时・，当求出两半平

面a,夕的法向量〃i,“2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确

定二面角与向量〃I,〃2的夹角是相等，还是互补.

诊断自测

思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“或“X”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()

(4)两异面直线夹角的范围是(0,手，直线与平面所成角的范围是［(),手，二面角

的范围是［0,兀］.()

解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的

方向向量平面的法向量〃，直线与平面所成的角为0,则sinO=|cosa,

nI；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.

答案(1)X(2)X(3)X(4)J

教材衍化

2.(老教材选修2-1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为,〃=(0,1,0),

〃=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()

A.45°B.135°C.45。或135。D.90°

解析cos(…)=髓=八*=室即⑺，4=45。.

・・・两平面所成二面角为45。或180。-45。=135。.

答案C

3.(老教材选修2—1P112A组T4改编)已知向量m,n分别是直线/和平面a的方

向向量和法向量，若cosn)=坐，则/与。所成的角为()

A.30°B.600C.120°D.1500

解析由于cos〈〃2,n)=坐，所以〈〃［,〃〉=30。，所以直线/与a所成的

角为60°.

答案B

考题体验

4.(2020・广州模拟)在直三棱柱A5C—A1BG中，ZBCA=90°,M,N分别是43,

4a的中点，BC=CA=CC\,则3M与AN所成角的余弦值为()

A±屋。典D巫

a」。叼。］ou.2

解析以点C为坐标原点，C4,CB,CCi所在直线分别为x

轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设6C—CA

=CCi=2,则可得A(2,0,0),5(0,2,0),M(l,1,2),

Ml，0,2),

・•・诙=(1,-1,2),俞=(—1,0,2).

脑.病

Acos丽，AN)

\BM\\AN\

IX(-1)4-(-1)X0+2X2

一、T+(一])2+22乂、(-1)2+()2+22

_3_^30

一求x邓一10,

答案C

5.(2019・南阳调研)在正方体ABCD-MB\C\D\中，BB\与平面ACDi所成角的正

弦值为()

A坐B坐一3八2

C.gD.g

解析设正方体的棱长为1,以。为坐标原点，DA,DC,DDT

所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图

所示.则B(L1,0),Bi(l,1,1),4(1,0,0),C(0,1,0),

Di(0,0,1),

所以说1=(0,(),1),AC=(-1,1,0),历1=(一1,(),1).

令平面AC£h的法向量为n=(x,)，，z),则〃・危=一%+)=(),〃•历i=—x+z=(),

令x=l,可得〃=(1,1,1),

所以sin6=|cos</i,BB\)|=/[1二坐.

又在△ABC中,ZABC=120°,AB=2,则4（一1,小,0）.

所以靠产(1,一小，1),比1=(1,0,1),

则cos<ABI,BC\）=

lABiM5Cil

（1,一61）•（1,0,1）2遮

而/―5

因此，异面直线与BG所成角的余弦值为手.

法二将直三棱柱ABC—A山Ci补形成直四棱柱A8CO—A出。。(如图(2)),连

接AU,BiDi,则AZ)]〃BC].

则NBA。为异面直线AB\与BC\所成的角(或其补角)，易求得ABi=小,BCi

=AD\=y[2,BiDi=p

由余弦定理得COSN3AOI=乎.

(2)取3。的中点O,连接AO,OC,由CA=CB=CD=BD=2,43=A。=啦，

222

得AO_LBD,CO1BD,且。C=/，A0=l.在Z\AOC中，AC=AO-bOCf故

AO1OC,又知8£>nOC=。，因此AOJ_平面BC。，以OB,OC,0A所在直线

分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，

40,0,1),B(l,0,0),C(0,小，0),。(-1,0,0),：.AB/j\

=(1,0,-1),CD=(-1,一小，0),设异面直线AB与CQ屋].9；

丽•西

所成角为9,则cos6=,即异面

\AB\\CD\V2X7T+34

J2

直线A6与CO所成角的余弦值为手.

答案(1)C(2)B

规律方法1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空

间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量vi,i»2；(3)代入公式|cos<ri,02〉|

2.两异面直线所成角的范围是夕£(0,方，两向量的夹角。的范围是[0,n],当异

面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线

的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

【训练1】(2019•江西八校联考)在四面体ABC。中，8O_LAQ,CQJ_AQ,8O_L8C,

BD=AD=\tBC=2,则异面直线A8与。。所成角的余弦值为()

A.千D.嚅

B

-10。5

解析以D为坐标原点，在平面BCD内过。与3。垂直的

直线为x轴，以DB,D4所在的直线分别为y轴，z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,1),5(0,1,0),

C(-2,1,0),0(0,0,0),所以福=(0,1,-1),DC=

〈孤庭〉=*一而=1一而Vjo‘

(—2,1,0),则cos

故异面直线AB与CD所成角的余弦值为嚅.

答案D

考点二用空间向量求线面角

[例2](2018•全国II卷)如图，在三棱锥P-ABC中，

BC=2®PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面ABC；

(2)若点M在棱上，且二面角河一附一C为30。，求PC与

平面出M所成角的正弦值.

⑴证明因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以。PJ_AC,且OP=2小.

连接OB,因为A8=BC

所以A4+BC2=AC2,

所以△ABC为等腰直角三角形,

且。8JLAC,OB=^AC=2.

由0产+。82=尸82知PO1OB.

由OP_LOB,OPA-ACOBC\AC=O,知PO_L平面ABC.

(2)解如图，以O为坐标原点，为的方向为x轴正方向，

建立空间直角坐标系。一xyz.

由己知得0((),0,0),3(2,0,0),4(0,-2,0),C(0,2,

0),P(0,0,2®AP=(0,2,2小).取平面2C的一个法

向量无=(2,0,0).

设2—小0)(0<aW2),则加=3,4一m0).

设平面以M的法向量为〃=(x,y,z).

由力〃=0,屈/〃=0得

2y+2小z=0,厂厂

,.、八可取〃=(#(4—4)，小a,-a)f

、办+(4—〃)y=0.

2小(。-4)

所以cos(OB,ii)=

2yJ3(a-4)2-\-3a2-\~ar

由已知可得|cos(OB,n)l=2,

所以_「2小|a一4|二小

2寸3(a-4)」+3/2

4

解得a=-4(舍去)，a=y

行z8^34^34、

所以〃=(z-q—,q-,一］).

又无=(0,2,一2回所以cos(PC,加=乎.

所以pc与平面方M所成角的正弦值为乎.

规律方法利用向量法求线面角的方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量

的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量呆求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角

或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的雨.

[:训练2】(2020•安徽江南十校联考途|三棱柱zABC-A8G中，底面是边长为

2的正三角形，AiB=布,ZAiAB=ZAiAC=60c.

(1)证明：平面4BCJ_平面ABC；

(2)求直线BC与平面所成用的正弦值.

(1)证明・.・AB=2,AiB=®N4AB=60。，

・•・由余弦定理得A\B2=AAHAB2-2AA}ABcosN4A8,

即AA1—2AAi—3=O=/LAi=3或一1(舍)，故A4=3.

取8c的中点。，连接04,04,,•.△ABC是边长为2的正三角形，

：.AO±BC,且40=小，80=1.

由A8=AC,NAIA8=/AIAC,A4I=A4得△AiABgZVliAC,得48=4。=巾,

故40J_BC,且40=#.

•・・AO2+4O2=3+6=9=A汨，：.A01A\0.

又Bcnao=。，故40J_平面4BC,

・・・Ai0u平面4BC,・,・平面4BCJL平面ABC.

⑵解以。为原点，。8所在的直线为x轴，取8G的中点K,连接。K,以

0K所在的直线为)，轴，过0作。GJ_4h,以0G所在的直线为z轴建立空旬直

角坐标系，则

B。,0,0),囱(1,3,0),Ci(-1,3,0),4(0,2,道)，

，比1=(—2,3,0),丽i=(0,3,0),丽i=(—1,2,地),

设次=(x,y,1)为平面A63Al的法向量，

则今机=(啦,0,1).

设直线BC\与平面ABB^x所成角为仇

|启•叽2s

则sin0=

\BC\\\m\小乂小39

考点三用空间向量求二面角

[例3](2019•全国I卷)如图，直四棱柱ABCD-A\B\C\D\

的底面是菱形，44=4,A3=2,ZBAD=60°,E,M,N外

别是3cBB\940的中点.

(1)证明：MN〃平面COE；

(2)求二面角A-MA\-N的正弦值.

(1)证明如图，连接治C,ME.

因为历，E分别为BBi,BC的中点，

所以ME〃8C,且M£=/iC

又因为N为小。的中点，所以NO=/iD

由题设知A出偏DC,

可得BC统4。，故ME矮ND,

因此四边形MNQE为平行四边形，

所以MN〃ED.

又平面C\DE,OEu平面GDE,

所以MN〃平面C\DE.

(2)解由已知可得。七_LD4,以。为坐标原点，DA,DE,方面的方向为x轴、

y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一盯z,

则A(2,0,0),4(2,0,4),M(l,小，2),N(l,0,2),矽=(0,0,-4),

=(-l,5-2),加=(—1,0,-2),AW=(0,一/，0).

m-AiM=0f

设m=(x,y,z)为平面4MA的法向量，则《

/n/U4=0,

一工+，5厂22=0,

所以可取机=(仍，1,0).

—4z=0,

设〃一(p,q,r)为平面AiMN的法向量,

PI,而N=0,一小g=0,

则，所以

-p-2u=0,

可取〃=(2,0,-1).

_，九〃_2s_

于是cosGn，n)

~M\n\~2Xy[5~5

yio

则sin

M>一5'

所以二面角A—M4—N的正弦值为手.

规律方法利用空间向量计算二面角大小的常用方法：

(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个

平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大

小.

(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂

足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

【训练3】(2019•青鸟二模)如图，己知多面体用BCDE的木、

底面ABCO是边长为2的菱形，融_1_底面4BC。，ED//PA,/：\

且附=2ED=2.

BC

(1)求证：平面以CJ_平面PCE；

(2)若直线PC与平面ABC。所成的角为45。，求二面角P-CE-D的余弦值.

⑴证明如图(1),连接8。，交AC于点0,设PC的中点为R连接。F,EF.

因为底面A8CO是菱形，所以。是AC的中点，

又尸是PC的中点，所以。尸〃以，且OF=/1.

因为。E〃%,且OE=%4,所以。尸〃OE,且OF=DE.

所以四边形OFE。为平行四边形，所以OD〃片立即BQ〃EE

因为雨，平面ABCQ,BDu平面ABCZ),所以办_L8D.

因为四边形A8CO是菱形，所以BQ_LAC

又因为以GAC=A,所以8D_L平面以C

所以平面PAC.

又因为曰七平面PCE,所以平面出C_L平面PCE.

⑵解因为%_L底面ABCD,直线PC与平面ABCD所成的角为45°,

所以NPCA=45。，所以AC=%=2.

所以AC=4B=3C,故△ABC为等边三角形.

设8C的中点为M,连接AM,则AMJ_8C,所以AM_L4D.

以A为坐标原点，AM，AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空诃直

角坐标系4—xyz,如图(2),

则P(0,0,2),C(小，1,0),E(0,2,1),D(0,2,0),

所以正=(小，1,-2),凌：=(一小,1,1),DE=(0,0,1).

设平面/CE的法向量为/i=3,yi,zi),

/rPC=0,V3xi4-yi—2zi=0,

则即

j.—\[3x\+yi+zi=0.

/rCE=(),

令yi=L则?=小,zi=2.所以〃=(小,1,2).

设平面COE的法向量为机=(X2,*,Z2),

m-DE=0,(Z2=O,

则即心।।八

m-CE=0,1-\3X2+^2+Z2-O.

令X2=l,则丁2=3，Z2=0.所以〃2=(1,小，0).

设二面角/一C£一。的大小为。因为〃为钝角,

\n-in\2s

所以cos6=一|cos</i,m)|=

1川1刑-2yf2X2~4.

所以二面角P-CE-D的余弦值为一乎.

考点四与空间角有关的探索性问题

【例4】(2020•郴州一模)如图,在三棱锥尸一48C中,底面

是边长为4的正三角形，41=2,%_1_底面力OC,点E,少分

别为AC,PC的中点.

(1)求证：平面立面以C；

(2)在线段P3上是否存在点G,使得直线AG与平面P3C所成角的正弦值为华?

若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.

(1)证明a：AB=BC,E为AC的中点，：.BELAC.

又玄_L平面ABC,BEu平面ABC,：,PA1BE.

9：PAQAC=A,・・・BEL平面%C.

♦；BEu平面BEF,・•・平面BE/U平面以C

⑵解存在.由(1)及已知得出M1AC,

・・,点E,产分别为AC,PC的中点，

AEF//PA.：.EFLBE.EFlAC.

XBEVAC,:・EB,EC,£尸两两垂直.

分别以磅，EC,苏的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图,

则A(0,-2,0),P(0,-2,2),B(2小,0,0),C(0,2,0).

设前=入丽=(一2小九-2A,22),2e[0,1],

所以话=筋+反?=(2小(1一力，2(1-A),2A),

的二(一2小,2,0),PC=(0,4,-2),

设平面P6c的法向量为〃=(人，＞­,z),

nBC=Of一2小1+2）=0,

则='

n-PC=O4y-2z=0,

令x=l,则了=3，z=25,，〃=（1,小,2V§）.

由已知得手=必0上，

|AG|.|H|

即华=而备丁'《端舍却

故7=;.

所以存在满足条件的点G,点G为尸8的中点.

规律方法1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作

条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，

是否有规定范围内的解”等.

2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，

解出参数.

【训练4】如图，在四棱锥尸一ABCQ中，四边形A8CQ为入

平行四边形，ABA.AC,%_L平面ABC。，且%=4B=3,AC

=2,点E是尸。的中点.

DC

(1)求证：P8〃平面4EC；

(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M—AC-E的平面角的

余弦值为嚅？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.

⑴证明连接8。交4c于点F,连接EF.

因为ABCD为平行四边形，E/7：4\

所以尸是引)的中点.

D'C

又E是PD的中点，

所以EF〃PB.

又E/u平面AEC,08Q平面AEC,

所以P8〃平面AEC.

(2)解由题意知，AC,AB,AP两两互相垂直，如图，以

p

点A为坐标原点，射线AC,AB,AP分别为x轴，)，轴，z

轴正方向建立空间直角坐标系A—xyz,

则C(2,0,0),0(2,—3,0),

33

-

zoo3o3-

(-T2

x

设M(xo，yo,zo),PM=zPB(0<z<1),

则(xo,yo,zo—3)=4(0,3,-3),得M(0,32,3—32).

设平面4EC的法向量为小=(K,yuzi).

3

-3、一

由•屈?=0,n\-AC=0及崩=1,2寸，AC=(2,0,0),

,Xi—ZAJI+ZZI=0,,

得，22取“=],得m=(0,1,1).

12x1=0.

设平面MAC的法向量为〃2=(X2,)2,Z2).

由〃2•前=0,〃2•危=0及而=(0,3x,3-3z),危=(2,0,0),

3b2+(3—32)Z2=0,取Z2=l,得〃2=(()，1—p

得

2x2=0.

设二面角M-AC-E的平面角的大小为0,

\?

化简得9万—97+2=0,解得2=1或2=].

因为二面角M-AC-E的平面角的余弦值为典,

所以二面角M—4C一£的平面角为锐角，所以人=今

所以血=4而.

故丽=;而时，二面角M—AC—£的平面角的余弦值为呼.

J1Vz

分层限时训练分层训练，提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.己知空间三点4(1,1,1),仅一1,0,4),CQ，-2,3),则筋与篇的夹角夕

的大小为()

A.30°B.60°C.1200D.15O0

解析A8=(—2,—1,3),CA=(—1,3,—2),

-*->(—2)X(—1)+(—I)X3+3X(—2)

3皿CA〉=----------------/而-----------------

—171—-5，:"6=(八8,CA)—120°.

答案c

2.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120%则直线/与平面«所

成的角等于()

A.I200B.60°C.30°D.60。或30。

解析设直线/与平面Q所成的角为从直线/与平面。的法向量的夹角为

则sin/?=|cosy|=|cos120°|=^.

又0隈归90。,・・・0=30。.

答案C

3.(一题多解)(2019•泉州二模)在直三棱柱ABC-ABiG中,AA\=2MB\=2B.C\,

且ABVBC,点M是4G的中点，则异面直线MB与44所成角的余弦值为()

A1R空nl

D・34

解析法一由题意知A4i〃88i,则异面直线MB与A4i所成角为NM881,如

图(1).又为直角三角形，所以cos产箫.在直三棱柱A8C—AiBQ

]11

中，设A4I=248I=23Q=2.由ABLBC,得囱M=*4iG=竽故MB=

cos乎.故选B.

所以

法二由题意知A8,BC,88两两垂直，所以以B为坐标原点，84,BC,BBi

所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系8—xyz,如图(2).设AAi=

2A\B\=2B\C\=2,贝ijB(0,0,0),A(l,0,0),Ai(l,(),2),MQ,1,2),所

以血=(一/-1,一2),A4i=((),0,2).设异面宜线用8与AAi所成角为仇

|砺箱i|_4_2也

则cos0=所以异面直线MB与44所成角的余弦值

3

\MB\\AAi\A/|x2

2点,,、生

为故选B.

答案B

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，雨_1_平

面ABCQ,R\=AD=4,AB=2.以AC的中点。为球心，AC为

直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值

为()

A立R@Mn亚

XX•2D・333

解析如图所示，建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),P(0,

0,4),

BQ,0,0),C(2,4,0),0((),4,0),

M((),2,2).

所以危=(2,4,0),/而=((),2,2),CD=(-2,0,0).

设平面ACM的法向量〃=(x,y,z),

由/i±AC,

2r+4v=0,

可得LS八令Z=l,得〃=(2,-1,1).

2y+2z=0,

设所求角为a,则sina」？』=坐.

\CD\\n\'

答案D

5.在正方体ABCD-A\B\C\D\中，点£1为BB\的中点，则平面A\ED与平面ABCD

所成角的余弦值为()

1

AB

-23J3D.乎

解析以4为原点，AB,AD,AAi所在直线分别为x轴，y轴，

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1,则4(0,0,

1),中，0,0(0,1,0),

.\AiD=(Ot1,—1),

A7fe=(i,o,—

设平面A\ED的法向量为〃i=(l,)'，z),

y—z=0,

Ai£)ni=0,产2,

则有1一即，

Xi£ni=0,1-2z=0»2=2、

A/n=(l,2,2).

•・•平面A8CQ的法向量为/12=(0,0,1),

22

**•|cos<W1,"2〉

2

即平面AlED与平面ABCD夹角的余弦值为导

答案B

二、填空题

6.(2020・烟台月考)如图所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，A4i±

底面A3C,AB=BC=AA],NA8C=90。，点£,F分别是棱48,

BB\的中点，则直线成和BC\所成的角是__________.

解析以BC为x轴，84为y轴，为z轴，建立空间直角A,

坐标系.设AB=BC=A4i=2,

则C(2,0,2),E(0,1,0),尸(0,0,1),

则办=((),-I,1),比1=(2,0,2),

：.EFBCi=2t

・・・cos〈葩BC1)=^2X2yf2=r

••・E尸和3c所成的角为60°.

答案60°

7.(2020•合肥模拟)在长方体ABCD-A山iCQi中,78=2,BC=AA\=\f则直线

DxC\与平面AxBCx所成角的正弦值为.

解析如图，建立空间直角坐标系Q—Q，Z,

则。1(0,0,I),0(0,2,1),41(1,0,1),5(1,2,0).

AEhCi=(0,2,0),

^7Ci=(-l,2,0),ATB=(0,2,-1),

设平面4BG的法向量为〃=(x,y9z),

nA।Ci=(x,y,z)-(—1,2,0)=-x+2y=0,

由J_

nA\B=(x,y,z)•(0,2,—1)=2y—z=0,

1=2y

虱=2；令日'得片Q,1,2),

设直线01G与平面4BG所成角为仇则

加i•川2__1

sin^=|cos(EhCi,n)|=2X3=y

I亦2|l〃l

即直线D1C1与平面48G所成角的正弦值为！

J

答案I

8.如图，菱形ABC。中，ZABC=60°,AC与8。相交于点。，

4EJ_平面ABC。，CF//AE,A8=2,CR=3.若直线0尸与平面

BEO所成的角为45。，则AE=.

解析如图，以。为坐标原点，以。4,。8所在直线分别为x

轴，y轴，以过点。且平行于C尸的直线为z轴建立空间直角坐

标系.

设AE=a,则8(0,小,0),0(0,f,0),F(—1,0,3),

E(l,0,a),

OF=(—1,0,3),£)8=(0,2小，0),EB=(—1,小，—a).

设平面BED的法向量为〃=(x,y,z),

/i-DB=0,(2小)=0,

则即厂

〃•丽=0,

则y=0,令z=l,得、=一〃,

，〃=(—4,0,1),

Acos〈〃，OF)=皿=产..

间|两6+-E

・・,直线O/与平面3EZ)所成角的大小为45°,

.R/+3I^2

・勾片+ix/—2•

解得。=2或。=一；(舍去)，：.AE=2.

答案2

三、解答题

9.(2019•郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是

平行四边形，四边形BDE/是矩形,E/)_L平面ABCD,ZABD

=?,AB=2AD.

O

⑴求证：平面平面AOE；

⑵若ED=BD,求直线4厂与平面AEC所成角的正弦值.

⑴证明在△AB。中，ZABD=^AB=2AD,

由余弦定理，得BD=@AD,

从而故BDJ_AO,

所以△48。为直角三角形且NAO8=全

因为OE_L平面48c。，3Ou平面A3CD,所以。E_L3D

又AOAOE=。，所以3O_L平面AOE.

因为3Ou平面BDEF,

所以平面BOEV7,平面AQE

⑵解由（1）可得，在RtZLAB。中，N8AO=?BD=yf^AD,又由ED=BD,

设AO=1,则8。=£。=小.因为。E_L平面A8CD,BDLAD,

所以可以点。为坐标原点，OA,DB,。七所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立

空间直角坐标系，如图所示.

则A(L0,0),C(-L事,0),E(0,0,小),F(0,小,回

所以崩=(—1,0,小)，AC=(-2,5,0).

设平面AEC的法向量为〃=(x,y,z),

nAE=0,—x+小z=0,

则即

ti,AC=01—2r+#y=0,

令z=l,得〃=（小，2,1）,为平面AEC的一个法向量.

因为办=（-1,<3,回

诉I”/〃•能皿

所以cos（〃，AF）---------~\A~1

Ml而14

所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为咎.

10.(2020.武汉调研)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底

面M8C—40G中，侧面A4QC_L底面ABC,底面△ABC‘灭:

是边长为2的正三角形，4A=4C,4AJL4c八心生》

(1)求证:AICIXBIC；

(2)(一题多解)求二面角B\-A\C-C\的正弦值.

⑴证明如图，取4G的中点。，连接囱。，CD,、

•・•C\C=A\A=A\C,

・・,底面AABC是边长为2的正三角形，

•*»AB=BC=2,A\B]=B\C\=2,t

/.BIDIAICI,

又BiDCCD=D,BiOu平面BCD,COu平面8CQ,

・・・4。1_1_平面81。。，AAICIIBIC.

(2)解法一如图，过点。作。£_LAC于点E,连接

•・•侧面A4iCiC_L底面A6C,

，侧面A4GC_L平面AIBICI,又BiDXAiCi,

侧面A41cleG平面AiSCi=ACi,

，囱Z)J_平面AiCG,；.BO_L4C,

・・・4C_L平面BOE,ABiElAiC,

・•・ZBiED为所求二面角的平面角.

•：AiBi=BiCi=AiCi=2,:・BiD=小,

又ED=]CCi‘・'tan/BTED==^^=76,

2

・・smN3i£Q=方一.

A/42

・，・二面角8I—AIC—CI的正弦值为7.

法二如图，取AC的中点。，以0为坐标原点，射线

OB,0C,。4分别为P），，z轴的正方向建立空间直角坐

标系，M0（0,0,0）,B巾,0,0）,41（0,0,1）,Bl4,

1,1）,Ci（0,2,1）,C（0,1,0）,

・・.A宓i=（巾,I,0）,A7c=（o,i,-i）.

设==（X,y,z）为平面4N1C的法向量,

m-MB\=，§x+y=0,

••

m-A\C=y—z=0,

令y=小,得/〃=（—1,小，小），

又沅?=（第，0,0）为平面4CG的一个法向量,

・/亚

..cos</?nOB）=------=-亍，

M\OB\

由图易知所求二面角为锐角，

.A/42

.二二面角AIC—CI的正弦值为7.

B级能力提升

11.（2020・长沙雅礼中学检测）在三棱锥P-ABC中，点P在底面的正投影恰好是

等边△A8C的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长.设△以。

与底面所成的二面角的大小为a,△P8C与底面所成的二面角的大小为6则lan®

+£）的值是（）

B.1^/3C.一吉百D.-

解析如图，设点P在边AB上的射影为H,作HF1BC,

HELAC,连接P卜,PE.

依题意，/HEP=a,4PFH=p.

不妨设等边△ABC的边长为2,则P，=2,AH=BH=\.

24

=

••HE2,HF=2,则tana=tan£=近一有

2

2X-T=-

,,/小2tana\38r-

故tan(a।+为==K]_(=「r小

答案c

12.已知正方形ABC。的边长为4,CG_L平面45c。，CG=2,E,R分别是A3,

A。的中点，则点B到平面GEF的距离为()

A、mB近c匹D^H

解析连接BG.以C为原点，CD,CB,C的方向分别上

为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐\\

标系，

其中C(0,0,0),G(0,0,2),E(2,4,0),8(0,4,0),/\^/E

/DFA

F(4,2,0).

ABG=(0,-4,2),GE=(2,4,-2),EF=(2,-2,0).

设平面GEF的法向量为〃=(x,y,z),

n-GE=0,2x+4y—2z=0,

则即1

〃・办=0,2x-2y=0.

令x=l,则y=l,z=3,・••面GEF的一个法向量为〃=(1,1,3).

设点B到面GEr的距离为九则有"二嗜回二号芳1=疝=斗，故选C-

答案C

13.如图所示，二面角的棱上有A,B两点，直线AC,B。分别

在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A8.己知AB=4,

AC=6,8。=8,CD=2时,则该二面角的大小为.

解析,•,曲=滋+融+国),

/.ICDl=V(CA+Ali-HiD)2=V36一16-6I+2M・茄

VH6+2CA-lil)=2717.

：.CABb=\CA\\BD\cos<CA,BD)=-24.

cos(CA,BD)=~2,

又所求二面角与〈工，BD)互补，

・・・所求的二面角为60°.

答案60°

14.(2020•山东名校联盟考试)如图，在四棱铢P-ABCZ)中，R

PB1PA,PBtBC,8C〃平面PAD,PA=PD=2,AD=AB/：

=2g0,0»入

⑴求证：平面见8_L平面尸CD；

(2)若点M在线段A3上，且直线CM与平面PBC所成角的正弦值为书，试求

AM的长.

(1)证明〃平面PAD,8Cu平面ABCD,平面aQn平面ABCD=AD,

：.BC//AD.

•:PBIBC,：.PBLAD.

•・・P3_LH,MAAD=A,%u平面出O,AOu平面%O,

・・.P8_L平面PAD.

又PDu平面%O,：.PD±PB.

'：PA=PD=2,AD=2<2,

212

：.PA-^-PD=ADf：.PD±PA.

而应nPB=P,%u平面附8,PBu平面MB,

JPOJ_平面PAB.

又・.•PQu平面PCD,・•・平面%B_L平面PCD.

⑵解由(1)知密,PB,PQ两两垂直，

・••以P为原点，分别以直线PB,PA,尸。为x轴，y轴，z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系尸一孙z,则P(0,0,

0),4(0,2,0),8(2,0,0),0(0,0,2),C(2,-i,1).

丽=(2,0,0),PC=(2,-1,1).

设平面P8C的法向量为〃=(x,y,z),

〃•丽=0,2^—0,

则即1,

〃・无=0,2x—✓v+z=0.

令y=1,贝Uz=l,・・.〃=(0,1,1).

令6=7前(0W2W1),

AM(2A,2—2九0),ACM=(22-