等差数列基础习题选附详细答案答案

参考答案与试题解析

一.选择题(共26小题)

1.已知等差数列｛an｝中，a3=9,a9=3.则公差d的值为()

A.1B.1C._1D.

2~2

考点：等差数列.

专题：计算题.

分析：fa〔+(3-1)d=9

本题可由题意，构造方程组I1,、，解出该方程组即可得到答案.

为+(9-1)d=3

解答:解：等差数列｛an｝中，a3=9,蜀=3,

a1+(3-1)d=9

由等差数列的通项公式，可得I1.

&]+(9-1)d=3

ai=ll

解得，1，即等差数列的公差d=-1.

d=-l

故选D

点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题.

2.己例数列｛加｝的通项公式是a“=2n+5,则此数列是()

A.以7为首项，公差为2的等差数列B.以7为首项，公差为5的等差数列

C.以5为首项，公差为2的等差数列D.不是零差数列

考点：等差数列.

专题：计算题.

分析：直接根据数列｛an｝的通项公式是an=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.

解答：解:因为an=2n+5,

所以ai=2x1+5=7；

an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2.

故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列.

故选A.

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项.

3.在等差数列｛an｝中，aj=13,aj=12.若an=2,则n等于()

A.23B.24C.25D.26

考点：等差数列.

专题：综合题.

分析•：根据ai=13,a3=l2,利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让

其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值.

解解：由题意得a3=ai+2d=12,把ai=13代入求得d二-1，

2

则an=!3--(n-l)=-工n+ZZ=2,解得n=23

222

故选A

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题.

4.等差数列｛加｝的前n项和为S»已知S3=6,必=8,则公差d=（）

A.-1B.2C.3D.一2

考点：等差数列.

专题：计算题.

分析：根据等差数列的前三项之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的；两项，根据等差数列

的通项公式，得到数列的公差.

解答：解：二•等差数列｛an｝的前n项和为Sn，

S3=6,

az=2

*.*34=8,

8=2+2d

d=3,

故选C.

点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三

倍，这样可以简化题目的运算.

5.两个数1与5的等差中项是（）

A.1B.3C.2D.±73

考点：等差数列.

专题：计算题.

分析：由于a,b的等差中项为迫，由此可求出1与5的等差中项.

2

解答：解：1与5的等差中项为：及3,

2

故选B.

点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a,b的等差中项为：处是解题的关键，属基础题.

2

6.一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

考点：等差数列.

专题：计算题.

分析：设等差数列｛an｝的公差为d,因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以-名<d<-生，结合公

56

差为整数进而求出数列的公差.

解答：解：设等差数列｛a"的公差为d,

所以a6=23+5d,a7=23+6d,

又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，

所以一%d<—&，

56

因为数列是公差为整数的等差数列，

所以d=-4.

故选C.

点评：解决此类问题的关健是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算.

7.（2012•福建）等差数列｛a“中，ai+a5=10,刖=7,则数列｛a“的公差为（）

A.1B.2C.3D.4

考点：等差数列的通项公式.

专题：计算题.

分析：设数列｛an｝的公差为d,则由题意可得2ai+4d=10,ai+3d=7,由此解得d的值.

解答：解:设数列｛an｝的公差为d,则由ai+a5=10,34=7,可得2ai+4d=10,ai+3d=7,解得d=2»

故选B.

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题.

8.数列凡｝的首项为3,0｝为等差数列且鼠二a^-an（ngN*），若b3~2,比口力，则％=（）

A.0B.8C.3D.11

考点：等差数列的通项公式.

专题：计算题.

分析：先确定等差数列｛%｝的通项，再利用％二③向一an（ntN*），我们可以求得出的值.

解答：解：・「1%｝为等差数列，b?二一2,bi。二12，

.J10—匕3]4

■,d=10-3=T=2

bn=b3+（n-3）x2=2n-8

'「bHan（n€N*）

bs=as-ai

数列｛a八｝的首项为3

2x8-8=as-3»

a8=ll.

故选D

点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题.

9.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项，则它们的公共项的个数为（）

A.25B.24C.20D.19

考点：等差数列的通项公式.

专题：计算题.

分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最

小公倍数求解，

（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解•.

解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为｛an｝，则ai=ll

数列5,8,11,...与3,7,11,…公差分别为3与4,

｛a"的公差（1=3x4=12,

an=l1+12（n-1）=12n-1.

又..S8,11,...与3,7,11,...的第100项分别是3与与399,

an=12n-1<302,即M25.5.

又tn€N*,

•••两个数列有25个相同的项.

故选A

解法二：设5,8,H,与3,7,11,分别为｛an｝与｛bn｝,fillan=3n+2,bn=4n-I.

设｛即｝中的第n项与｛bn｝中的第m项相同,

即3n+2=4m-1,n="m-1.

3

又m、nGN*,可设m=3r(r6N*)»得n=4r-I.

根据题意得143团001^41-l<100解得14区四

24

•••reN*

从而有25个相同的项

故选A

点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的

要求较高.

10.设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若满足an=an-i+2(*2),ES3=9,则ai=()

A.5B.3C.-1D.1

考点：等差数列的通项公式.

专题：计算题.

分析：根据递推公式求出公差为2,再由S3=9以及前n项和公式求出ai的值.

解答：解：...an=an-i+2(n22),an-an-尸2(n>2),

等差数列｛an｝的公差是2,

由S3=3ai+号2x2=9解得，ai=l.

故选D.

点评：本题考杳了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解.

11.(2005•黑龙江)如果数列｛a“是等差数列，则()

A.ai+a8>34+35B.ai+as=a4+a5C.ai+as<a4+a5D.aias=a4a5

考点：等差数列的性质.

分析：用通项公式来寻求ai+a8与JU+a5的关系.

解答：解：/ai+as-(a4+as)=2ai+7d-(2ai+7d)=0

ai+as=a4+a5

「•故选B

点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质.

12.(2004•福建)设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若土贝片()

A.1B.-1C.2D._1

1

考点：等差数列的性质.

专题：计算题.

分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题.

解答：解：设等差数列｛an｝的首项为山，由等差数列的性质可得

ai+a9=2a5>a1+35=233,

3i+aq

9a

...当s—?________^a5_9aJr,

S5al+a55%,9

X5

故选A.

点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,

已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，则有如下关系s2n.产（2n-1）an.

13.(2(X)9•安徽)已知⑶｝为等差数列，ai+a3+a5=IO5,a2+a4+a6=99,则azo等于()

A.-1B.1C.3D.7

考点：等差数列的性质.

专题：计算题.

分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和M的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项

公式求得答案.

解答：解：由己知得ai+a3+a5=3a3=105,

a2+a4+a6=3a4=99,

aa=35,a4=33,/.d=iu-aa=-2.

a20=a3+17d=35+（-2）xl7=l.

故选B

点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用等差数列中等差中项的

性质求得a3和a4.

a

14.在等差数列｛an｝中，32=4,36=12：,那么数列｛n｝的前n项和等于（）

A.2.n+2B.n+l

1+D-n(n-1)

2n

2nH

考点：数列的求和；等差数列的性质.

专题：计算题.

分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数

列的前n项的和.

解答：解：...等差数列｛an｝中，az=4,a6=12；

%一a2_12_4

公差d二二；

6-2=6-22

an=a2+(n-2)x2=2n；

ann

的前n项和,

213n-1

Sn=ix1+2X（1）+3X(—,)+…+(n-1)X(1)+nX(£)

乙乙乙乙

23141nrr+-l

ivix©)+2Xt)+3X1)•••+(n-1)X(-Z)+nX

乙

2rH-1

两式相减得工S”二工++(,)+…+(,1)n-n痣1)

2n2乙乙乙

1-I

A-（1）rd-1

22n弓）

乙

-*sn=

故选B

点评:求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法.

15.已知已为等差数列⑸｝的前n项的和，a2+as=4,S7=21,则a7的值为（）

A.6B.7C.8D.9

考点：等差数列的性质.

专题：计算题.

分析：由a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得23+闻』|+*4①，根据等差数列的前n项和公式可得,

」~^X7二21，联立可求d,ai，代入等差数列的通项公式可求

2

解答:解：等差数列｛an｝中，a2+a5=4,S?=21

根据等差数列的性质可得a3+a4=a।+济=4①

根据等差数列的前n项和公式可得，」一IX7=21

2

所以ai+a7=6②

②-①可得d=2,ai=-3

所以a7=9

故选D

点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题.

16.已如数列｛a“为等差数列，ai+a3-a5=15,即=7,则S6的值为（）

A.30B.35C.36D.24

考点：等差数列的性质.

专题：计算题.

分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用ai+a6=a3+a4求得ai+*的值，代入等差数列的求和公式中求得

答案.

解答：解：ai+a3+a5=3a3=15,

「•a3=5

a1+06=33+34=12

（+

/.s=--------------------x6=36

62

故选C

点评：本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质.

17.(2012•营口)等差数列｛an｝的公差dVO,且a"a,则数列匕目的前n项和Sn取得最大值时的项数n是()

A.5B.6C.5或6D.6或7

考占.等差数列的前n项和；等差数列的通项公式.

专题:计算题.

分析:

a；,知ai+an=O.由此能求出数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值时的项数n.

解答:22

解：由d<0,a1=a1

知ai+aii=O.

••36=0>

故选C.

点评:本题主要考查等差数列的性质，求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.

18.(2012•辽宁)在等差数列｛a“中,已知必+邺二坨,则该数列前11项和S“二()

A.58B.88C.143D.176

考点：等差数列的性质：等差数列的前n项和.

专题：计算题.

分析：11(+)

根据等差数列的定义和性质得31+311=^+38=16,再由S"=——宜一步一运算求得结果.

2

解答：-J1/.)

lia1+a11/

解：.在等差数列｛an｝中，己知a4+a8=16,「.ai+ai]=a4+as=l6,Si产-------------------=88,

2

故选B.

点评：木题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题.

19.已知数列｛an｝等差数列，且ai+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+as+a।j=20,则皿=()

A.-1B.0C.1D.2

考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和.

专题：计算题.

分析：由等差数列得性质可得：5a5=1()，即a5=2.同理可得5a6=2(),%=4,再由等差中项可知：a4=2as-a6=0

解答：解：由等差数列得性质可得：ai+a9=a3+a7=2a5»又ai+a3+a5+a7+a9=10，

故5a?=10,即a3=2.同理可得5a6=20,a/4.

再由等差中项可知：a4=2a5-a6=0

故选B

点评：本题考杳等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题.

20.(理)已知数列｛an｝的前n项和S产产-8必第k项满足4Vak<7,则k=()

A.6B.7C.8D.9

考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和.

专题：计算题.

分析:fSj(n=l)

先利用公式an=4/、、求出an,再由第k项满足4<ak<7,建立不等式，求出k的值.

Sn-Sn-l(^>2)

解答:$(n=l)

解：a='

nSn-Sn-i(n>2)

-7(n=l)

-9+2n(n>2)

n=l时适合an=2n-9,an=2n-9.

V4<ak<7,/.4<2k-9<7,

.•士VkV8,又•••k6N+,k=7,

2

故选B.

点评:8(n=l)

本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=,、、的合理运用，属于基础题.

Sn-Sn-1(n>2)

21.数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n2・17n,则当心取得最小值时n的值为()

A.4或5B.5或6C.4D.5

考点：等差数列的前n项和.

专题：计算题.

分析：把数列的前n项的和Sn看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到Sn取得

最小值时n的值.

解答：解：因为Sn=2n2-17n=2(n-^)-空，

416

又n为正整数，

所以当n=4时，Sn取得最小值.

故选C

点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题.

22.等差数列｛an｝中，a产2n-4,则S4等于()

A.12B.10C.8D.4

考点：等差数列的前n项和.

专题：计算题.

分析：利用等差数列｛a“中，an=2n-4,先求出ai，d,再由等差数列的前n项和公式求S不

解答：解：二,等差数列｛a“中，an=2n-4,

ai=2-4=-2,

32=4-4=0,

d=0-(-2)=2,

S4=4ai+.4X3

2，

=4x(-2)+4x3

=4.

故选D.

点评：本题考杳等差数列的前n项和公式的应用，是基础题.解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和

公差，再求前四项和.

23.若｛an｝为等差数列，a3=4,a8=19,则数列｛a“的前10项和为()

A.230B.140C.115D.95

考点：等差数列的前n项和.

专题：综合题.

分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求

出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和.

解答：解：a3=ai+2d=4①，a8=ai+7d=19(2),

②-①得5d=15,

解得d=3,

把d=3代入①求得ai=-2,

所以Sio=lOx(-2)+1QX9K3=115

2

故选C.

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题.

26.设an=-2n+21,则数列｛a。｝从首项到第几项的和最大()

A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项

考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质.

专题：转化思想.

分析：方法一：由a。，令n=l求出数列的首项，利用an-an-1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据

求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口

向下的抛物线，当产-生时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；

2a

方法二：令即大于等于0,列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找

出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案.

解答：解：方法—：由an=-2n+21,得到首项ai=-2+21=19,an-1=~2(n-1)+21=-2n+23,

则an-an-1=(-2n+2l)-(-2n+23)=-2,(n>I,nEN4"),

所以此数列是首项为19,公差为-2的等差数列，

则Sn=19n+'D•(-2)=-n2+20n,为开口向下的抛物线，

2

当11=----纪~^=10时，Sn最大.

2X(-1)

所以数列｛an｝从首项到第10项和最大.

方法二：令an=-2n+21NO,

解得因为n取正整数，所以n的最大值为10,

2

所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，

则数列｛a"从首项到第10项的和最大.

故选A

点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n

的值；也可以直接令aaO,求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解.

一.填空题(共4小题)

27.如果数列同｝满足：a=3,二一一工5(n€N*),Ma=_—^―-

1

a.1an*15n-14

考点：数列递推式；等差数列的通项公式.

专题：计算题.

分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项,

根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果.

解答：解：•.•根据所给的数列的递推式」--工二5

合什1an

「•数列｛」」｝是一个公差是5的等差数列，

an

ai=3»

•.•U,—I•

a13

」•数列的通项是。」^5(n-1)二、5n-5=5n-受

anal33

・二3

"二15rl-14

故答案为:3

15n-14

点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的

通项公式写出通项，本题是一个中档题目.

28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=l,2,3...),且f(1)=2,则