第5章 平面向量与复数 第2节 平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示

考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义;2.掌握平面向量的正交分解及其坐

标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的

平面向量共线的条件.

I知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.平面向量基本定理

如果以，62是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量

有且只有一对实数力,X2,使。=勾红土&丝.

其中，不共线的向量⑨，仍叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(I)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a=(xi,y\),5=(X2,)叫则

a+/=(xi+x2，v1+v2)，a-b=3一4，vi—⑸,/.a=(lxi,Ayi)>

|a|=、N+*.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设4(xi,yi),13(X2,刈，

则油=(X2-X］，V2—VI),

\AB\=y/(X2—xi)2+(应―yi)2.

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(Xi,y\),b=(X2,)2),则。〃Z><=>xn?2~x2yi=O.

|常用结论，

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与6不共线，痴+〃b=0,则2=〃=0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的

向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

N诊断自测

I.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()

(2)设“，b是平面内的一组基底,若实数为，"1,12,"2满足是内=/2。+"2底

则41=22,〃1=〃2.()

(3)若a=(xi,yi),b=(X2,户)，则。勿的充要条件可以表示成弋二9.()

A2)2

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()

答案(1)X(2"(3)X(4)J

解析(1)共线向量不可以作为基底.

(3)若6=(0,0),则a=已无意义.

X2)2

2.若Pi(l,3),生(4,0),且P是线段PP2的一个三等分点(靠近点P),则点尸

的坐标为()

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-i)D.(2,2)或(3,1)

答案A

解析由题意得P7=qP/2且P声2=(3,-3),

设P(x,y),则(i—1,y-3)=|(3,—3),

所以x=2,y=2,则点P(2,2).

3.(2021•银川质检)设向量a=(—3,4),向量b与向量。方向相反,且网=10,则

向量〃的坐标为()

/6

n-

\-

A.5?B.(-6,8)

D.(6,-8)

答案D

解析因为向量力与。方向相反，则可设力=〃=(一3九42),7<0,则|臼=>\/9产+16/12

=5口1=10,・・・2=-2,b=®-8）.

4.（易错题）给出下列三个向量：9,b=（\,一3）,c=（-2,6）.从三个向量

中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为.

答案2

解析易知力〃c,。与》不共线，。与c不共线，所以能构成基底的组数为2.

5.（易错题）已知4一1,3）,仇2,-1）,则与向量油共线的单位向量是.

答案土停喷

解析:磊=（2,3）=（3,—4）,・・.|彳&|=5.故与向量油共线的单位

向量坐标为±修一。

6.（2021♦全国乙卷）已知向量。=（2,5）,6=（九4）,若。〃力，则；1=.

答案|

解析法一（定义法）因为。〃力，所以存在实数&，使。=劭，即（2,5）=&（/1,4）,

to=2,

得135,解得

k=l

Q

法二（结论法）因为。〃儿所以2X4—51=0,解得丸=《.

考点突破•题型剖析

考点一平面向量的坐标运算

1.（2021・西安调研）在平面直角坐标系中，O为坐标原点,OA=若油绕

点。逆时针旋转60。得到向量/，则折=（）

A.(0,i)B.(l,0)

答案A

解析•.,宓=（乎，j）,，醇与x轴的夹角为30。,

依题意，向量份与x轴的夹角为90。,

感悟提升I.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即

引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很

多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.

2.向量的坐标运算主要是利用向量的力口、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向

线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.

[[考点二平面向量基本定理及其应用

例1如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，。是将说分成2：1的一个

内分点，。。和OA交于点E,设醇=a,OB=b.

(1)用。和b表示向量沆，DC；

(2)若丽=1(3尢求实数2的值.

解(1)依题意，A是BC的中点,

：.20A=dB-^dC,

即沆1:？/.。??：？。一〃.

—>—>—►—«►2-►

DC=OC-0D=OC-^OB

⑵设无=疝(0々＜1),

则在=①_沆=痴_(2o-力

=(2—2)a~\~b.

丁建与前共线，

:•存在实数k,使在=k次;，

4

-

5

感悟提升I.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三

角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底

将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

91

训练1在△ABC中，点P是AB上一点,且。=§以+1宿，。是8C的中点，

AQ与C尸的交点为M,又仄I=E,则实数，的值为.

答案J

解析因为次=|取及，所以3必=2/+浦，即2亦一2公=压一滂＞,

所以2AP=PB,

即P为AB的一个三等分点(靠近A点).

又因为A,M,Q三点共线，设瓶=跟,

所以诙=而一危=做一充

=伽+闻_比夕+早病.

又原/=遂=诲一沅)

[[考点三平面向量共线的坐标表示

角度1利用向量共线求向量或点的坐标

例2在△A8C中，已知点0((),0),4((),5),8(4,3),dt=^OA,OD=^OB,

4。与BC交于点M,则点M的坐标为.

答案停2)

解析因为点0(0,0),A(0,5),8(4,3),

3

所以点40,京)，同理点电,-

2

设M的坐标为。，y),

7

-

则而=(x,)，-5),而俞=(2,2

因为A,M,。三点共线，

所以命与在共线，

所以一会一2()，-5)=0,即7x+4y=20.

@=(4-0,3-京)=(4,

因为C,M,8三点共线，所以加与无共线,

所以$_4T)―。,即7L16y—20.

得卜呈

|7x+4y=20,

由“

[7x-16y=-20,

b=2,

所以点M的坐标为厚2j.

角度2利用向量共线求参数

例3⑴已知向量次一(攵，12),08-(4,5),沆一(一七10),且A,B,C三点共

线，则实数攵的值是()

2「I小卜2

AA.—gB.—C?D.g

(2)已知向量。=(2,1),b=(x,-1),且。一力与力共线，则x的值为,

答案(1)A(2)-2

解析(1)油=协一苏=(4一h-7),AC=OC-OA=(-2kf-2).因为A,B,

2

C三点共线，所以踮，AC共线，所以一2X(4—k)=-7X(—2k),解得女=一？

(2)V«=(2,1),力=(羽-1),

•»a—b=(2—x,2).

又・・・。一方与b共线,

A(2-x)X(-l)-2x=0,：.x=~2.

感悟提升1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：

(1)若a=(xi,ji),b=(xityi)t则。〃b的充要条件是刘广一X2)，i=0;

(2)若。〃b(〃WO),则瓦

2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的

坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

训练2(1)设向量宓=(1,-2),OB=(2,\-1),OC=(-2S()),m,〃WR,O

为坐标原点，若4,B,C三点共线，则〃z+〃的最大值为()

A.-3B.-2C.2D.3

(2)(2021•太原联考)已知向量e】=(L1),及=((),1),若a=ei+1e2与b=-(2ei

—3e2)共线，则实数2=.

3

答案(DA(2)-2

解析⑴易知，AB//AC,其中诵=为一醇=(2加-1,1),

AC=OC-OA=(-2n-\,2),

所以(2加-1)X2=1X(-2"—1),

得21+2”=1.

又2，H+1+2”22严有而，所以2W,+M+I^2-2,即〃?+〃W—3(当且仅当〃?=一2,〃

=-1时取等号).

(2)由题意知。=61+解2=(1,1+幻，

力=—(2ei—3e2)=(—2,1).

由于。〃方，所以1X1+2(1+2)=0,解得人=一方.

I分层训练•巩固提升

A级基础巩固

I.在如图所示的平面直角坐标系中，向量矗的坐标是()

o-i-2

A.(2,2)B.(—2,-2)

C.(l,1)D.(—1,—1)

答案D

解析因为A(2,2),8(1,1),所以筋=(—1,-1).

2.在下列向量组中，可以把向量。=(3,2)表示出来的是()

A.ei=(0,0),62=(1,2)

B.ei=(-1)2),62=(5,—2)

C.ei=(3,5),e2=(6,10)

D<?i=(2»—3),02=(—2,3)

答案B

解析对于A,C,D都有①〃62,所以只有B成立.

3.(2022・东北师大附中等五校联考)已知向量a=g,tana),b=(cosa,1),

〃£伟兀)，且〃勿，则sin(a-3)=()

1°1^272n2^2

A.-gB.1C.-D.—

答案C

解析由题意得<=tana・cosa=sina.

2^2

知cosa=

3，

兀

2一

4.(2021•郑州质检)已知向量AB=(I,4),BC=(m,-1),若AB〃4C,则实数，〃的

值

为

1

-C4

A.44

答案D

解析•・•向量筋=(1,4),BC=(mf-1),

：,AC=AB+BC={\+m,3).

又屈?〃病，所以IX3—4(l+〃?)=0,解得加=一；.

5.如图，在△"(:中，AN=2NC,P是线段8N上一点，若/=凝+领7,则

实数/的值为()

答案C

解析由题意，P是BN上一点、,

设丽=2的，0W/IW1,

则协=踮+丽=福+/1就

=油+2(俞一痼

=(1一2)卷+施.

2_

又病=2祀，所以俞二次，

所以#=(1-7)油+|/位'

=tAB^-^AC,

1—2=/,

所以2,1解得号.

“尸引2

6.(2021贵阳诊断)在△入8C中，AB-2,八。一3,八一60。，O为△A8C的外心.若Ab

=人成+)尼，x,)£R,则2x+3)=()

A.2B.|C.1D.|

答案B

解析如图所示，过O作三角形三边的垂线，垂足分另〔为。，E,F,且O,E,

户为所在边的中点，过。分别作AB,AC的平行线NO,MO.

IAB2+AC2~BC24+9-^C2”‘e

由题意知cos600=2,'AB-AC=\2，解得BC=y]r7,

贝UZ\A8C的外接圆半径，=云扁=写.

>>111I八J

因为OQJ_AB,

所以OD=y]AO1—Ab1=y1=^3^-

又因为NOMO=60。，

24

--

A/3

3,

]4

则AN=MO=y

由题意可知劭=.仪方+〉话=赢+京，

所以工_而_亨y-Ac-r

所以2x+3y=。.

7.己知梯形A6CZ),其中月台〃8,且。C=2A8,三个顶点A(l,2),8(2,1),

C(4,2),则点。的坐标为.

答案(2,4)

解析因为在梯形48co中，DC=2AB,

所以比=2命，

设点D的坐标为(x,y),

则历=(4,2)—。,y)=(4r,2—y),

猫=(2,1)-(1,2)=(1,-1),

所以(4—x,2-y)=2(l,-1),

即(4—x,2-y)=(2,-2),

4—x=2E=O

所以「\解得"J故点o的坐标为(2,4).

12—y=—2,ly=4,

8.(2022・河北联盟模拟)己知点A(l,0),8(1,小)，点、C在第二象限，且NAOC

=150°,OC=-404+zOfe,贝1]2=.

答案1

解析因为点4(1,0),仇1,#),点C在第二象限，浣=-4殖+2份，

所以CU—4,V3A).

因为NAOC=150。，所以/。。==150。，

所以tanl5()o=j^=一乎，解得2=1.

2-4J

9.已知。为坐标原点，向量游=(1,2),油=(-2,-1),若2种=初，贝山律|

答案日

解析设尸点坐标为(x,y),AB=OB-OA=(-2t-1)-(1,2)=(—3,-3),

能=(x—l,y-2),

则由2曲=群得，2(x-1,y-2)=(-3,-3),

1

A=~y

[2A—2=-3,

所以r)。解得V

⑵-4=-3,1

Al

10.已知4=(1,0),b=Q,1).

(1)当k为何值时，①一6与a+2b共线？

(2)若检=2a+3力，波="+〃小且A,B,C三点共线，求〃?的值.

解(T)ka-b=k30)-(2,1)=/-2,-1),

。+2)=(1,0)4-2(2,1)=(5,2).

〈ka一)与a+2b共线，

/.2(^-2)-(-l)X5=0,

即2〃-4+5=0,得k=一[

(2)法一YA,B,C三点共线,

，存在实数九使得诵二i比，

即2。+3方=2(。+/汕)，

法二A8=2a+3〃=2(1,0)+3(2,I)

=(8,3),

BC=a-^-inh=(\,0)+〃?(2,1)

=(2/w4-1,w).

VA,B,C三点共线，：.AB//BC9

Sm—3(2/〃+1)=0,

3

即2/〃-3=0,/.m=-^.

11.已知A,B,。三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且崩=领;，

BF=\BC.

⑴求£,产的坐标；

(2)求证：EF//AB.

(1)解设E,/两点的坐标分别为(汨，yi),(必刈，则依题意，得公=(2,2),

反=(一2,3),油=(4,-1),

所以屐：=领7=停,

BF=1BC=^—I，]).

22

-

因为靠=(xi,VI)—(—1,33

即（X2,”）=（/1）+（3,-1）=冬。），

所以E的坐标为（一；，1），尸的坐标为6，0）.

（2）证明由（1）得前=（,，一|）,

前二（4,-1）,

因为4X（一§一（一1溶=0,

所以前〃检.

B级能力提升

12.（2021遥明模拟）如图是由等边△A/E和等边△KGC构成的六角星，其中B,D,

F,H,J,L均为三等分点、,两个等边三角形的中心均为O,若沌=〃?沆+北方,

则州）

答案B

1a_

解析连接OQ（图略），根据题意，可得醇=；沆+全箱①，

且次=。&+次，即为=一次+次②，

'11?一

①一②X］,得［殖=2（元+^力，

即为=2次7