第8章平面向量（单元提升卷）

第8章平面向量（单元提升卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，16题每题4分，712题每题5分,

1.在&44C中，ZC=-,AC=BC=2,"为/（7的中点，尸在线段IB上，则而•丽的最小值为一

28

【分析】以线段力8的中点为坐标原点，线段48所在直线为x轴，线段43的垂直平分线为y轴建立平面直

角坐标系，直接利用数星枳的坐标运算求最值即可.

【解答】解：如图：以线段,48的中点为坐标原点，线段48所在宜线为x轴，线段月"的垂直平分线为），轴

建立平面直角坐标系，

则•，当,C（0,板）,设尸（工0）,-后工五，

22

则A/P-CP=（x-=（x——^x+l=x2-^-x+I,

2222

当工=当时，（MPCP）”.=（争2_字乂4+1=（.

故答案为：

S

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运完，属于基础题.

2.向量万万的夹角为6,定义运算“G）"：a®b=\a\\b\sinO,若6=（技1）,5=（-6,1）,则五的值

为_26—.

【分析】由平面向量数量积的运凫，结合平面向量的夹角的运算求解即可.

【解答】解：已知向量万万的夹角为0,定义运算:“G）"；。凶刃=|d||B|sin。，

又d=(小1),b=(-x/3,1),

则|切=2,仍|=2,ab=x/3x(-^)¥\x\=-2,

则ccsO=@1=——=，

m||6|2x22

又Ow[O,刃，

贝Ijsin夕=x/1—cn^zf)=♦

2

则港&B=mi|B|sine=2x2x^=2j.

故答案为：2G.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题.

3.若|叫=1,出|=2,且1与5的夹角为则12彳一川=2.

【分析】由向量模的公式计算即可.

【解答】解：|2«-6|=V4a2+P-4^-6=^4xl+4-4xlx2xl=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查平面向量数量积的运算，主要涉及向量模的公式应用，属于基础题.

4.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象

征各国、各地区代表团的“小雪花”二聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了

全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形N8COE/（如图②）.己知正六边形的边长为

1，若点尸是线段8。上的动点（包括端点），则万•而的最小值是.

【分析】建立平面直角坐标系后，用向量的坐标运算进行求解即可.

【解答】解：连接力。，BE,CF,交于点O,如图所示，以。为原点，尸C所在直线为x轴，过。与叱

垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，

•.•正六边形的边长为1,

八」6、\上、Ix/3.

"了彳），掰一彳，一~^-），Boq,---），C(I,O),

•.•。是线段8c上的动点（包括端点）,

—__IJi]JT

/.i^BP=ABC=A(-,—)=(-2,—A)(0..2..I)，

2222

••.44,争一争，

...而=(；/l+l,孚4),丽=(；4,弓2一两，

/.APDP=(-A+l)x-A+—Ax(^-A-^)=A2-A=(A-3?-L，

222224

•.Q九1,

.•.当且仅当4=1时，万•加的最小值为-！.

24

故答案为：

4

【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题.

5.已知。和坂，且d=（0,2）,ab=-3,则5在G方向上的投影是己

-2

【分析】由投影定义，直接代入已知条件求解即可.

【解答】解：由投影定义可知，方在4方向上的投影为:

|/r）|cos<a,r/>>=-|/>ti|•~b^=-u•b=—-3=3

miwmi22

故答案为：-

2

【点评】本题考查平面向量投影的求法，属基础题.

6.已知48=上8。，且=则实数切=-1

4—5

【分析】利用平面向量的线性运算.求解.

【解答】解：•.•加=一而=一_1而=__1（加+就），

BA=--AC=mAC，

5

1

/.m=——.

5

故答案为：-

5

【点评】本题主要考查了平而向量的线性运算，属于基础题.

7.已知4W是AJ8C的边4C上的中线，若方=d,就"，则而等于+

2

【分析】根据题意画出图形，结合图形用刀、充表示出赤、函和布即口J.

【解答】解:

4W是AJ8C的边3c上的中线,

AB=a，AC=b,

CB=AB-AC=ii-b,

/.CM=-Cfl=-(a-^),

22

/.=JC+CM=b+-(a-b)=-(a+b).

22

故答案为：；(。+5).

【点评】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题.

8.已知直角坐标平面上两点柩-1,1)、6(2,3),若P满足辟=2恒,则点尸的坐标为

【分析】设点P(xj),求出耳处花的坐标，再结合炉=2巫，求出x,y的值即可.

【解答】解：设点尸(羽刃,

[(—1,1)、6(2,3),

/,月尸=(x+lj-l),户月=(2-x,3-y),

•••废=2巫,

x+l=2(27)

解得、7，

J-1=2(3-J0尸5

7

・••P(lq).

故答案为：(1g).

【点评】本题主要考杳了平面向量的坐标运算，属于基础题.

9.已知向量1=(1,2),5=(3,〃)满足G_LB,PIU

—2-

【分析】直接利用向量垂直的充要条件求出结果.

【解答】解：由于向量2=(1,2),5=(3,〃)满足。J_5,则3+2片=0,解得人=-1.

故答案为：

2

【点评】本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计和能力，属丁•基础题.

10.已知平面向量G,B,［，其中值而=120。,旧|=2,仍|=43七+=己=4,则|5-坂|的取值范用是

146.

亍'一♦

【分析】先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可.

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

因为但5〉=120。,|初=2,\b\=4,a-c+b-c=4,

则G=(2,0),5=(-2,2⑻，

设乙=(x,y),

c+bc=4,

即尸于亍，

则5-»=&+2,-延)，

则修一"='*+2)2+9，

则修-51的取值范围是［竽,+oo).

故答案为：［殍,内＞).

【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题.

11.已知+1+1（”..1,〃eN）,!（?）|=3,|J|=3>且〈。”2〉=与，若S”=%•（/+?+…+。《），当且仅当

〃=2或3时,S“取到最大值.

【分析】利用累加法可得工=7+（〃-1），，利用向量的数量积可得7方=-g,从而化简S.=-9、；45，,

利用二次函数的性质即可得解.

（解答］解：因为an+\=an+♦（〃..1,力€N）,

所以%=q+2,%=%+2，...»/=4_］+d,

所有的式子相加可得［=1+（〃-,

因为|7|=3,向=3,且0,2）=,，

所以〃।）=|q||）|cos-^-=3x3x（-；）=—g,

所以S“=%•（4+%+…+%）

=%（£《）=为%也+（1））］

/9I

（Textranslationtailed）

（Textranslationftiiied）

279n(n+1)

—n----------

222

-9，『+45〃

4

其对称轴方程为〃=3,

2

又〃为整数，所以〃=2或3时，邑取得最大值.

故答案为：2或3.

【点评】本题主要考查向量数量积的运算，累加法的应用，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

12.若两个平面向量口与很满足|万|=4,且B在后方向上的数量投影为-2,贝3坂|的最小值为10.

【分析】根据已知条件,先求出所|2.再将|0-3万|平方并开方，即可求解.

【解答】解：设向量五万的夹角为。，。€[0，扪，

5在方方向上的数量投影为-2,

二|B|COS6=-2,

二。£名,乃],

/.cos^e[-l»0）,

出|..2,

/.\a-3b\=yj（a-3b）2=y1a2+9h2-6ab

=J16+9炉-6|G||B|cose

=V64+9p..j64+9x22=10,当且仅当时，等号成立，

故|万-31|的最小值为10.

故答案为：10.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运完，考查转化能力，属于中档题.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16

题5分。

13.如图，。是A48c的重心，AB^a,AC=b,。是边8C上一点，且方方=4反，则（）

A

—27-

B.OD=^a--h

1515

—27-

D.OD=—a+—b

1515

【分析】由丽=4反得而=云+函=-函+•!•在，再结合O是八48c的重心可解决此题.

5

【解答】解：由丽=4碇及。是AJBC的重心得丽=3+丽=-丽+；而

2I一—I—?—1—2——1—7—、一7-2

=-x-(CA+CB)^-CB=——CB--CA=—(AC-AB)+-AC=—AC——AB=—ba.

32515315315151515

故选：A.

【点评】本题考查平面向量线性运兜，考查数学运凫能力，属于基础题.

14.矩形/8CD中，/出=2,/。=4,动点P满足而=2布+M而，AG[O,1],〃€[0,I],则下列说

法中错误的是（）

A.若〃=1,则&48P的面积为定值

B.若4=1,则|而|的最小值为4

C.若〃=3，则满足莎_L丽的点尸不存在

D.若7l=L//=-,则A48P的面积为号

333

【分析】由平面向量的线性运算知识和三角形的面积逐一判断各选项即可.

【解答】解：对于力，当〃=1时，由向量加法的平行四边形法则知，。点应该在边0c上，

在中，以//?为底边，高为点尸到用?的距离|力。|,

所以=gx2x4=4为定值，故力正确：

对于〃，当4=1时，由向量加法的平行四边形法则知，夕点应该在边BC上,

当尸位于点。处时，|而|有最小值2,故4错误；

此时尸点位于A/N匕无论怎么移动，PA,户片都不会垂直，故。正确:

此时P到48的距离为/»="而|=|，4g.•.5,3=；，|明人=?24g故。正确.

故选：B.

［点评］本题考查平面几何图形中的动点问题，平面向量的线性运算及三角形的面积等知识，属「中档题•

____r力d

15.在A43C中，ZP-^C=9,sin5=cosJsinC,SMBC=6,P为线段48上的动点，且丽=》•W-+j，•笆-,

\CA\\CB\

则•!■+•!•最小值为（）

xy

A773D75/3「7n7

A.—+——B.——十——C.—D.一

63123612

【分析】在A/18。中，设48=c,BC=a,AC=b,结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求

cosC=0,可得C=g,再由已知条件求得〃=4,6=3,c=5,考虑建立以力。所在的直线为x轴，以8c

所在的直线为），轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3j，=12,然后利用基本不

等式可求得•!■+■!"的最小值.

1y

【解答】解：在A44C中，设44=c,BC=a,AC=b,

,/sin5=cos/IsinC,即sin（/l+C）=cosJsinC,

即sin/cosC+cos/sin。=cosJsinC»/.sinJcosC=0»

•：()<A<^,sinJ>0,/.cosC=0»•/0<C<^»/.C=—>

2

即(山又招°；.bcsin力4a

vAB-AC=9,cos/=9,S&=bcsin4=6,(anA=-----------=—=一,

becos43b

­a=一4

则而=12,所以,b3

ab=\2

a=4/

解得《»c=\/a'+b2=5.

b=3

以所在的直线为x轴，以8c所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则C[0,0)、4(3,0)、8(0,4),

P为线段43上的一点，则存在实数。使得万=2布=2(-3,4)=(-3儿44)(0.4,1),

CP=CA+AAB=(3-3A,4A)，

设q=-=-,et=-=-,则|e,|=|e21=1,

\CA\\CB\

=(1,0),P2=(0,1).

—CACB—

,/CP=x-__+v•—=xe.+ye,=),

，

\CA\\CB\2

X3,34,消去2得4x+3y=12,±+[=1,

y=4A'34

所以'汨*)=/强+Q舟9净才率

当且仅当x=时，等号成立，

因此,出的最小值为小手.

故选：B.

【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题.

16.若平面单位向量入，…，满足对任意的LiJ.,”，都有万万(；,则正整数〃的最大值为(

)

A.3B.4C.5D.6

【分析】先求出。取值范围，求出。的最小值，再利用向量夹角的范围构造关于"的不等式求解.

【解答】解：依题意，设单位向量司的夹角为。，

由q•%,得q•1=]11]%|cosO=cos。＜；,

贝ij?＜夕＜4,

得正整数〃的最大值为@-1=5.

n

3

故选：c.

【点评】本题考查平面向量的数量积的计算，夹角公式以及学生的逻辑推理能力，属于中档题.

三、解答题(本大题共有5题78分，1719题每题14分,20/21每题18分)，解答下列各题必须写出

必要的步骤。

17.已知向量值=(1,2),B=(x,l).

(1)求实数x的值,^\3a-b\^a+b\；

(2)若x=2,求2/)与G+E的夹角的余弦值.

【分析】(1)利用向量的坐标运算，结合向量的模的求法，求解即可.

(2)利用向量的数量积转化求解向量的夹角的余弦函数值即可.

【解答】解：(1)3dM=(3-x,5),a+b=(\+x,3),\3^b\=\a+b\,

7(3-X)2+25=7(1+-V)2+9,

解得x=3.

(2)万一2万=(-3,0),-+B=(3.3),|口卜3,|值+5|=3啦,

年一2份•伍+杨_-9__V2

a+b>=

cos<a-2b,\a-2b\\a+b~3x34~~~

【点评】本题考查向量的基本运算，向量的数量积的应用，模的求法，是基础题.

1R.已矢口|方|=4,M|=X,万与石的夹角为生.

3

(1)求m+Bi：

(2)当％为何值时，(a+2b)l(ka-b)2

【分析】(1)根据向量数量积定义和运算律可求得|G+5『，进而得到|G+5|：

(2)由向量垂直可得3+2杨•(布-杨=0,根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.

【解答】解：(1)va=|ap|6|cos<>=32cos=-16»

\a+bf=\af+2展B+|W=16-32+64=48,

.,.旧+5|=4百.

(2)(a+2h)L(ka-b)t

贝|]m+2杨•(依一3)=川圳2+(2%一1)限5一2出|2=16々一16(24一1)-128=0,解得£=一7.

【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于中档题.

JJsinxcos.r-sin_小.、7的，人、

19.已知向量而=(----------,---------------),n=(2cosx,sinx+cosx),函数/(x)=m-h

(1)求函数y=/'(x)的严格减区间与对称轴方程:

(2)若xe[-C,2工],关于x的方程/*+生)+(/l+l)sinx=N(4wR)恰畲二个不同的实数根片,X2,看求

636

实数％的取值范围及玉+々+工3的值.

【分析】(1)由数量积的坐标表示求得/(x),结合正弦函数的基准减区间和对称釉求得/(x)的严格减区间

和对称轴:

(2)方程化简得sinx=1和sinx=2y!■，由正弦函数性质和义的范围，同时得出土和&+X3，求得结论.

【解答】解：(1)/(x)=」•万=Ksinxcosx+cos》

=­sin2x+—cos2.v=sin(2.v+—),

226

—+2k7r»2x+—„--\-2kn,解得工+A%,x,@+A;r,

26263

令2.丫+工=工+4万，kwZ,解得x

62

所以函数的严格减区间为四+A/r,4+4力，keZ,

63

对称轴方程为X=K+红，丘7：

62

(2)/(x+菅)=sin(2.v+])=cos2x=\-2sin2x,

即l-2sin?x+(，+l)sinx=7,形为2sin?x-(，+l)sinx+，-l=0,

所以[2sinx-(A-l)](sin1)=0,

当xe[-工，4],sinx-1=0有一个解，不妨设为x=g,

632

则2sinx-(2-1)=0.即sinx=有不同于芭=y的两个解.

因为竺],所以y=sinx,

632

且在xe上尸sinx严格递增，在xe江型]上尸sinx严格递减,

6223

要想sinx=号有不同于芭='的两个解，则—w[当，1），解得为W[G+1,3）,

此时sinx=的两根关于x=/对称，则々+七=乃，

所以X]+》2+*3=£.

【点评】本题主要考查平面向量的数量枳运算，属于中档题.

20.如图，梯形为ACO,I|=2,ZCDJ=y,DA=2CB,E为力8中点，DP=ADC（A^0）.

（1）当％时，用向量方心方表示的向量而：

（2）若|成|=/0为大于零的常数），求|乐|的最小值，并指出相应的实数义的值.

【分析】（1）结合图形，先证得四边形713b是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.

（2）结合（1）中的结论，得到而关于2的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到而2关于％的二

次表达式，从而可求得|而|的最小值及相应的义值.

【解答】解：（1）过C作交力。于了，

因为刀=2瓦，所以D4//BC,DA=2BC,

则四边形力46是平行四边形，故£M=24C=2/1尸，即尸是4。的中点，

〜■__1_1__1__1__1__1__

所以8£=28力=±3=±。厂一±。。=±。/一2。。，

222242

当/!=■!■时，PC=-DC,

33

所以而=定+而+屉=2友+1方+，方」友=3次+，友：

324246

（2）因为而=义成，所以无=丽+反=一7成+反=（1一2）反，

所以而=无+而+诟=（1—；1）岚+；而+；方反=（；一%）反弓瓦

因为反•次=2xcos60°xf=/,DC2=/2,DA=4,

所以尸E=（J-2）2J+:+|.（；一义V=[（；-©/+:『+£,

当d-2M+3=o,即之时，方,取得最小值2Z,

2424/16

【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积性质的应用，属于中档题.

21.如图，已知。出。是边长为2的正三角形，点［、鸟、鸟是4C边的四等分点.

（1）求荔•福+福•就的值:

（2）若。为线段上一点，且而=加而+A%,求实数加的值：

（3）若尸为线段力鸟上的动点，求百•正的最小值，并指出当苏•定取最小值时点P的位置.

【分析】（1）由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可：