第2讲 常用逻辑用语

第2讲常用逻辑用语

—＜教师尊事•命题分析)-

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.理解必要条件的意2023新高考卷IT7：

义，理解性质定理与2023全国卷甲T7；2022

必要条件的关系.北京T6：2022浙江T4：

本讲主要以其他知识为情境

2.理解充分条件的意2022天津T2；2021全国

充分条考查充分条件、必要条件的

义，理解判定定理与卷甲T7：2021北京T3：

件与必判断及简单应用，全称量词

充分条件的关系.2021浙江T3；2021天津

要条件命题与存在量词命题的真假

3.理解充要条件的意T2：2020北京T9；2020

判断及含有一个量词的命题

义，理解数学定义与浙江T6：2020天津T2：

的否定，对学生的逻辑推理

充要条件的关系.2019北京T7；2019浙江

素养要求较高.题型以选择

4.理解全称量词与存T5：2019天津T3

题为主，难度中等偏易.预

在量词的意义.

i\2025年高考命题点变化

5.能正确使用存在量

全称量不大，平时训练中应注重不

词对全称量词命题进

词与有2021全国卷乙T3同知识之间的综合.

行否定，能正确使用

在量词

全称量词对存在量词

命题进行否定.

，--------------------:教材帮》读透教材融会贯通---------------------------

。学生用书P004

1.充分条件、必要条件与充要条件

若p=q,则〃是〃的①充分条件,。是〃的②必要条件

p是q的③充分不必要条件p*q且〃*夕

p是q的④必要不充分条件

〃是“的⑤充要条件

p是q的⑥既的充分也不必分条件2q且q»p

常用结论

充分、必要条件与对应集合之间的关系

设A={xlp(%)),B={xI(/(x)).

(1)若〃是q的充分条件，则AG8；若p是,/的必要条件，则A38.

（2）若〃是q的充分不必要条件，则若〃是q的必要不充分条件，则A矣8.

（3）若〃是g的充要条件，则A=8.

2.全称量词与存在量词

（1）全称量词与存在量词

量词名称常见的量词表示符号

全称量词所有的、一切、任意一个、每一个、任给等⑦W

存在一个、至少有一个、有一个、有的、有些、

存在量词(§)3

对某些等

（2）全称量词命题与存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p（x）成立存在M中的元素X,p（X）成立

简记⑨一工巳必，〃（工）⑩〃（、）

否定3X^M,rp(x)⑪WM,F)(x)

注意（x）表示〃（x）不成立.

2.含有一个量词的命题的否定规律是：改写量词，否定结论.对于省略了量词的命题，则需

要根据命题的含义加上量词，再改写.

3.命题〃与（〃的否定）真假相反.

:幽有

1.下列说法不正确的是（D）

A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件

B“三角形的内角和为180。”是全称量词命题

C.已知集合A,CAU3=AA5的充要条件是A=B

D.命题WR,sin2：+cos2A”是真命题

2.号是整数”是“2x+l是整数”的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析若x是终数，则2x+l是斑数；当x=：时，〃+1是空数，但x不是整数，所以“x是

整数”是“2x+l是斑数''的充分不必要条件.故选A.

3.已知命题〃：所有的三角函数都是周期函数，则「〃为有些三角函数不是周期函数.

r

工学生用书P005

命题点I充分条件与必要条件

角度1充分条件与必要条件的判断

例I(1)[2023天津高考「f=户'是2+力2=2由，的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

解析因为“初二庐〜七二一人或^二少，，％2+从=2"”="。=。"，所以本题可以转化为判

断％=—/)或4=与％=的关系，又％=—/)或0=3、是％=加’的必要不充分条件，所以

“。2=户，是“苏+〃=2时，的必要不充分条件.故选B.

(2)[2023全国卷甲]设甲：sin2«+sin2/?=1»乙：sin«+cos^=0,则(B)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析甲等价于sin%=I—sin%=cos%,等价于sina=±cos^,所以由甲不能找导出sina

+cosA=0,所以甲不是乙的充分条件；由sina+cosj=0,得sina=—cos/?,两边同时

平方可得sin%=cosT=1—sit?6，即sin%+sin7=1,所以由乙可以推导出甲，则甲是乙

的必要条件.综上，选B.

角度2充分条件、必要条件中的含参问题

例2(1)若x>0,则x+结》恒成立的一个充分条件是(B)

X

A.a>80B.a<80C.6r>100D.aVlOO

解析当尤>0时，x+^>2'/2025,当且仅当x=&砺时，"="成立，因为3+等2。

(x>0)恒成立，所以处2加^云，80<2x^025<100,结合各选项知x+等加恒成立

的一个充分条件为aV80.(注意区分“p是q的充分条件”与“p的充分条件是(?”)

故选B.

(2)已知p：II—三q：.V2—2r+1—nr<0(机>0),且q是〃的必要不充分条

件，则实数〃1的取值范围为I为十8).

解析由11一三3|52,得一2稣10,故/）对应的集合为N=［xI—2姿10}.由f-2A,+］

-m2<0（/«>0）,得1一切十二1+小，故g对应的集合为M={iIm>0］.

m>0,

1—m<—2,（I—/〃=—2与I+机=

!1+m>10.

10不会同时成立）

解得〃乏9,所以实数/〃的取他范围为［9,4-oo）.

方法技巧

1.充分条件与必要条件的判断方法

（1）定义法：根据“若p,则必及“若q,则p”的真假进行判断，适用于定义、定理等判断

性问题.

（2）集合法：根据p,°对应的集合之间的包含关系进行判断.

2.已知充分、必要条件求参数取值范围的方法

把充分、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等

式（组）求解.

注意（1）条件的等价变形；（2）区间端点值的检验.

训练I（1）|2024湖北部分重点中学联考］设小£R,a=Cm,1）,b=（4,〃?），c=

（1,一2）,则。_1_,是a〃。的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析若b_Lc,则4-26=0,得/〃=2,即力_Lco/〃=2:若a〃b,则=4,得〃?=

±2,即。〃力o/〃=±2.因为〃尸2是加=±2的充分不必要条件，所以力_Lc是a〃方的充分不

必要条件，故选A.

（2）［多选A023沈阳市三检］己知空间中的两条直线/〃，〃和两个平面a,夕，则a_L/?的充

分条件是（ACD）

A.〃i_La,m//pB.wca,〃u£,tnLn

C./〃ua,m//n,n邛D.〃7_L",〃z_La,

解析对A,改为m〃3所以在平面尸内存在直线/,使得打〃/,又5_La,所以LLa,

义曰,所以a_LQ,所以选项A符合题意：

对B,若"?ua,〃u£,/〃_!_〃，则平面a,尸不一定垂直，例如在正方体ABC。一人山IGOI

中，ABu平面ABC。，BiGu平面AIBIGOI,且A8_LSG,但平面A8C3与平面A由CQi

不垂直，所以选项B不符合题意；

对C,因为小〃凡"_L夕，所以m_L夕，又〃1ua,所以a_LA，所以选项C符合题意；

对D,因为6_La,所以直线〃?，〃对应的方向向量分别为平面a,6的法向量，又

mVn,所以平面a,夕的法向量垂直，所以所以选项D符合题意.

综上，选ACD.

命题点2全称量词与存在量词

角度1全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断

例3(1)［2023辽宁名校联考］己知命题p：3A<-1,2r-x-l<0,则［〃为(B)

A.V.v>-1,2v-x-l>0B.Vx<-l,2l-x-l>0

C3x<-1,2x-x-l>0D3x>-1,2v-x-l>0

解析因为命题p:Sx<-1,2r-x-l<0,则［p:V.r<-1,2'—1一120.故选B.

(2)|2O23湖北模拟］下列命题为真命题的是(C)

A.VxGR,.V2-Ixl+1<0B.VASR,

COSX

C.M£R,(Inx)2<0D.±v£R,sinx=3

解析因为A2—1x1+1=(I.rI—工)2+之>0恒成立，所以VxER,X2—IxI+1W0是

24

假命题；当工=?时，­=2,所以—是假命题；当％=1时，Inx=0,所

3cosxcosx

以3vER,(Inx)2so是其命题；因为一Issin.vsl,所以sinx=3是假命题.故选C.

角度2已知全称(存在)量词命题的真假求参数的取值范围

例4(1)若命题“Vx>0,lnL1—aV0”为假命题，则实数a的取值范围是(D)

A.(―8,e］B.(—co,1］

解析命题“Wx>0,Inx—吴一aVO”为假命题，则命题“M>0,Inx—吴一生0”为卖命麴

由In%一#一色0,得aWlnx—#.设g(A)=lnx—吴，则原问题可转化为空g(x)max,

g'(x)=--%=—.4"g1(x)>0,得OVxVI,令g'(x)V0,得QI,则g(x)在

(0,1)上单调递增，在(1,4-00)上单调递减，从而g(x)<g(1)=-1,故处一尹攵

选D.

(2)[2024江苏南通学业质量监测]设命题〃：加一4+IWO.写出一个实数〃=

0(答案不唯一)，使得p为真命题.

解析当a=0时，-x+lWO有解；当"0时，卜或aVO,所以(0,-JU

U>04

(-oo,0).综上，4金,即中任取一个值都可以.

44

方法技巧

1.判定全称量词命题是真命题，需证明所有对象使命题成立；判定存在量词命题是真命

题，只要找到一个对象使命题成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定

的真假.

2.由命题真假求参数的范围，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的

方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求解.

训练2(1)[2023河北省盐山中学三模]已知命题〃：3仑0,In(x+1)加且tanx<l,则

W为(C)

A.V.v<0»In(x+1)V0且tan应1

B.V.r<0,In(A+1)VO或lan应1

C.V.v>0»In(x+1)VO或lanx21

D.V.r>0,In(x+1)VO且lanxNl

解析由含有一个堂词的命逾的否定规律易知C正确.

(2)若命题3/同一1，3],ar-(为一1)%+3—〃<0"为假命题，则实数x的取值范围

为(C)

A.LI，4]B」0,勺

C.I-1,0]uIp4]D.l-1,0)U(1,4|

解析命题3],ar-(2“-1)*+3—“<0、'为假命题，则其否定为真命题，

(命题与命题的否定真假相反)

即31,』1一(267-1)x+3-a*”为真命题.令g(a)=(1一(2“-1)x+3-

a=(X2—2.v—I)a+x+3,1,3],则g(。)沙恒成立，所以,(1)一°，即

U<3)>0,

—X2+3%4-4>0.(-1<x<4,

彳(X>:或欠<0,所以实数x的取值范国为[-1,0]U[1,4].故选C.

3X2—SX>0,

(3)[多选/2024重庆市合川区模拟]已知命题〃：BACR,『+lV2x：命题q：若〃a2—"吠

—1,0恒成立，则一4V,〃V0.则(BC)

A.p的否定是假命题Bq的否定是真命题

C.p与q都是假命题D.p与q都是真命题

解析对于命题p:因为f-2x+l=G-1)2>0,所以/+122.%即不存在x,使f+1

<2r,故命题〃是假命题，则命题p的否定是真命题.对于命题q:若"tr2—/〃工一1邦恒成

立，则当m=0时，一1邦，原不等式恒成立；当“*0时，A=J〃2+4〃IV0,得一4VmV0.

综合得一4〈〃区0,故命题q是假命翘,则命题，/的否定是真命题.综上所述，选项A错

误、B正确、C正确、D错误.故选BC.

T

0学生用书P007

突破双变量“存在性”或“任意性”问题

角度I双变量“存在性”或'•任意性'的等式问题

例5[2023江苏省宿迁市模拟]定义域为R的函数/(%)满足/(—X)=f3,[/«)/一

(4+X2)[/(%)/+4/=0对任意的实数x都成立，且值域为[0,2].设函数g(.v)=

2x—m—2,x<2,

若对任意的国£(—4,—1),都存在也>—1,使g(X2)=f(xi)

~m+2,x>2,

成立，则实数小的取值范围为(A)

A.[-5,0]B.[-2,0]

C.(-1,0)D.(0,1J

解析由l/(x)『一(4+.r)If(A)J24-4.?=0,

得{/(%)尸一4}{丁(x)产_/}=0,解得/J)=垃或/(幻=±2.

因为/(x)为偶函数，且值域为[0,2],

2,x<—2,

IxI,—2cxV2,

12,x>2.

若对任意Xl£(-4,-1),都存在力>一1,使g(X2)=f(A|)成立，则/(x)在

(-4,-1)上的值域是g(A)在(-1,4-00)上的值域的子集.

易知当(—4,—1)时，j(A)W(1,2J：当(—1,4-oo)时，g(x)£(―4—

,乙(―4—m<1».._

m,2—w],所以<所以小£]—5,0J.

{.2—m>2,

例6[2023黑龙江省哈尔滨市第一中学模拟]已知函数/(x)=lg言，函数g(%)=2一炉

(a>0,6#1)»若存在xi，制仁(0，1),使得/(xi)=g(X2)成立，则实数a的取值

范围为(2,+ao).

解析函数gCr)=2—a'(a>0,a^\),若存在阳，及£(C,1),使得/(汨)=

g(x2)成立，0']f(x)和gCv)在(0,1)上的值域的交集不为空集.当OVxVl时，

/G)=怆冷=lg(-1+京)显然单调递减，所以其值域为(一8,0).若则

g(x)=2一炉在(0,1)上单调递减，所以g(A)的值域为{2-a,1),此时只需2—

aVO,即”>2,所以〃>2;若OVaVl,则gG)=2一炉在(0,I)上单调递增，可得

g(A)的值域为(1,2—〃)，此时(1,2-«)与(-8,0)的交集显然为空集，不满足

题意.综上，实数a的取值范国是(2,+oc).

方法技巧

1.解决双变量"存在性''或"任意性”的等式问题的关键：一是理解量词的含义，“脱去”量词，

转化为两个函数的值域之间的问题；二是会利用函数的单调性，求函数的值域.

2.常见的转化形式

(1)VxiWM,3X2eN,f(,vi)=g(X2)<=>/(x)的值域为g(x)的值域的子集；

(2)/(XI)=g(X2)=/(x)的值域与g(x)的值域的交集不为空集.

训练3[2023上海市华东师范大学松江实验高级中学模拟]已知函数/(#=3x2、+2,对于

任怠的力£[(),1],都存在心口()，1]，使得/(*)十5“2十周)=20成立，则实数，〃的

取值范围为311.

解析X|W[O,I],故/(xDG[3+2,3x2+2]=[5,8],由/(即)(©+〃?)=20得

fG））=20—女（M+〃D,因为不£[0,I],所以20—攵（处一M£[17—9x2，

17-9x2w_,],若对于任意的国£[0,1],都存在心£[0,1],使得/（片）+|f（X2+〃]）=

20成立，则[5,8]口17—9x2",17-9x2〃'」，所以一'解得

17-9x21n-1>8,

（m<1,4

[4故机£[log%,1].

（m>Iog2-,

角度2双变量“存在性”或“任意性”的不等式问题

例7[2024四川仁寿第一中学模拟]已知函数/（x）=x+pg（x）=2'+小若必心可，

I],3X2e[2,3],使得/（加）与（也），则实数〃的取值范围是.口+8）.

解析依题意知f（x）M（AG[1,1]）与（A）max（xG[2,3]；.因为/（x）在&1]上是

减函数，所以当弓，1]时/G）^=f（1）=¥.又g（x）在[2,3]上是增函数，所以当

x^[2,3]时，gCr）max=g（3）=8+”因此$8十。，印之，所以。的取值范围是6，

4-oo）.

方法技巧

（1）VX1WM,也£N,f（Xl）>g（X2）<=>/（x）min>g（X）nm；

（2）X2WN,/（XI〉>g（X2）O/（X）max>g（X）mir；

（3）V.riWM,3X2N,f（X1）>g（X2）=/（X）min>g<X）min；

（4）3X\^MtPxfN,f（,V1）>g（X2）=/（X）max>g（X）max.

训练4[2024河北省唐县笫一中学模拟]已知函数/J）=?-2t-Lg（x）=log^（«>0

且"I）,若对任意的即£[-1,2],都存在必仁[2,4],使得/（即）Vg（X2）成立，则

实数a的取值范围是（I,2）.

解析fCt）=（X—1）2—2,当1,2]时，/Cv）max=/'（―1）=2.因为对任意的用

e[-l,2],都存在M£[2,4],使得/（即）Vg（x2）成立，因此函数/（x）在[一1,2]上

的最大值小于晶数g（A）在[2,4]上的最大值，而当OVaVl,x£[2,4]时，log^v<0,不

符合题意，于是a>l,函数g（x）=log,x在[2,4]上单调递增，则即IV。2V

4,解得lVaV2,所以实数a的取值范围是（1,2）.

（教师尊享•备课题组）

1」命题点1角度1/2024四川省成都市川大附中模拟］直线)，=匕+1与圆『+丁=1相交于

A,B两点,则“IABI=或"是“=一1"的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析易得圆心到直线>，=去+1的距离1=滔片，且圆的半径为1.若IABI=V2,则1-

?=(-^y-)2,即1一$=(可得出=±1,所以"|48I=/"是"=一1"的必要不充分

条件.故选B.

2.［命题点1角度2/2024四川省间中中学质量检测］设a：炬一5或x>2,小烂一2〃?一7或

x>4~3m，加£R,若a是用的必要不充分条件，则实数tn的取值范围是L1，：).

解析•・％是夕的必要不充分条件，••/对应的集合是a对应的集合的真子集，.•・

「2m—7W-5,解得tsY

(4-3m>2,3

3.［命题点2角度1/2023贵阳摸底］已知命题p：也£N,eKsini+l,则命题〃的否定是

(D)

A.VKN,ev>sin.r+l

B.a.vGN,er>sinx+l

C.VA^N,ev<sinx+1

D.V.vGN,ev>sinx+1

解析由存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题〃的否定为VxEN,er>sinx4-1,

故选D.

4.［命题点2/多选Z2024江苏省高邮一中模拟］若'乜丫£

M,1x1为真命题，叼xEM,x>3”为假命题，则集合M可以是(AB)

A.(-co,—5)B.(—3,—1)

C.(3,+oo)D」0,3］

解析“Vx£M,lx|>x”为其命题，则xVO,x>3”为假命题，则、'Vx£M,

烂3”为真命题.因此集合M的元素均为负数，故选AB.

/---------------------------〔练习帮｝练透好题精准分层---------------------------

C学生用书练习帮P260

公基础练知识通关

“2024福建南平模拟]若命题p：3>0,f—3x+2>0,则命题〃的否定为（C）

A.3A>0,f-3X+2$0B3启0,^-3x4-2<0

C.V.v>0,x2-3x+2<0D.VA<0,A2-3A+2<0

解析命题p:孔>0,F-3x+2>0是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题

〃的否定为Vx>0,3x+2S0.故选C.

2.[2023辽宁名校联考「点A的坐标是与，0）,HZ”是了⑺=lanx的图象关于点A对

称”的（C）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若/CO=tanx的图象关于点4对称，可得点八的坐标是（g,0）,AUZ,若点A

的坐标是（与，0）,kGZ,可得/G）=tanx的图象关于点4对称，故选C.

3.[2024河南名校联考]若直线/：Ax+B.y+C=0的倾斜角为a,则“a不是钝角”是“48V0”

的（B）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若A由V0,则/的斜率一三>0,则a不是钝角.若a=0。或a=90“，则A心=0.故"a

不是钝角“是“/VO”的必要不充分条件.故选B.

4.[2024长春市质量监测（一）>1”是“log〃2Vlo涉2”的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若4>。>】，则有陛2。>1噌力>0,由不等式的性质得，总^焉，即1叫2V

logft2,充分性成立.若10gu2Vk)g立，则当log“2和logb2异号时，log“2V0,log〃2>0,所以

0<a<l</>:当10ga2和log立同号时，4>力>1或OVbVaVL显然必要性不成立.所以

/)>1”是力08.2〈108匕2”的充分不必要条件.故选A.

5.[2024江苏镇江模拟]命题“心£[0,3],F-2r一把0”为真命题的一个充分不必要条件是

(A)

A.«>4B.«>3

C.«>2D.a>l

解析由VxW[0,3],f—M一空0,得生三一2》在x£[0,3]恒成立J=F-2X的图象开口

向上，对称轴为直线x=l,则其在[0,3]上的最大值为32—2x3=3,则色3,结合选项可

知，色3的充分不必要条件为色4,故选A.

6.[2024山东聊城模拟]若存在(0,2],使不等式加一2t+3“V0成立，则实数〃的取

值范用I是(A)

A.{«IaV当B.{aI0±良}

C.{«Ia>ylD.{flIa>^]

解析当工£(0,2]时，由aP—Zr+BaVO,可得a(f+3)<2x,M'la<(焉)max,

因为x；：3=xj»三=当且仅当x=：(x>0),即x=x/5时，等号成立，所以当

<0,2]时，岛的最大值为多故"V孚故选A.

7.[2024重庆模拟『%>2”是2—三>3"的(C)

2人

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析令7=2*,则，>0,(提示：指数函数的值域为(0,+s))

由2、一白>3得尸-3L4>0。>0),解得r>4.即2、>4,解得x>2.所以+>2”是2一之

2X2X

>3”的充要条件，故选C.

8J2024江西分宜中学、临川一中等校联考]己知{”“}是等比数歹[,则“VaVO”是“{%}为

递减数列”的(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析设数列｛〃”｝的公比为名充分性：若sV^VO,则“qVaiVO,所以q>l,所以如=

。闻”1<0,皿=夕>1,所以如+iV斯，所以｛%｝为递减数列，充分性成立.必要性：当m=

an

夕=泄,斯=满足数列｛斯｝为递成数列，此时0>。2>0,必要性不成立.所以

VO”是“｛诙｝为递成数列”的充分不必要条件，故选A.

9,浙江高考］已知空间中不过同一点的三条直线/,加〃々，/〃，〃共面”是”〃两两相

交，的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若/,〃?，〃在同一平面内，则可能1有/,加，〃两两平行，所以/,m,〃可能没有公

共点，所以不能推出/,tn,〃两两相交，充分性不成立：由/,〃?，〃两两相交,且/,m,n

不经过同一点，可知必有三个交点，设为4,B,C,则A,B,。三点不共线，所以此三点

确定唯一平面。，易得/,in,”均在a内，所以/,m,〃在同一平面内，必要性成立.故选

B.

10.［多选Z2O24广东广州模拟］下列命题中为真命题的是(CD)

A.MWR,.F+2X+2<0

B.3xGR,A2+.r=-l

C.V.vGR»jr—x+->0

4

D.VxER,T-l<0

解析对于A,VAGR,F+2t+2=(x+l)2+1>1>0,故A为假命题；对于B,当.F+

x+l=O时，A=l-4=-3<0故B为假命题；对于C,VAGR,X^-+-=(J-1)2

tX42

>0,故C为真命题；对于D,因为Vx£R,FK),所以一F—iv—ivo,