第10章 算法初步、统计与统计案例、概率 第2节　随机抽样

第2节随机抽样

考试要求1.理解随机抽样的必要性和重要性;2.会用简单随机抽样方法从总体中

抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单

的实际问题.

知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为样本

(〃WN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都想箜，就把这种抽样

方法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

2.系统抽样

(1)定义：当总体中的个体数目较多时.，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照

事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫

做系统抽样.

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.

①先将总体的N个个体编号；

②确定分段间隔h对编号进行分段，当多〃是样本容量)是整数时，取仁景否则,

先剔除一些个体)；

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号i(Wk)；

④按照一定的规则抽取样本，通常是将/加上间隔k得到第2个个体编号(/+公,

再加k得到第3个个体编号(/+2Q,……,依次进行下去，直到获取整个样本.

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例，从各层独

立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法

叫做分层抽样.

(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

|常用结论，

1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.

2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔攵的整数倍.

3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“或"X”)

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.()

(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要易］除2

个学生，这样对被剔除者不公平.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

2.(易错题)学校为了了解高二年级1203名学生对某项教改试验的意见，打算从中

抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔2为()

A.40B.30.1

C.30D.12

答案C

解析・・・1203除以4()不是整数，

・・・先随机的去掉3个人，再除以40,得到每一段有30个人，则分段的间隔%为

30.故选C.

3.(易错题)某校要从高一、高二、高三共2022名学生中选取50名组成志愿团，

若采用下列的方法选取，先用简单随机抽样的方法从2022人中剔除22人，剩下

的2000人再按分层随机抽样的方法进行，则每人入选的概率为()

A.都相等且为悬B.都相等且为今

C.不会相等D.均不相等

答案A

解析因为整个抽样过程均为等可能抽样，故每人入选的概率相等且均为

故选A.

4.（2019.全国I卷）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,

2,…，10（）（）,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取10（）名学生进行体质测验.

若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A.8号学生B.200号学生

C.616号学生D.815号学生

答案C

解析根据题意，系统抽样是等距抽样，

所以抽样间隔为哥=10.

因为46除以10余6,所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.

故选C.

5.（2022•东北三省三校）杲工厂为了对40个零件进行抽样调查，将具编号为00,

01,…，38,39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始,

由左至右依次读取，选出来的第5个零件的编号是.

064743738636964736614698637162332616804560111410

957774246762428114572042533237322707360751245179

答案11

解析利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即从47开始读

取，在编号范围内的提取出来，重复的跳过，可得36,33,26,16,11,则选出

来的第5个零件的编号是11.

6.（2022•全国大联考）在文明城市创建过程中，某市创建办公室对市区内从事小吃、

衣帽、果蔬、玩具等6类商户数进行了统计并绘成如图所示的条形统计图，对商

户进行了文明城市知识教育培训.2022年年初，该市创建办公室计划从2000户商

户中，按照商户类型进行分层抽样，随机抽取100户进行文明城市知识教育培训

效果调查，则衣帽类和果蔬类商户抽取的户数分别为.

900-----------------------------------------------------------------------

800-----------------------------------------------------------------------

700----------------------------------------------------------------

600----------------------------------------------------------------

500----------------------------------------------------------------

400----------------------------------------------------------------------

300----------------------------------------------------------------------

200——--------------------------------------------------------------

100—-------------------------------------------------------------

“小欣类衣♦类果1类玩而类饰而类其而无

答案2515

解析共有2000户，需要抽取100户，故抽取的比例为J磊=1，

由题中条形统计图可知，衣帽类有500户，果蔬类有300户，

则衣帽类抽取的户数为500X*=25,

果蔬类抽取的户数为300X^7=15.

考点突破,题型剖析

考点一简单随机抽样及其应用

1.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中

任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

A.OB.lC.2D.3

答案A

解析①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有

限的；

②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；

③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；

④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.

2.用简单随机抽样的方法从含有1()个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，

其中某一个体。“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是

（）

11c31

AA而IoB而弓

1&_3_&

c•亍ToD-To,To

答案A

解析在抽样过程中，个体。每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10,

故个体。“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为七，故选

A.

3.（2022.成都测试）为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部、

教育部、团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并

确定每年的6月6F1为“全民爱眼F1”.某校高二（1）班有40名学生，学号为01

到40,现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动.己知

随机数表中第6行至第7行的各数如下：

16227794394954435482173793237887352096438426349164

84421753315724550688770474476721763350258392120676

若从随机数表第6行第9列的数开始向右读,则抽取的第5名学生的学号是（）

A.17B.23C.35D.37

答案C

解析根据随机数表，抽取的5名学生的学号分别为39,17,37,23,35,所以

抽取的第5名学生的学号为35.

感悟提升1.简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐个

抽取：（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取.

2.简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于

个体数较多的情况）.

考点二系统抽样及其应用

例1（1）某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学

生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33〜48这16个数中抽

到的数是39,则在第1小组1〜16中随机抽取的数是（）

A.5B.7C.llD.13

(2)(2022•安徽六校联考)从编号为1,2,3,…，88的88个网站中采用系统抽样

抽取容量为8的样本，若所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站的最小编

号为.

答案(1)B(2)9

解析(1)把8()()名学生分成5()组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为

16的等差数列，39在第3组.

所以第1组抽到的数为39-32=7.

QQ

(2)抽样间隔为京=11,则样本中比53小的网站编号有42,31,20,9,故样本中

O

网站的最小编号为9.

感悟提升1.如果总体容量N能被样本容量〃整除，则抽样间隔为攵=辞，否则，

可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体

被抽到的机会均是

2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所

抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内

所要抽取的样本号码.

训练1(1)(2022•郑州模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了

抽样调查.抽到的班级一共有52.名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的

方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本

中还有一位同学的编号应是()

A.13B.I9C.20D.51

⑵中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取

10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除

个个体，抽样间隔为.

答案(1)C(2)21()

解析(1)由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52+4=13,

故抽取的样本的编号分别为7,7+13,7+13X2,7+13X3,即7号，20号，33

号，46号.

，样本中还有一位同学的编号为20.

(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10,余数是2,所以每

组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽

样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500

名观众编号为1,2,3,…，500,并均匀分成50段，每段含怨=1()个个体.所

以需剔除2个个体，抽样间隔为10.

|考点三分层抽样及其应用

角度1求某层入样的个体数

例2某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共

有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

最喜爱喜爱一般不喜欢

4800720064001600

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，

为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为()

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

答案D

解析因为抽样比为磊所以每类人中应抽取的人数分别为4800乂上

ZX)UUUZUUZUU

=24,7200X^77=36,6400X^7=32,1600X熹=8.

ZUUZUUZUU

角度2求总体或样本容量

例3(1)某中学有高中生350()人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用

分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为〃的样本，己知从高中生中抽取70

人，则〃为()

A.100B.I50C.200D.250

(2)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、

乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲

社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,

21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数"为()

A.101B.8O8C.1212D.2022

答案(1)A(2)B

解析(1)法一由题意可得了不=襦，解得"=10。

〃一7015OU

701

法二由题意，得抽样比为了丽=元，总体容量为3500+1500=5000,

故〃=5000X^=100.

121

(2)甲社区每个个体被抽到的概率为v充o=工o，样本容量为12+21+25+43=101,所

以四个社区中驾驶员的总人数%=毕=808.

8

感悟提升1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

2.已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，

列比例式进行计算.

样本容量

3.分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=藐容卷=

各层样本数量”

各层个体数量

训练2(1)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和

图2所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%

的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()

A.240,18B.200,20

C.240,20D.200,18

(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:

人).

篮球组书画组乐器组

高一4530a

高二151020

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加

这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则。的值为

答案(1)A⑵30

解析(1)样本容量〃=(250+15()+400)X30%=24(),

抽取的户主对四居室满意的人数为15()X3()%X40%=18.

⑵由分层抽样得1蒸2畀=不3()告，解得。=3().

II1J14UIL4

分层训练•巩固提升

A级基础巩固

1.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取

了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5()()0名居民的阅读时间

的全体是()

A.总体

B.个体

C.样本的容量

D.从总体中抽取的一个样本

答案A

解析由题目条件知，500()名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的

阅读时间是个体；从500()名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时

间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

2.下面的抽样方法是简单随机抽样的是()

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方

式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其

重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校

机构改革的意见

D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

答案D

解析A,B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；

C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；

D是简单随机抽样.故选D.

3.总体由编号为00,01,02,…，48,49的50个个体组成，利用下面的随机数

表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左

到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（）

附：第6行至第9行的随机数表如下：

26357900337091601620388277574950

32114919730649167677873399746732

274X619S7164414S7（1862XXK85191620

74770111163024042979799196835125

A.3B.I6C.38D.20

答案D

解析按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依

次选取两个数字，超出（）0〜49及重复的不选，

则编号依次为33,16,20,38,49,32,

则选出的第3个个体的编号为20,故选D.

4.（2022.西安质检）如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形

图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率.已知该年级男、女生各500名（所有学生

都参加了调查），现从所有喜欢数学的学生中按分层抽样的方式抽取32人，则抽

取的男生人数为（）

A.16B.32C.24D.8

答案C

解析由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1:3,所以抽取

的男生人数为24.故选C.

5.在一个容量为N的总体中抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系统抽

样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为pi,

〃2,〃3,贝lj（）

A.〃l=p2Vp3B.〃2=P3Vpi

C.〃l=p3Vp2D.pi=〃2=p3

答案D

解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选

6.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身

体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）

类别人数

老年教师900

中年教师180()

青年教师1600

合计4300

A.90B.100C.180D.300

答案C

解析设该样本中的老年教师人数为心由题意及分层抽样的特点得念=焉,

故x=180.

7.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽

取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,

001,002,…，019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个样本编

号为（）

A.700B.669C.695D.676

答案C

解析由题意可知，第一组随机抽取的编号/=15;分段间隔数%=?=曙=20,

由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35

个编号为15+(35-1)X20=695.

8.(2021•德州模拟)2021年我国推进新冠疫苗全人群免费接种，某小区年龄分布如

图所示，现用分层抽样的方法从该小区所有人中抽取60人进行抗体检测，则从

40岁至50岁之间的人群中抽取的人数为()

20~30岁30-40岁40~50岁50~6。岁年龄

答案A

解析由条形统计图的数据，根据分层抽样的定义可以知道，若抽取60人，则从

40岁至50岁之间的人群中抽取的人数为60X=18,故选A.

200+400+300+100

9.一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体

员工中抽取样本容量为〃的样本，已知某部门有阳名员工，那么从该部门抽取的

员工人数是________.

答案詈

解析每个个体被抽到的概率是

设这个部门抽取了X个员工，则上与，，尸詈.

10.某中学高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2,…，63,依编号顺序

平均分成8组，组号依次为1,2,3,…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8

的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为.

答案45

解析分组间隔为詈=8,

O

・・•在第一组中随机抽取的号码为5,

・•・在第6组中抽取的号码为5+5X8=45.

11.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40

种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，

若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是

答案6

20_1

解析抽样比为40+10+30+2()—5'

则抽取的植物油类种数是10x1=2,

抽取的果蔬类食品种数是2（）x[=4,

所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2+4=6.

12.（2022•太原调研）从编号为0,1,2,…，79的80件产品中，采用系统抽样的

方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大

编号为.

答案76

解析由系统抽样知，抽样间隔仁学=16,

因为样本中含编号为28的产品，

则与之相邻的产品编号为12和44.

故所取出的5个编号依次为12,28,44,60,76,即最大编号为76.

B级能力提升

13.从一群游戏的小孩中抽出女人，一人一个苹果，让他们返回继续游戏，一段时

间后，再从中任取，〃人，发现其中有〃人曾分过苹果，则可估计这群小孩共有（）

A*人