第2章 213 推理案例赏析

2.1.3推理案例赏析

i.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.

利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)

2.两种推理形式的具体格式.(易混点)

I小组合作型］

归纳推理的应

rrn

用

》例m观察如图2-1/6所示的“三角数阵”：

困2-1-16

记第〃行的第2个数为a〃(〃22,请仔细观察上述“三角数阵”的

特征，完成下列各题：

(1)第6行的6个数依次为、、、、

(2)依次写出42、43、。4、45；

(3)归纳出与。〃的关系式.

【精彩点拨】(1)观察数阵，总结规律：除首末丙数外，每行的数等于它

上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.

(2)由数阵可直接写出答案.

(3)写出。3—42,4I—63,45—从而归纳出(3)的蜡论.

【自主解答】(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上

一行肩膝上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.

【答案】6,16,25,25,16,6

(2)42=2,43=4,出=7,45=11

(3)43=42+2,〃4=。3+3,。5=出+4,

由此归纳：a〃+1=%+n.

归纳推理的一般步骤

归纳推理的思想过程大致是：实验、观察一概括、推广f猜测一般性结论.

该过程包括两个步骤:

(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).

【再练一题］

1.观察下列各式：

1,217,8,10.11AN畀豹会然39,

3+3=1*3+3+T+T12,

口…，,3〃+1,3〃+2,,3m~2,3/w—1,

则当n<m且〃7,〃£N时,~~~~+…+—+=.(最

后结果用〃?’〃表示)

12

【解析】当〃=0,相=1时，对应第1个式子？+]=1,此时1=12—0=

nr-tv-,当〃=2,〃?=4时，对应第2个式子(+?+¥+?=12,此时12=4?一

JJJJ

22=m2—n2;当〃=5,〃?=8时，对应第3个式子号+?H----2§=39,此时39

=82-52=m2-w2.

,....,3〃+1,3〃+2,,3m—2,3m~\、、

由归纳?L推理可知一-4--—~\F——+——=m--72-.

【答案】nr—tr

类比推理的应

S5|i««用

》例日通过计算可得下列等式：

23—[3=3X12+3X1+1；

33-23=3X22+3X2+l；

43-33=3x32+3x3+1；

(〃+l)3-〃3=3X/+3X〃+L

将以上各等式两边分别相加，得

5+1)3-13=3(12+22+・・・+〃2)+3(1+2+3+…

B|J12+22+32+-+/?2=1/?(/?+1)(2«+1).

类比上述求法，请你求出N+23+33+…+/的值

【导学号：01580039]

【精彩点拨】解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比.

(自主解答］V24-14=4XP+6X12+4X1+1,

34-24=4X234-6X22+4X24-l,

44-34=4x33+6x32+4x3+1,

(〃+1产一〃4=4/+6/+4〃+1.

将以上各式两边分别相加，得

(n+1)4-14

=4X(P+23+…+〃3)+6X(12+22+…+〃2)+4X(I+2+…+〃)+%

•••13+23+…+〃3

={(〃+1)4—14-6X%(〃+1).(2〃+1)—4X

]12/_Ll、2

一2一一可=不?(〃+1).

1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的

迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解

题方法.

2.类比推理的步骤与方法

(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.

(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相

关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.

I再练一题I

2.半径为广的圆的面积5(r)=露户，周长C(r)=2兀了，若将/•看作(0,+8)上

的变量，则(兀/)'=2兀XD,①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆

的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0,+8)上的变量，请你写出类似

于①的式子②：;②式可用语言叙述为.

【解析】因为半径为R的球的体积V(H)=*N,

表面积S(R)=4兀R?,

类比(兀3)'=2兀厂，得惇兀心)’=4nR2.

因此②式应为：&A3]，=4TIR2

且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.

【答案】&&3)，=47rR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数

［探究共研型］

合情推理与演绎推理的综合

探央a

应用

探究1我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类

比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.

【提示】如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常

数，那么这个数列叫做等炽数列，其中，这个常数叫做公积.

探究2若｛m｝是等积数列，且首项⑺=2,公积为6,试写出｛〃”｝的通项公

式及前〃项和公式.

【提示】由于｛〃〃｝是等积数列，且首项41=2,公积为6,所以02=3,

=2,04=3,45=2,06=3,…,即｛〃〃｝的所有奇数项都等于2,所有偶数项都等

,2,〃为奇数,

于3,因此｛〃〃｝的通项公式为如=1,fo.L

.3,〃为倜数.

当，〃为偶数,

其前〃项和公式S〃=<

5〃一1

+2=下一〃为奇数.

探究3甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市：

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市.

山此可判断乙去过的城市为A,B,C三个城市中的哪一个？

【提示】由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说

“三人去过同一城市”，说明甲去过A,C城市，而乙“没去过C城市”，说明

乙去过城市A,由此可知，乙去过的城市为A.

》例目如图2-1-17所示，三棱锥A-BCO的三条侧凌AB,AC,A。两两互相

垂直，。为点A在底面8c。上的射影.

图2-1-17

(1)求证:。为△BCD的垂心;

(2)类比半血儿何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并

给出证明.

【精彩点拨】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明0为△8CO的重心.

(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明.

【自主解答】(1)证明：・・・A8_LA。，AC-LAD,

・・・AQJL平面ABC,

：.AD±I3C,

又・・・AO_L平面BCD,

：,AO±BC,

•：ADOAO=A,

.•・8CJ■平面AO。，

：.BC±DO,同理可在COJ-BO,

：.O为△BCD的垂心.

(2)猜想：S\ABC-^~S3XACD+S^ABD=S^BCD.

证明：连接。0并延长交3c于民

连接AE,BO,CO,

由⑴知AO_L平面ABC,

AEU平面A8C,

：.AD±AEf又AO上ED,

：.AE2=EOED,

伽GAa=伽GE。＞伽CED),

即S%“=SABO(?SA8C/).

同理可证：S^ACD-S^COD-S^BCD,S^ABD=S^BOD-S^BCD.

SIABC+S^ACD+SAAAD=SABCD-(S△HOC+S△COD+S△BOD)=S△BCD-S△BCD=

SLBCD.

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常

常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得

到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).

［再练一题］

3.已知命题：”若数列优〃｝是等比数列，且m>0,则数列b尸弋am…期5

£N*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？

并证明你的结论.

【解】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：

aI+(r>+••,+〃〃

若数列｛。〃｝是等差数列，则数列为=——-----也是等差数列.

证明如下：

n(n-\)d

〃+〃，+—+〃十27

设等差数列｛&｝的公差为d,则bn=--k--------=-----------------=m+和

-1),

所以数列｛九｝是以山为首项，，为公差的等差数列.

1.设k楂柱有人。个对角面，则&+1楂柱对角面的个数为./U+1)=/U)+

【导学号：01580040]

【解析】k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k-2条侧

枝可构成攵一2个对角面，而增加一条侧枝时也使一个侧面变成了对角面.

所以1攵+1)=尺0+〃-2+l=/U)+k—l.

【答案】k-\

2.如果一个凸多面体是〃棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线

共有条.这些直线中共有向。对异面直线，则<4)=；//?)=

.(答案用数字或含〃的式子表示)

【解析】所有顶点确定的直线共有：棱数+底边数+对角线数，

c।,〃(〃—3)/+〃।4X1

即〃+〃+2=~^~：/(4)=4X2+—X2=12,

।〃(〃一3)〃(〃一1)(〃一2)

<〃)=〃(〃-2)+—2-X(〃—2)=2•

/+〃〃(〃-])(〃-2)

【答案】2122

3.下面几种推理是合情推理的是.(填序号)

①由圆的性质类比出球的有关性质;

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180。，归纳出所有

三角形的内角和都是180°；

③张军某次考试成绩亳100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；

④三角形内角和是180。，四边形内角和是360。，五边形内角和是540。，由

此得凸多边形内角和是(〃-2)/80。.

【解析】①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理.所以①、②、④

是合情推理.

【答案】①②®

图2-1-18

4.如图2-1-18所示，我们知道，圆环也可以看作线殁A8绕圆心。旋转一周

R+r

所形成的平面图形，又圆环的面积S=n(R2-=(/?-/•)X2TTX―,所以，圆

环的面积等于以A8=R—r为宽，以48中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长

2;iX-y-为长的矩形面积.

请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：

若将平面区域M={。，)，)|。一,N+VWz2}(其中0VY")绕)，轴旋转一周，则

所形成的旋转体的体积为.

【解析】已知图中圆环的面积等于以A8=R-r为宽，以A8中点绕圆心

。旋转一周所形成圆的周长2TIX〒为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：

将平面区域M={(x,3)(其中绕)，轴旋转一周所形成的旋

转体积的体积应等于以圆(不一")2+)2=/围成的圆面为底面，以圆心(4,0)绕y轴

旋转一周所形成的圆的周长2nXd为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V=

兀427td=2/A/.

【答案】2n2rd

5.在△ABC中，若N5=90。,则“^4+以^^二1,用类比的方法,猜想三

棱锥的