第2章常用逻辑用语全章复习与测试

第2章常用逻辑用语全章复习与测试

O【知识梳理】

知识点一命题

1.命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题.

2.命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果”，那么q”或“若则的形式，其中

〃叫作命题的条件,2叫作命题的结论.

3.命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题.

知识点二定理定义

1.定理：在数学中，有些己经被证明为基的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.

2.定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.

知识点三、充分条件与必要条件充要条件的概念

充分条件、必要条件与充要条件

①“若〃，则q”为真命题：

②p是9的充分条件；

③*是〃的必要条件

知识点四、充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题“若P，则q"，其条件P与结念q之间的逻辑关系

从集合与集合间的关系看

若p：x£A,q：x£B,

①若AqB,则〃是q的充分条件，夕是〃的必要条件：

②若A,是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；

③若A=B,,则〃、9互为充要条件；

④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.

要点诠释；充要条件的判断通常有四种结论；充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不

必要条件.判断方法通常按以下步骤送行：

①确定哪是条件，哪是结论；

②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，

④最后判断条件是结论的什么条件.

知识点五、充要条件的证明

要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性

（即证原命题的逆命题成立）

要点诠释.：对于命题“若p,则q”

①如果〃是q的充分条件，则原命题“若p,则9”与其逆否命题“若F，则力”为真命题；，

②如果〃是夕的必要条件，则共逆命题''若“，则〃”与其否命题“若p,则“”为真命题；

③如果〃是q的充要条件，.则四种命题均为真命题

知识点六、全称量词和存在量词

（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“左”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，

有些，用符号“工”表示.

（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.“对"中任意一个筋有p（x）成立"用符号简记为：中xSM,

Q（力.

⑶含有存在量词的命题，叫做特称命题.“存在〃中元素吊，使0国）成立"用符号简记为：三斯印,

知识点七、含有一个量词的命题的否定

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

（1）全称量词命题,：VA-ej/,。（⑼，它的否定「2：3-\9（x）：

（2）存在量词命题夕：3If,p（x）,它的否定一■夕：V>£业一>〃（%）.

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.

命题命题的否定

VxGM,p(x)

3而b轨P（Ab）

【考点剖析】

一.充分条件与必要条件（共14小题）

1.（2022秋•建邺区校级期末）设a,b,c,d为实数，且cVd,则％V。”是“a-cVb-d”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析1根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，以及不等式的可加性，即可求解.

【解答】解：令c=0,d=l,a=2,b=3,满足eV","Vb,不满足。-cVb-d,充分性不成立，

a-c<b-d,c<d,

则由不等式的可加性可得，a-c+c<…+d,即aVA必要性成立，

故“a<b”是“a-cVb-4”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，以及不等式的可加性，属于基础题.

2.（2022秋•沛县校级期末）“x>3”是“二>1”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据集合之间的关系，“小推大”判断即可.

【解答】解：“公>3”对应的集合4=（3,+8）,

对应的集合B=（1,+8）,

则4茎从所以“x>3”是成立的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分必要条件的判断，属于基础题.

3.（2022秋•如东县期末）若〃是g的必要不充分条件，〃是r的充分不必要条件，则q是/•的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据题意，由充分必要条件的定义可得g=〃，反之〃=g不成立以及〃=「，一〃不成立，综合可

得</=「，反之Qq不成立，即可得答案.

【解答】解：根据题意，若〃是夕的必要不充分条件，则q=〃，反之不成立，

〃是，•的充分不必要条件，则，=〃不成立，

则有q=r，反之Eq不成立，

则q是「的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题考查充分必要条件的判断，注意充分必要条件的定义，属于基础题.

4.（2022秋•南京期末）设aWR,则，>1"是的（）

则由“MWO”可得“aWO”，但是不能由“aWO”得到

则"WO"是"0”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

8.（2022秋•淮安期末）已知x€R,若集合M="，x},N={1,2,3-,则“x=2"是"MCN"（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【解答］解：若x=2,则”={1,2）,AA/CN,

若MGN,贝心=2或3,

二“x=2”是“MUN”充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了集合相等的定义，属于基础题.

9.（2022秋•大丰区校级期末）若"IW.Y4”是的充分非必要条件，则实数机的取值范围是14,

+A）.

【分析】根据题意得到1WXV4与XV,〃的包含关系，从而得到答案.

【解答】解：根据题意可知1WXV4=XV/〃，但xV”?推不出1VXV4,

故{M1V4}是（小<〃?}的真子集，

故—24,

故答案为：［4,+8）.

【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

10.（2022秋•连云港期末）设全集U=R,集合A={小2-6x+5W0},非空集合B={x\2・aW/Wl+2a},aWR.

（1）若。=3,求（CuA）CB：

（2）若“x&l”是“xWB”的必要不充分条件，求。的取值范围.

【分析】（1）先求出集合A,B,再结合补集、交集的定义，即可求解；

（2）由必要不充分条件的定义可知集合A,8之间的关系，即可求得〃的取值范围.

【解答】解：（1）解集合A对应的一元二次不等式可得（x-I）（x-5）W0,

所以A={RlWxW5},CuA={4v〈l或x>5},

当〃=3时，8={M-1WXW7},

(CuA)03=3-IWXVI或5cA<7}：

(2)若“XS4是”.隹8的必要不充分条件，

等价于非空集8=32-“WXWI+24}是集合A={x|lWxW5}的真子英，

2-a>1

即l+2a<5，解得工<a<l(两端点不会同时取等号，所以等号符合题意)，

2-a<1+2a3

故。的取值范围为［工，1b

【点评】本题主要考查集合的运算，以及充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

II.(2022秋•建邺区校级期末)设小£R,已知集合A={x|竺2<1},B={x|2?+(w-2)x-m<0}.

x-1

(1)当/〃=1时，求AU3：

(2)若-WB”是的必要条件，求”的取值范围.

【分析】(1)根据已知条件，先求出集合八，B,再结合并集的定义，即可求解：

(2)根据已知条件，推得AG以列出不等式，即可求解.

【解答】解：(I)匣2vi,即区立<c，解得A=(且，1),

x-1x-12

B={X\2X2+(M-2)x-m<0}={x\(2A+/M)(X-1)<0},

当机=1时，5=(二，1),

2

AUB=(4JD；

(2)(,xEBn是“xWA”的必要条件,

则AG&即上(二，解得

2、2

故实数，〃的取值范围为［3,+8).

【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题.

12.(2022秋•宿迁期末)设全集U=R,集合八={如=欣(-?+6x-5)},集合8=［2-a,l+2a|,其中

«GR.

(1)当0=1时，求BU(CuA)；

(2)若“•忙A”是“XE8”的条件，求实数〃的取值范围.

从①充分：②必要：③既不充分也不必要三个条件中选择一个填空，并解答该题.

【分析】(I)先求出集合B,再利用集合的基本运弊求解即可：

(2)若选①，则AG-进而列出不等式组，求出实数。的取值范围；若选②，由4W0可得再

3

根据列出不等式组，求出实数a的取值范围；若选③，则AgZ?且3&A,由①②可求出实数a的

取值范围.

【解答】解：(1)当a=l时,8=[1,3],

又•.•A={R-『+6r-5>0}={W(A-1)(x-5)<0}=(1,5),

，CuA=WWl或95},

.*.«U(CuA)=(-8,3]U[5,+8)；

(2)若选①,则AS氏

..(2-a0,解得

ll+2a>5

即实数。的取值范围为[2,+8);

若选②，由区间定义可知3#0,••・2-aVl+2a,即〃>2，

3

：.BQA,

2-a〉1

解得看<3<1

l+2a<5,O

综上所述，实数a的取值范围为(』，1);

3

若选③，则AC3且4CA,

由①②可得，实数〃的取值范围为[1,2).

【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题.

13.12022秋•无锡期末)设全集U=A,集合A={.v|a-3VxV2〃-1},B={刈og2(x-1)W2},其中正R.

⑴若“x€A”是“xWB”成立的必要不充分条件,求a的取值范围;

(2)若命题“王诧4,使得XWCRB”是真命题，求a的取值范围.

【分析】(I)由题意可知B臬A,由此列出关于a的不等式组，求出。的取值范围即可;

(2)先求出命题为假命题时〃的取值范围，取其补集即可.

【解答】解:(1)由log2(x-I)W2可得，0Vx・IW4,

...1V*W5,即3={x|lVxW5},

；“xeA”是“八七8”成立的必要不充分条件，

(a-341

解得3V4W4,

l2a-l>5,

即〃的取值范围为(3,4]：

(2)若命题—,使得XWCRB”是假命题，则AA(CRB)=0，

":B={.v|lVxW5},:.CuB={x|xW1或x>5},

①当A=0时，a-3^2a-1,解得aW-2,

a-3<2a-l

②当/1K0时，则，a-3>l，无解，

2a-l<5

••・命题为假命题时，〃的取值范围为(-8,-2],

命题为真命题时，〃的取值范围为(-2,+8).

【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，考查了集合的基本运算，属于中档题.

14.12022秋•射阳县期末)已知函数/1(X)=ln(A+3)HT7的定义域为A，函数g<A)=41。的值域为

B.

(1)若a=-2,求AG8,AUB；

(2)问题：已知,求函数a的取值范困从下而给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，

并进行解答

(1)AQB=A；

(2)(CRB)C(CRA)；

(3)uxEBn是“尤A”的必要不充分条件.

【分析】(I)由对数的真数大于零，被开方数大于等于零求出集合4利用指数函数的性质求出集合B,

再进行集合的运算即可.

(2)都先得到AG8,再列出关于口的不等式，求出实数a的取值范围.

【解答】解：(1)令，・3VxWl,・・.A=(-3,I],

ll-x>0

若a=-2,g(x)=4V-2>-2,:.B=(-2,+°°)»

JAn”(-2,1],AU8=(-3,+8)；

(2)若选(1),,：Ar\B=A,：.A^H,

，：B=(a,+oo),.・.aW-3,

即〃的取值范围为(-8,-3]；

若选(2),,/(CRB)£(CRA),

,:B=(a,+°°),I.a<-3,

即a的取值范围为(-8,-3]；

若选(3),•••.隹8是的必要不充分条件.・・・AWB,

VB=（a,+8）,：.a^-3,

即〃的取值范围为（-8,-3].

【点评】本题考查了函数定义域，值域的求法，充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

全称量词和全称命题（共2小题）

15.（2022秋•连云港期末）若命题（iVxE[-1,2],，+12机”是真命题，则实数机的取值范围是（）

A.（―,0]B.I]C.（-8,2]D.（-吟5]

【分析】根据全称命题为真命题可得mW（?+1）加…a-1,2],即可求得实数m的取值范围.

【解答】解：“八日・1,2],/+1力〃”是真命题可知，

不等式〃Wf+l,-1,2]恒成立，

因此只需〃IW（/+1）niin,.V6[-112],

易知函数y=»+l在.诧LI,2]上的最小值为1,

所以mWl,

故实数机的取值范围是（-8,1].

故选：B.

【点评】本题主要考杳全称量词和全称命题，属丁基础题.

16.（2022秋•淮阴区校级期中）下列命题是真命题的一项为（）

A.V.vGR,?>0B.3xER,

C.VAGQ,A-2-2^0D.B.reQ,.r-2=0

【分析】根据存在性、任意性的定义，即可依次求解.

【解答】解：当x=0时，K=0,故A是假命题，

因为VxWR,小20,所以不3r€R,/〈（），故8是假命题，

由X2-2=0，X=±J5,而±&是无理数，故C是真命题，。是假命题•

故选：C.

【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题.

三.存在量词和特称命题（共5小题）

17.（2022秋•广陵区校级月考）命题“八GR,»+x+〃?VO”是真命题，则实数，〃的取值范围是（）

A.（-8,1]B.（-8,1）C.（-1,-KO）D.亭-KO）

【分析】由题意，根据二次函数的最值，可得答案.

2

【解答】解：由题意，f（x）=x+x+m=（x+y）则f（x）11t

故m-<0，解得m<J•

44

故选：B.

【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题.

18.（2022秋•海州区校级月考•）下列存在量词命题是假命题的是（）

A.存在在Q,使2r-9=0

B.存在x£R,使/+1+1=0

C.至少有一个正整数是偶数

D.有的有理数没有倒数

【分析】由于选项中的命题全是特称命题，故对于ACD,只需要举例即可判断该命题为真：对于8,利

用配方法即可判断该命题为假.

【解答】解：对于A,令x=0,则2.l=o,故A选项的命题为其：

对于从x2+x+l=（乂总）2卷〉0，即不存在xWR,使Phr+1=。，故8选项的命题为假；

对于C,正整数2就是偶数，故C选项的命题为真；

对于有理数。没有倒数，故。选项的命题为真.

故选：B.

【点评】本题考查了命题真假的判断，是基础题.

（多选）19.（2022秋•江宁区期中）若xVO”为真命题，「底M,七23”为假命题，则集合M可

以是（）

A.（一，1）B.[-1,3]C.[0,2）D.（-3,3）

【分析】由已知结合含由量词的命题的真假关系可求.

【解答】解：由题意也CM,xVO且垣隹M,xV3都为真命题，

结合选项可知，符合题意.

故选：AD.

【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题.

20.（2022秋•射阳县期末）若命题“3x€（0,3）,x--2<0"为真命题，则实数。可取的最小整数

x

值是（）

A.-1B.0C.ID.3

【分析】由题意可得只需(A2-2x)min,xG(0,3)即可，再由二次函数的性质求出/(、)=？-2r,

A€(0,3)的最小值即可得。的取值范围，从而得答案.

【解答】解：因为三x€(0,3),x』"-2<0为真命题，

X

所以土隹(0,3),2A•为真命题，

只需“2(*2-2x)mimxe(0,3)即可，

由二次函数的性质的可知f(x)=r-2x,xe(0,3)的最小值为/(I)=7,

所以“2-1,

所以“可取的最小整数值是-1.

故选:A.

【点评】本题主要考查存在量词命题，考查命题真假的判断与应用，考查运算求解能力，属于中档题.

21.12022秋•沐阳县期中)命题p：”工隹[2,3],3x-a>Qn,若命题"是假命题,则。的最小值为()

A.2B.3C.6D.9

【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的转换和真命题的判定，求出〃的取值范围.

【解答】解：命题":"3x6(2,3],3x-a>Q,\则命题的否定为：“必隹[2,3],3…W0”,由于命题p

是假命题，故」〃为真命题；

故“2(3x)max=9,

即a的最小值为9.

故选：。.

【点评】本题考查的知识要点：存在性问题和恒成立问题的转换，真命题的判定，不等式的性质，主要

考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

四.全称命题的否定(共4小题)

22.(2023春•丹阳市校级月考•)命题“V.诧R,f+x-1W0”的否定是()

A.BxER,f+x-IWOB.BxER,^+x-1>0

C.VA-GR,AT+x-l>0D.BAER,.r+x-IX)

【分析】将全称改成特称，并对命题否定即可.

【解答】解：命题“Vx6R,f+x-IWO”的否定是AWR,»+%-l>0.

故选：B.

【点评】木题考查全称命题的否定，属于基础题.

23.（2022秋•淮安期末）命题“VxWR,都有cosxW1”的否定为（）

A.3x6R,使得cosxWlB.SxER,使得cosx>l

C.V.VGR.都有cosxW-1D.V.rER.都有COSX>1

【分析】含有全称命题的否定，需将全称改为特称，并且对结论否定.

【解答】解：“Vx€R,都有cosxWl”的否定为：3AGR,使得COSA>I.

故选：B.

【点评】本题考杳含有全称命题的否定，属于基础题.

24.（2022秋•大丰区校级期末）命题“V<>0,』+£>0”的否定是（）

A.3x>0,?+x>0B.Bx>0,f+xWO

C.V.r>0,f+xW0D.VxWO,『+x>0

【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解.

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为勤>0,7+xW0,

故选：B.

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属基础题.

25.（2022秋•徐州期末）命题“Vx>0,/>0”的否定是（）

A.V.v>0,/<0B.V.v>0,

2<D-3x>0,x2<0

C.3x°〉0,XQC000

【分析】利用全称命题的否定是特称命题进行否定即可.

【解答］解：根据全称命题的否定是特称命题得命题“Vx>0,f>0”的否定是：3.vo>0,XO2^O.

故选：D.

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的

否定是特称命题，比较基础.

五.特称命题的否定（共4小题）

26.（2022秋•建邺区校级期末）命题TGI,W・2V0”的否定是VG1,f-220.

【分析】含有特称量词命题的否定需将特称改成全称，并对命题进行否定.

【解答】解：命题021,?-2<0"的否定是：-21,W-220.

故答案为：V,v>Lf-220.

【点评】本题考查含有特称量词命题的否定，属T基础题.

27.（2022秋•沛县校级期末）命题“打W（-2,+8）,f24”的否定是Vx€（-2,+8）,.

【分析】特称命题的否定，是将特称改成全称，同时对命即做否定.

【解答】解：命题u3x6（-2,+°°）,的否定是Vx€（-2,+8）,-V4.

故答案为：Vxe（-2,+8）,?<4.

【点评】本题考查特称命题的否定，属于基础题.

28.（2022秋•宿迁期末）命题“M>。，/-ax+>>0”的否定是（〉

A.3x>0,B.MWO,x2-ax+b>0

C.V人WO,人2-c〃+〃WOD.VA>0»A~-W+〃W0

【分析1根据特称命题与全称命题的否定关系即可求解.

【解答】解：因为命题4<9.r>0,£・奴+力>0”为特称命题，

其否定为全称命题，即为：V.r>0,/-ax+OWO,

故选：D.

【点评】本题考查了特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题.

29.（2022秋•南通期木）命题p：“孔WR,X+2W0”的否定是（）

A.V.xER,A+2<0B.3A-6R,A+2^0C.VXGR,X+2>0D.3X6R.X+2>0

【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可.

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题p：3.rGR,X+2W0,则命题”的否定是：VA-GR,A+2>0.

故选：C.

【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，1T

基础题.

六.四种命题（共3小题）

30.（2019秋•南京期中）命题“若/-x'O,则x>2”的否命题是若/-xVO,则xW2.

【分析】根据四种命题之间的关系即可求出.

【解答】解：若f-xVO,则xW2,

故答案为：若f-xVO,则xW2

【点评】小题考查了四种命题，属于基础题.

31.（2019春•扬州期末）命题“若x>0,则f>0”的否命题为“若xWO,则/W0”.

【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案.

【解答】解：命题“若£>0,则『>0”的否命题为“若xWO,则/WO”，

故答案为：“若xWO,则/WO”.

【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题.

32.(2022•广陵区校级开学)命题“m.正R,ad-2ar+3W0恒成立”是低命题，则实数”的取值范围是口，

32.

【分析】若命题“MWR,or2-2or+3W0恒成立"是假命题，则命题“VxWR,av2-2ar+3>0恒成立”

是真命题，分当。=0时和当“W0时两种情况，求出满足条件的〃的范围，综合讨论结果，可得答案.

【解答】解：若命题“弘eR,心2.冷+3W0恒成立"是假命题，

则命题“VxWR,ad-Zax+BAO恒成立”是真命题，

当。=0时，显然成立：

,fa>0

当aWO时，o?-2at+3>0恒成立须满足《9,

4a-12a<0

解得：0VaV3,

综上所述满足条件的实数a的取值范围是［0,3),

故答案为：［0,3)

【点评】本题考查的知识点是特称命题的否定，不等式恒成立问题，是逻辑与不等式的综合应用，难度

中档.

【过关检测】

一、单选题

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

故选：A

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分性和必要性进行判断

国甲是乙的充分不必要条件

故选:A

【答案】A

考点：全称命题与特称命题

4.命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直''的结论是（）

A.这个四边形的对角线互相平分

B.这个四边形的对角线互相垂直

C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D.这个四边形是平行四边形

【答案】C

【分析】由题意可知：结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

【详解】该命题的条件是“一个四边形是平行四边形"，结论是"这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂

直”.

故选C

【点睛】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以