第1单元 集合与常用逻辑用语 听课答案

第一单元集合与常用逻辑用语

1.编写意图

高考对集合和常用逻辑用语的要求不高,集合主要是一种基本语言和数学表达工具，常用逻辑用语主要

是数学学习和思维的工具.编写中注意到以下几个问题：

⑴考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度，加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习题的训

练力度，控制了选题的难度；

⑵从近几年高考来看，涉及该部分内容的信息迁移题是高考的一个热点话题，因此适当加入了类似的题

目；

⑶考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识，因此在选题时尽量避免选用综合性强、思维难度

大的题目.

2.教学建议

高考对该部分内容的要求不高，教师在引导学生复习该部分时，切忌对各层次知识点随意拔高，习题一

味求深、求广、求难.教学时,注意如下几个问题：

⑴集合主要是强调其工具性和应用性，解集合问题时,要引导学生充分利用Venn图或数轴来帮助解题;

(2)对"命题的逆命题、否命题与逆否命题"只要求做一般性了解，重点关注必要条件、充分条件、充

要条件；

⑶对逻辑联结词"或""且""非"的含义，只要求通过数学实例加以了解，帮助学生正确地表述相关

的数学内容；

⑷对于量词,重在理解它们的含义不要追求它们的形式化定义，在复习中，应通过对具体实例的探究，力口

强学生对于含有一个量词的命题的否定的理解；

⑸常用逻辑用语理论性强,重在注意引导学生提高逻辑思维能力和判断问题的能力，在使用常用逻辑用

语的过程中,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性，避免对逻辑用语的机械记忆^抽

象解释.

3.课时安排

本单元共3讲、一个小题必刷卷、一个单元测评卷，每讲建议1课时完成,小题必刷卷和单元测评卷建

议各1课时完成，本单元大约共需5课时.

第1讲集合

考试说明】•集合的含义与表示

⑴了解集合的含义、元素与集合的属于关系.

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

2.集合间的基本关系

⑴理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

⑵在具体情境中，了解全集与空集的含义.

3.集合的基本运算

⑴理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集.

⑵理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.

【课前双基巩固】

知识聚焦

L⑴确定性互异性⑵巳住⑶描述法图示法(4)NN或N,ZQR

2.任意一个元素©力至少基相同A=B不含

3.且目力08或或AUB不4［潺

4.(1)6LMA(2)c(3)0AA(「⑷(。历

对点演练

1.4或I［解析］因为Y£4,所以Z七产工解得x=l或E.

2.{-2,-1,0)［解析］因为〃黑片工忱＞1},

所以<1},又因为月千2,-1,0,1,2},所以月门(..如千2,T,0}.

3.4［解析)因为(力Ug%网加,所以满足条件的集合〃可以是{4{词,{〃，心叫昂所以满足条件

的集合夕有1个.

4.1［解析］由题意可得又衣222,故a=l,此时以1,3},符合题意.

5.0或3［解析］因为住所以加=3或折标，即加=3或游0或n)=\，根据集合元素的互异性可知,*1,

所以相)或。=3.

6.4［解析］依题意得修92),(01),(1』),(0,0),(1,0),亿0)},所以依，月(1』),(0,0),(1,0),(2,0)},所以【6"

中有4个元素.

7.{1,0,-1］［解析】因为集合/RL-2},H*/ax=l},/in历次所以代力，

若8为空集，则方程ax=l无解,从而得aK；

若8不为空集，则B0,由»=1解得弓

所以卜或常2,从而得a=l或

综上,由实数a的所有可能的取值组成的集合为{1。-：}.

8.2WaW4［解析］由得T

・：八"应由厩悯;：*5或{：；；；'5,

.：2WaW4.

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］⑴先解集合力,5中的不等式彳导出集合力/再根据集合。的元素特征确定集合C⑵

采用列举法,确定圆f0^=1上及其内部的整点的个数.

(DA(2)5［解析］⑴/Hx£Z*-2x-3W0}Xx£Z/T<W3}XT,0,123},

户%?；0)心'/“<0或X>1}.

因为-1,2,3W4而0,1物

所以。(0,1}.

⑵当E时，片0；当A-0时，尸TD1;当I时,产0.所以〃<(O,O),(OJ),(O,T),(LO),(T,O)},共有5个元

素.

变式题(1)C⑵TWaW2［解析］⑴当E)时，-T,所以T~,所以A错误;令Tl/hL得2不

Z,所以T1&L所以B错误;令-34WhL得公T1,所以-34G4所以I)错误;因为AGZ,所以芥£Z,则31T

W4所以C正确.

⑵因为(户1)(户--打-2)为的两根为刘=-1,典="2-才；又。S/1,所以a+2--20,即*'-&-2忘0,解得-1忘4W

2.

例2［思路点拨］(1)对集合If,V中的元素的限制条件进行整理，从而发现两集合的元素特征,再分析

MA之间的关系;或通过列举两集合中的部分元素，发现规律，从而判定两集合的关系.⑵由归儿分8为

空集和H不为空集两种情况求解.

(1)D⑵卜1"8)［解析］⑴方法一:对小=升1,八6}布卜=崂解口},

八+|y=m+；,m£z}令\y=

因为〃+2为整数2叱1为奇觌所以At亚

方法二:集合对小=>l,n£Z}X…,-,0,aW,2,…}，集合八中|y=m+；,m£Z}4…，击

器(,…},可以发现集合八中的元素均属于集合北所以A£M.

⑵已知医A,

悟“为空集时,2/zH2加也得病尤.

至当8不为空集时，有32旦{优建：：

得lWm<2.

综上，实数勿的取值范围是［-1产8).

变式题(1)C(2)B［解析］⑴因为集合修工0.1,2},

所以集合A-{yiy^x24-l,xG0巾，冠,向},

所以集合A的真子集的个数为2'-1=7.

⑵/!={l,2},6={W~(a+l)x+a=0ra€R},

由/惚可得1,2是方程V的两根，

由根与系数的关系可得{:：：：；：1'解得月2故选B.

例3［思路点拨］⑴求出集合力£然后进行并集的运算即可;⑵化简集合儿以艮据补集、交集的运算

先求［同再求CMC"

(1)1)⑵B［解析］⑴由题易知ZA70a<2},/Hy|yZ0},・"u加位,*8).

⑵由2>1可得x>2,由(*T)(x-3)⑴可得1<x<3,

所以集合怎218),见L3),所以十8,2］,

所以CM。6力,2］,故选B.

例4［思路点拨］⑴求出集合6利用并恁定义能求出〃的取值范围;⑵由题可求得集合4戌再由/in

庐(2川可得{篙;；2,从而可求得实数加

⑴D(2)5［解析］⑴因为/Hx/*23-2a},8W*2a或后&T},力U8与所以3-2aWaT,解得a咨

⑵由f-2.「8W0可得2WxW4,

所以阳升2Ex£4},

由丁(2加-3)“，Mzz-3)W0可得zwTWxWzff,

所以Z?~(x|m3<x<nt］,

又An又2,4］,所以能2,解得那5

例5［思路点拨］⑴求出/泣然后根据上。的定义即可求出片。⑵根据②②的要求，列举出集合

儿儿4,再求X的最大值与最小值.

(1)1)(2)96［解析］(I)由翅易得T*0<r<2},®{y/lW_KW3},.：PYHV0aC}・故选I).

(2)易知，当4《1,2,3,4,15},42《5,6,7,8,14},4d9,10,11,12,13}时/苫小的最大值为57.

当4X1,456,7},4<2,8,9,10,11}”41H3,12,13,14,15}时温+%出的最小值为39.

则X此*的最大值与最小值的和为96.

【备选理由】例1主要考查元素和集合的关系，结合集合中的元素是整数进行推理是解决本题的关

键，综合性较强，难度较大;例2考查了根据集合之间的关系求参数的值;洌3考查了已知集合的交集求

参数的取值范围，比较基础;例4主要考菅Venn图的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

例1［配合例1使用］［2019•苏州模拟］设集合V-{a\a=中,24+2丫=2。其中x,yg均为整数},

则集合，a{0434}.

［解析］由2)2'玄得1包F/L则Dx,又均为整数因此2'“一定为偶数则2'F即方;且

2''之切即t=x+l.

a卓嗡=2扁为整数厕户1为2的约数则产~3,-2,0,1,从而可得口34,0,1.故1,3,4).

例2［配合例2使用］［2019•汉中二检］已知集合.4#&0.店Z),Mm,2},若/仁内则必=

(C)

A.1B.2C.3D.5

［解析］由得1又T£Z,所以尸2,3,所以集合内2.3},又生(m,2},芯〃所以片3,故选0.

例3［配合例4使用)［2019•哈尔滨六中测试］设.月"优-2|W3},见山C},若力n(［而国，则实数

，的取值范围是(C)

A.t<-\B.KT

C.t)5D.以5

［解析］由题可知,，Hx|M2|<3}知“<x<5},3+>

7/n(G⑶r，.:上石.

例4【配合例5使用］［2019•北京朝阳区一模］某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别

是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是

(B)

A.5B.6

C.7［).8

［解析］如图所示.(”加。打)表示周一开车上班的人数,3+升。行)表示周二开车上班的人数表

示周三开车上班的人数"表示三天都开车上班的人数，

周一.

bd周二

周三

则有

a+b+c+x=14,

b+d+e+x=10,

c+e+/+x=8,

（a+b+c+d+e+/+x=20,

（Q+2b+2c+d+2e+f+3x=32,

“［a+b+c+d+e+f+x=2Q,

即b+c+e+2x=12,当b=c=e^时,*取得最大值6,

所以这三天都开车上班的职工人数至多是6.

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

考试说明】.理解命题的概念.

2.了解"若乃则9”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

【课前双基巩固】

知识聚焦

L⑴真假判断为真判断为假

2.⑴充分⑵必要⑶充要

对点演练

\.（4）［解析］（Z是疑问句，不是命题;恐是祈使句，不是命题;③不能判断真假，不是命题;包是命题.

2.0［解析"泌假命题，集合N中最小的数是0；阴假命题，如舄则不满足;阴假命题如。电0=1,

则比2小;仍假命感,所给集合中的元素不满足互异性.

3.若整数a不是奇数，则a能被2整除［解析］以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结

论得出逆否命题.

4.既不充分也不必要［解析］取］3〉，多知充分性不成立;取*>1/态知必要性不成立.故为既不充

分也不必要条件.

5.若收0或后（U*R,则才力¥0［解析］”若〃则/的逆否命题为"若。,则/,又⑻从0

的实质为aR且故其否定为a#0或b^O.

6.对任意a,b£R,若a”WO则W0［解析］"对任意a,b£R"是大前提，在否命题中不变,又因为

a扪0,a»的否定分别为所以原命题的否命题为"对任意电£R,若a6W0厕aWO".

7.［-3,0］［解析］由已知可得a。-2a『3W0恒成立.

当aR时,-3言。恒成立；

当收。时同建l+12店0,解得一3，。

故3WaW0.

8.②介2②a〈2［解析］酒为〃是0的充分不必要条件，所以介2｝,则a的取值范围

是a22.

②因为。是“的必要不充分条件，所以｛*/*22正｛x*）处则〃的取值范围是&<2.

9.充分不必要［解析］依题意有p=>s,aq,:“QQQq又：/〃.：（/=>/〃.故〃是<7的充

分不必要条件.

【课堂考点探究】

探究点一

1.B［解析）原命题为"若函数心）也加在（0,,河上是增函数，则底1",

则其逆命题为"若后1,则函数心）弁加在（0］河上是增函数"；

否命题为"若函数/（力B-磔在（0,3）上不是增函数则加1"；

逆否命题为"若四,则函数/（"）予’如在（0」河上不是增函数”.

综上所述,B正确.

2.C［解析］丁原命题为"设a,GcWR若a的则afb+c",是真命题，

.:原命题的逆否命题是直命题；

原命题的否命题为"设百”cWR,若aW”则a+cWb+c",是真命题，

•:原命题的逆命题是真命题.

故真命题的个数为4.

瞬C.

3.1）解［析］对于选项％原命题的逆命题为"设，PR,若力/）3厕2”次为假命题；

对于选项B,原命题的否命题为"不全等的三角形的面积不相等"，为假命题；

对于选项C原命题的逆否命题为"若人2"再有实根，则入1”,若,必—有实根厕

解得cW1,可知该命题为假命题；

对于选项D,该命题的逆否命题为"对于实数W,若小且尸1，则广产3"为真命题，故原命题为真命

题.

故选1）.

4.若a”且收力则⑷沟切［解析］由题意知，命题"若|a|-|b|,则折f或a=〃"的逆否命题是"若

且#他则同工同”.

探究点二

I.A［解析）因为"方程表示双曲线"等价于zw,所以"oa<r是"方程1卡=1表示双

曲线"的充分不必要条件，故选A.

2.B［解析］因为a=£ncosa=cosfl,

所以cosaWcosga丰⑶必要性成立；

当。=-£时,cosa=cos£,充分性不成立.

故是必要不充分条件，故选民

3.B［解析］若X1专则？也得A>2或%<0；

若忱+［<1,则T<r+ld得-2OS.

因为{"-2<¥<0}£{x/x>2或*<0},

所以"鹏"是"w+ii<r的必要不充分条件，

故选B.

4.C［解析］当n=l时,@=S=|+可

当2时⑶=5,一$一1号'^7=京.

当a=-3时⑶驯喙茜足上式，所以'4)"(〃£N)所以数列&}是等比数列；

当数列{小}是等比数列时向4(〃£、)所以总斗惠也解得k3.

娟C.

例［思路点拨］⑴由题意化简/就将条件转化为废力列出不等关系解得，的取值范围即可;⑵利用

两平面平行的性质及性质定理和判定定理进行判别.

⑴D(2)B(解析］⑴:勿-卜偿二01卜|(x2)(*1)>0fix¥=l］-{x\x<ln£x>2\.B-{x\xa<

0}*x<Q},

又夕是。的必要不充分条件,•:任4由数轴可得aWl,故选D.

——tJ---1

a12x

⑵根据面面平行的判定定理，可知当。内有两条相交直线与B平行时,明£平行.反之，若。，尸平

行，则。内任一直线均与平面6平行,自然也就满足。内有两条相交直线与8平行，故B正确.a内

有无数条直线与P平行，不能保证a,B平行，故A错.a邛平行于同座直线或垂直于同一平

面,。£还可能相交，故C,D均错.故选B.

变式题(1)D(2)A［解析］⑴p是。的充分不必要条件，则。是,，的充分不必要条件，因为

1,所以结合选项可知。可以是T<r<0.故选D.

⑵由题意令/(x):f-ax-2,其图像是一个开口向上的抛物线，

所以要使七)①对回T』】恒成立，只需要保)：1：：片:0，

解得-1Qd分析选项知只有选项A满足题意.

故选A.

【备选理由】例1考查对命题宾假的判断,通过构造函数，求函数的最小值来解决问题;例2考查了充

分、必要条件的判定方法，并结合导数知识解决问题;例3主要考直充分、必要条件的应用，一般是利

用集合的包含与否来处理问题.

例1［配合探究点一使用］［2019•北京10)中学模拟］能够说明"e')户】恒成立"是假命题的一个

%的值为0.

［解析］设函数/U)rTT,则有广

当x£(yo)时，有厂3〈0/3单调递减；

当*£(0,*8)时，有当心电中)单调递埴

故样为小)的最小值点，所以心田，⑼也

因此当司时£)户1不成立，故能够说明恒成立"是假命题的一个x的值为0.

例2［配合探究点二使用］［2019•厦门实验中学期末］"1"是"函数/")=axFinx是增函

数"的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

I).既不充分也不必要条件

［解析］若函数心)二a『sinx为增函数则f'(x)=apos40在R上恒成立，

贝(J82(cos力3=1,

因此"1"是"函数/(x)=a『sin>是增函数"的充分不必要条件，故选A.

例3［配合例题使用］［2019•上饶六校』］已知如十震<0}4归X/尸lg（2x-a）殷R}.若。是

夕的必要不充分条件，则&的取值范围是（B）

A.a24B.aW4

C.a>lD.n<4

［解析］由题意知"HX|2<x<3］,B^x|x>泉

因为。是。的必要不充分条件，所以d是8的真子集厕涔2,即W4.故选B.

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考试说明1.了解逻担联结词"或""且""非"的含义.

2.理解全称量词与存在量词的意义.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

【课前双基巩固】

知识聚焦

L"且""或‘"非"AV

2.⑴全称量词V⑵存在量词3（3）3x^M,认滴Vx^M,心）

对点演练

1.直直直假［解析］命星页〃是直命星页，当aR时，函数图像是直线，所以命撅o是假命撅，所以p

是假命题，a是真命题,所以夕VQ是真命题,P八。是真命题，pV，是真命题，pA。是假命题.

2.Vx£R,log”“220［解析］这是一个特称命题,特称命题的否定是全称命题，将存在量词改为全称量

词,再将结论否定，所以命题的否定是，不£比1恤户22”.

3.有些表面积相等的三棱锥体积不相等［解析］命题为全称命题，即’所有表面积相等的三棱锥体积

都相等"，所以其否定是"有些表面积相等的三棱推体积不相等".

4.做q［解析］〃：甲没有试驾成功，）乙没有试驾成功，所以‘两名学员至少有一人没有试驾

成功”可表示为PVq.

5.存在一个奇数它的立方不是奇数［解析］利用全称命题的否定是特称命题即可得出.

6.④［解析）显然命题?为真命题，命题q为假命题，从而只有pV〃为真命题.

7.若abWO厕aWO且将0

8.（-84［解析］根据全称命题的否定为特称命题彳导以三加任此出^夫1照丹五0.若夕为假命题,则p

是真命题，所以aWO或{13?6-4。>0,解得我。或所以aW4

【课堂考点探究】

1.D［解析］因为"（夕八。"为真命题，所以"pf\d’为假命题，所以。”中至多有一个为真命题.故

选I）.

2.D［解析）命题〃若0加<2,则方程5达=1表示椭圆.因为当m=l时方程£爰可表示圆，所以命题

P为假命题.

命题0：函数片1。&（"2）*的图像过定点（T』），

因为l=log0（T+2）+l,所以。为真命题.

对比选项知,〃假qM.pAq为假pVq为真故选【）.

3.D［解析］由题意可得，〃:甲没有击中目标，°：乙没有击中目标，所以"两位运动员都没有击中目

标"可表示为pA0故选D.

4.(D®［解析］由警《)可得1o<2,可知命题P为假.

若a•〃电则al8或巴方中存在零向量,可知充分性不成立;由a_L〃可得a•〃电必要性成立.故

"日•力K"是Z_LZ/'的必要不充分条件，可知命题°为假.

则P为真,q为真.

故"P且(}"为真，①正确；7〉且d'为假②误；"P或/为假，③误；"P或d'为真，©正

确.则正确结论的序号为题

例1［思路点拨］⑴直接利用特祢命题的否定是全称命题写出结果即可;(2)逐一判断,如不正确可以

举一反例.

(1)B(2)A［解析］(1)特称命题的否定是全称命题，将存在量词改变后还要对结论否定，故选B.

⑵当&=1时，函数片2%•2、在R上为偶函数，所以p是真命题.

当万筌时，.片sin崇位os号啦的所以R是假命题.

当x=\时3=力不满足故命题"是假命题.

因为*、*+1=(*3%5刈所以命感"为假命题.

故选A.

变式题(1)C(2)A［解析1(1)根据全称命题与特称命题的关系，可知命题夕是全称命题，则p为

"3/3£儿"(*)传"'，故选(；.

⑵对般［1,2］的理解是初取遍区间［1,2］内的所有实数，故原命题为全称命题.当m=\时，方程，办

有解，从而判断原命题为假命题

例2［思路点拨］⑴先化简两个命题,再根据"似6'为真，""八为假得到/W一真一假，再得到关

于a的不等式组解不等式组即得解;⑵显然V磔"T刀是真命题，对m+1是否等于0进

行讨论，由二次函数的图像与性质解答即可.

(吟/Wl或a咨⑵皿移

［解析］⑴由已知得，若P为真命题厕a1;

若。为真命题，则有253)々<0,却沁<|.

因为UPVQ"为真，"。八为假，所以ZW—真

(a>1,

若P为其命题,“为假命题厕/瞪、5

(Q句或a>2»

所以a衿

(a<1,

若P为假命题,4为真命题厕1-〃/5

b<a<r

所以

综上;QW1或a*.

⑵若"3a£R,(»1)%Q/+〃TWO"是假命题，

则，x£R.(m+T)f-mx+m-l与"是真命题，

当m+1~0,即m~-\时，(0+1),1-磔协1加即为k2电不是对任意的*WR恒成立；

当mlWO,即加RT时,V当R,(R+1)*F飙-1却恒成立，即居承瑞+1)(-1)vo.

解得综上/〃，冷^.

变式题(1)B⑵［1，VX/8)［解析］⑴若。为真命题则由IX,解得.血;若，为真命题，则由八

A-6<0,解得-2<¥<3.因为。八。为假命题〃Vq为真命题.所以夕和“一真一假，当