第02讲常用逻辑用语（原卷版）

第02讲常用逻辑用语

0知识梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件pnq且(中p

p是g的必要不充分条件p#q且qnp

〃是q的充要条件poq

〃是夕的既不充分也不必要条件p#q且q#p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“仁意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

(2府在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

将含有变量X的语句用p(x),我)心),…表示,变量X的

结构取值范围用必表示

对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记yxQM.p(x)3.rJW,p(x)

否定Bx^M,—>p(x)

]*一例第E解

一，充分、必要条件的判定

例1.(1)设awR,则“〃>1"是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)已知awR,若集合M={1,。},N={T,0,l},则“a=0〃是qN〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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(3)已知非零向量工区入贝/7展=九7'是"£=B"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

(4)设函数/(A=cosx+8sinx(人为常数)，贝1」*=0〃是T(x)为偶函数”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【复习指导】：充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p=g,q=p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

二,充分、必要条件的应用

例2.(1)"2/-5》-3<0"的一个必要不充分条件是()

A.—<x<3B.-1<x<6C.-3<x<-D.—<x<0

222

(2)若〃：,佰2,q.x<a,且P是q的充分不必要条件，贝I」。的取值范围是()

A.{«|«>2)B.\a\a<l\

C.\ci\a>-2)D.\a\a<-2}

(3)“不等式/7+〃?〉o在R上恒成立〃的充要条件是()

11

A.m>B.m<—C.in<1C.m>1

44

(4)已知命题或x>3,命题q：x<3机+1或x>/〃+2,若2是9的充分非必要条件，则实数机的

取值范围是

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【复习指导】：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意

(1)4巴充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检险.

三.含量词命题的否定

例3.(1)设命题尸：立eN,〃2>2〃，则为()

A.V〃€N,〃2>2"B.3/?e^,/P<2r

C.D〃WN,〃2«2"D.+?eN,〃2=2'

(2)命题T/eg+o)),lnxo=x0-l〃的否定是()

A.3x0€(0,+oc),Inx0*x0-1B.3x0g(0,+oo),Inx0=x0-1

C.Vxe(0,+oo),lnx^x-1D.Vx<£(0,+oo),lnx=x-l

(3)命题"V〃eN”,/(〃)GN.且/(〃)4〃的否定形式是(：

A.D”且/(〃)>〃

B.7〃€”,/(〃)史川或/(〃)>〃

C.3w0eMJ®)《N•且/(Mo)>为

D.于7。wN",/(〃o)任N'或/仇)>%

【复习指导】：含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.

四.含量词命题的真假判断

例4.(1)下列命题中的假命题是()

2

A.VxGR,2¥~,>0B.VxcN",(x-l)>0

C.3xeR,lgx<1D.HreR,tanx=2

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(2)下列命题中，真命题的是()

A.函数J，=sin|x|的周期是24B.Vxe/?,2r>x2

C.函数〃x)=ln鲁是奇函数.D.。+〃=0的充要条件是/=-1

2-xb

【复习指导】：判定全称量词命题〃(幻”是真命题，需要对集合例中的每一个元素x,证明〃(外

成立；要判定存在量词命题p(x)”是其命题，只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立即可.

五、含量词命题的应用

例5.(1)命题“加一2奴+3>0恒成立〃是假命题，则实数a的取值范围是()

A.。<0或。23B.aW0或。23C.a<0或a>3D.0<a<3

【复习指导】：由命题真假求参教的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题,

即p与「P的关系，转化成「p的真假求参数的范围.

(2)已知命题P：”WxN3,使得2x-l之〃「是真命题，则实数机的最大值是.

(3)已知/(力=X2-〃犹+4,g(x)=log2x,若3x2e[2,4],使得/&)>8仁)成立"为真

命题,则实数m的取值范围是.

L」毡技检型

1.若a〉0力>0,则“4+644”是"而W4"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.设xe/?,则、/>8"是牛|>2"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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3.设xeR,贝厂是"/<]〃的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.设xeR,则“0<x<5”是小-1卜1”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设xeR,则“工>>是"2/+戈_]>0”的（）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.设xwR,则“sinx=l"是"cos工=0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）

A.a>b+\B.a>b-\C.a2>b2D.«3>Z）3

8.设a,夕是两个不同的平面，加是直线且〃?ua.尸〃是"a||〃"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知命题p：—>:，命题ax2+ax+I>0»则。成立是9成立的（）

a4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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10.若不等式|x-1|<”成立的充分条件为0<x<4,则实数。的取值范围是（）

A.{ala>3}B.{ala21}C.{ala<3}D.{alaWl}

22

IL"0<〃?<2〃是“方程上+2—=1表示椭圆”的（）

m2-in

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

12.已知a,b,c,d是实数，则"a"=bc”是“a,b,c,4成等比数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

13.设4WR,则“7=—3”是“直线2〃+（2—1»=1与直线6丫+（1—Qy=4平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.命题“对VxRl,2],以2-工+“>0〃为真命题的一个充分不必要条件可以是（）

11,2

A.a>—B.a>—C.a>1D.a>-

225

15.命题“VXW10,+8),X3+X20〃的否定是()

A.VXG(^o,0),x3+x<0B.Vxe(-oo,0),x3+x>0

33

C.3x(,e[0,+x),x0+x0<0D.3X0€[0,+CO),A0+X0>0

16.已知命题p:VxeR,sinx<1,则()

A.->P：3XGR,sinx>1B.-.p:VxeR,sinx>1

C.-ipJxeR,sinx>1D.-»p:VxeR,sinx>1

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2

17.已知〃：TxcR,（x+l『<（x+2『；^:3xGRrr=l-x,则（）

A.〃假4假B.，假夕真

C.〃真夕真D.，真1假

18.下列命题为真命题的是（）

A.1>0且3>4B.1>2或4>5

C.3xe7?,cosx>1D.VxeR,x2>0

19.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（）

A.矩形的两条对角线垂直B.对任意a,beR,都有标+〃22(a-b-1)

C.R,|x|+x=0D.至少有一个xeZ,使得/W2成立

20.有下列四个命题，其中真命感是().

A.V〃wR,n2>nB.3//eR,V/HeR,nin=m

C.V”wR,3/weR,m2<nD.V/7eR,n2<n

21.下列命题中真命题有()

(^'p：VxGR,x2—x+-20；②夕：所自的正方形都是矩形；

③7•:HrG/?,X2+2x+2<0；④s：至少有一个实数x,使/+1=0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

22,"〃7>2"是命题”心£口，/+2（〃?-1）工+62一1>0〃的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

23.命题“V14XV2,x=2aM0"是真命题的一个必要不充分条件是（）

A.a>\B.“23C.a>2D.a<4

24.等比数列｛%｝的公比为夕，前〃项和为S,，设甲：q>0,乙：｛S“｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

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B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

25.已知/（x）是定义在上血1］的函数，那么“函数/（X）在［0』］上单调递增〃是“函数/（刈在血1］上的最大值

为/⑴〃的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

26.设点儿B,。不共线，则“刀与衣的夹角为锐角"是而+衣|>|比，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

27.已知空间中不过同一点的三条直线m,n,I,则"m,n,/在同一平面〃是"m,n,/两两相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

28.若命题Tx°wR,使得x"mx0+2m-3<0〃为假命题，则实数m的取值范围是（）

A.[2,6]B.[-6,-2]C.(2,6)D.(-6,-2)

29.（多选）下列命题正确的是（）

A.3a9beR^a2|\{b\Vf<0D.Ya%R,2xeR,使得ov>2

—,则力含

C.而/0是的充要条件D.

30.（多选）下列命题为真命题的是（）

A.IveR,x2<1

B.2=从〃是的必要而不充分条件

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C.若x,，是无理数，则x+y是无理数

D.设全集为R,若4UB,则稻Bq/

31.命题“若且力>1,则。+6>2"的否命题是.（选填"真"或"假"）

32.“所有偶数都不是素数”是命题.（填“真"或"假"）

33.命题“\/》£4"2+4奴+3>0"为真，则实数4的范围是

34.若内+320恒成立，则实数机的取值范围为.

35.若对Dx«l,2],都有分一.0,则实数。的取值范围是.

36.命题："3X€（0,+OO）,lnx+sin2x-5<0"的否定为.

37.下列说法塔误的是.

①.如果命题“「P"与命题"P或，'都是真命题，那么命题4一定是真命题.

2

②.命题p：3x0e—2/+4<0,则一1P:Vxw/?,x-2x+4>0

③.命题“若。=0,则H）=0"的令命题是："若"0’则必工0”

④.特称命题"3xwR，使一2/+工一4=0"是真命题.

38.已知命题〃："Wxe[l,2],aNx+l”,命题夕："3xwR,2x2+5.r+«=0">夕的否定是假命题，4是

真命题，则实数。的取值范围是.

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39,若命题“关于x的不等式2〃>+4/内+〃?-1<0对一切实数J恒成立〃是假命题，则实数m的取值范围

是____________

40,直线x—j，T=0与圆(x—1>+产=2有两个不同交点的充要条件是.

41.已知命题p：VxeR,/一。20；命题03xeR,/+2。I+2—〃=().若命题〃，夕都是真命题，则实

数a的取值范围为.

42.己知不等式,一问<1成立的充分不必要条件是:令<；,则〃?的取值范围是.

43.若/(x)=N-2x,g(x)=ax+2(a>0),VxiG[-l,2],3x