第03讲空间中点线面位置关系与空间中的平行关系（学生版）

第03讲空间中点、线、面位置关系与空间中的平

行关系（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

证明线面垂直

2023年全国乙卷（理），第19题,12分证明线面平行证明面面垂直

求二面角

2022年新II卷，第20题,12分证明线面平行面面角的向量求法

2022年全国甲卷（文），第19题,12分证明线面平行求组合体的体积

求线面角

2020年全国乙卷（理），第20题,12分证明线面平行

证明面面垂直

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为512分

【备考策略】1.理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面平行•、面面平行的判定及其性质,

需强化巩固复习.

知识讲解

1.常见立体几何的定义、性质及其关系

（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四力形（即侧棱平行且相等）

（2）斜楂柱：侧棱与底面不垂直的棱柱

（3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱

（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱

（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形

2.四个公理与一个定理

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间中点线面的位置关系

点在直线上点不在直线上/•­

点与直线的位置关系

AeaB史。

•B

点在平面上点不在平面上

—

点与面的位置关系

Ac.aBea

------------------a

线与线的位置关系

------------------b

\

平行，allb相交，aC\b=o/，"7异面

______0

///zT________/

线与面的位置关系/

auaa^\a=Aalla

匕_____\_

N__________

面与面的位置关系

平行，allp相交，=a。与6重合

4.空间中的平行关系

（1）线线平行

①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等）

③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行

（2）线面平行的判定定理：

平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行

图形语言符号语言

1------H/b'

1Ua>=>I//a

/b/bua

（3）线面平行的性质定理

若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行

图形语言符号语言

IIIa

^7lu/3

aC\fi=b

（4）面面平行的判定定理

判定定理L一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行

图形语言符号语言

alla

b///3

aC\b=A

aua,bua

判定定理九一个平面内有两条相交直线分别弓F另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行

图形语言符号语言

alln

b//m

a^\b=Ana〃£

in[\n=B

a,bua

m、nu。

（5）面面平行的性质定理

性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行

考点一、空间中点线面的位置关系

1.（2023•湖北武汉•统考三模）已知不重合的平面。，夕及不重合的直线〃7,〃，则（）.

A.若机〃a,a〃/，则小〃

B.若川_L〃，mLa,〃<1>夕，则aJ_

C.若〃?〃〃，m//af"〃夕,则。〃户

D.若〃?〃a,a//p,nu。,则/〃〃〃

2.（2023•重庆•统考模拟预测）已知/,〃?，〃表示不同的直线，a,fl,7表示不同的平面，则下列四个命

题正确的是（）

A.若/〃a,且〃?〃a,则/_!_加B.若a-L4，mlfa♦n1fl,贝lj用〃〃

C.若加///,且相_La,则/_1_1D.若/〃_L〃，mA.atn//0,则a_1■尸

A.若mJLa,m1fi,nlat则〃J./7.

B.若，〃与〃异面，11mJ1n,则存在a,使得/_La,〃?//a,〃//a.

C.若八y,0s0=1,则/_Ly.

D.若m〃a,〃〃夕,a_L/,则〃?_L〃.

4.（2023•福建泉州•校联考模拟预测）如图，点片,B,C,历，/V为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列

5.（多选）（2021•全国•统考高考真题）如图，在正方体中，。为底面的中心，夕为所在棱的中点，"，N为

正方体的顶点.则满足的是（）

考点二、空间中线面平行的判定定理

1.（2022•全国•统考高考真题）如图，PO是三棱锥尸-48C的高，P4=PB,AB1AC.E是08的中点.

⑴证明：OE"平面4C：

（2）若480=NC80=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-4E—8的正弦值.

2.（2023天津•统考高考真题）三棱台48C-451G中，若44上面NBC,）814cM8=/1C=44产2,4g=l,

",N分别是8C84中点.

⑴求证：/百〃平面GA〃；

⑵求平面GM4与平面力CG4所成夹角的余弦值：

⑶求点C到平面GM4的距离.

3.（2023•浙江•校联考三模）如图，三棱台44G中，4G=4,AC=6f。为线段4C上靠近。的

三等分点.

⑴线段8c上是否存在点E,使得〃平面CQE,若不存在，请说明理由；若存在，请求出R假F的值：

⑵若44=四=4,/44C=/B4C=W，点4到平面/8C的距离为3,且点4在底面48C的射影落在

“8C内部，求直线片。与平面/CG4所成角的正弦值.

4.（2023・湖南永州•统考一模）如图所示，在四棱锥夕-48CQ中，底面力8c。为矩形，侧面24。为正三角

形，月.4）=248=4,〃、N分别为刊）、8c的中点，H在线段尸。上，且PC=3尸H.

⑴求证：MV〃平面尸43：

⑵当AM1PC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值.

1.（2023•重庆九龙坡•重庆市育才中学校考模拟预测）如图所示，在三棱柱48/-。CE中，点G、M分别

是线段力。、8尸的中点.

⑴求证：4W//平面8EG；

（2）若三棱柱/M-OCE的侧面力8c。和彳。防都是边长为2的正方形，平面”CO1平面力。£尸，求二面

角E-8G-尸的余弦值；

2.（2023•广东佛山•校考模拟预测）如图，在四棱锥P-49CZ）中，底面49co为正方形，平面尸//?_L平面

ABCD,,PA-PD,E,b分别为AC,P。的中点.

⑴求证：EF〃平面PAB；

（2）^PDA.EF,求二面角F-8E-4的余弦值.

3.（2023•山东泰安・统考模拟预测）四棱锥S-4以笫中，底面ABC。为矩形，AD=6,SA=2,NS4B=60：

Z.SAD=45,平面S/1Q与平面55c的交线为/.

⑴求证：直线/平行于平面45CO；

⑵求二面角D—SA—B的余弦值.

4.（2023•湖北武汉•统考二模）如图，在边长为4的正三角形44C中，£,尸分别为边/WIC的中点.将△AE产

沿才翻折至△4针，得到四棱锥4-七尸。5,尸为4。的中点.

（1）证明：FP〃平面4BE；

（2）若平面A.EF1平面EFCB，求直线A}F与平面BFP所成的角的正弦值.

考点三、空间中线面平行的性质定理

1.（2023•福建福州•福州四中校考模拟预测）如图，在直三棱柱力8C-44C中，ACLBC,AC=2,且

8C=CG=1,点。在线段8G（含端点）上运动，设2=正.

⑴当平面4c。时，求实数7的值；

（2）当平面4co1平面4G。时，求平面48与平面力844的夹角的正弦值.

2.（2023・河南•校联考模拟预测）如图，在矩形中，点E在边C。上，且满足力。=QE=2,CE=1,

将'ZOE沿力上向上翻折，使点。到点2的位置，构成四棱锥P-48CE.

⑴若点F在线段，俨上，旦后月〃平面尸庆7,试确定点F的位置；

Q）若PB=出,求四棱锥P-44CE的体积.

3.（2023•广东广州•统考模拟预测）已知四棱锥的底面"CQ是棱长为2的菱形，/切。=60。，

PD=E若且尸。与平面48c。所成的角为45。，E为4。的中点，点/在线段p力上,

目.PC//平面BEF.

⑴求去

（2）求平面PBE与平面BEF夹角的余弦值.

4.（2023•江西鹰潭•贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，三棱卷产-48C中，底面48C与侧面43尸是全

等三角形，侧面心。是正三角形，AB=3,BC=4,AC=5,D,E,F,G分别是所在棱的中点，平面

ADE与平面CFG相交于直线MN.

⑴求证：MNMPB；

⑵求点。到平面ADE的距离.

1.（2023・北京•统考模拟预测）如图，在三棱柱48。-44G中，4平面4以dAB=AC=A4=1,M

为线段4G上一点，平面ACM交棱4用于点”.

⑴求证：FMHBC;

（2）若直线力4与平面8CM所成角为工，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点4到

4

平而4cM的距离.

条件①：AB1AC,

条件②：BC=41.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第-个解答计分.

2.（2023・陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体ABCOEFG中，四边形力8CD是菱形，

AF//DE//CG,力/_1_平面力8cND/B=6（T,，为CO的中点，4H〃平面BGEF.

⑴求受；

CO

⑵若AF=AB=2,求直线BH与平面BGEF所成角的正弦值.

3.：2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）如图，在直三棱柱/8C-48c中，AB1AC,AB=AC=1,4A=6,

点M”分别是CC；,8c的中点，点夕是线段上一点，且PN〃平面叫第7.

⑴求证：点P是线段44的中点;

（2）求二面角P-MN-B.的余弦值.

4.（2023・河南嚷城高中校联考三模）如图，在正四棱台48。。-44。口中，AB=2AiBi,%4=6，M,

N为棱8C，G。的中点，棱AB上存在一息E,使得同£〃平面AMV/X

⑴求箓

⑵当正四棱台48C。-44GA的体积最大时，证明：CC，平面&MVQ.

考点四、空间中面面平行的判定定理

1.（2023・河南•校联考二模）如图所示，正六棱柱居的底面边长为1,高为

（1）证明：平面/阿〃平面48C；

⑵求平面与平面4BC间的距离.

2.（2023•山东潍坊•统考模拟预测）如图，线段44是圆柱OQ的母线，是圆柱下底面G0的内接正

三角形，AAi=AB=3.

⑴劣弧前上是否存在点。，使得平面4/8?若存在，求出劣弧砺的长度；若不存在，请说明理

由.

⑵求平面c“q和平面加4所成角的正弦值.

3.（2023・河北•统考模拟预测）在圆柱。。2中，等腰梯形48co为底面圆a的内接四边形，且

AD=DC=BC=\,矩形44”上是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线，CG=1.

⑴求证：平面。CG//平面ADE；

⑵设方=4瓦，义£[0』],试确定义的值，使得直线力。与平面/8G所成角的正弦值为粤.

1.（2023・海南海口•校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱.4BCO-486A与正四棱锥Q-48CQ组合

而成，4G与片。交于点O1,PA=5,AA[=4,P0]=8.

（1）证明：平面尸a?”平面4a。：

（2）求平面PAD与平面O、AB夹角的余弦值.

2.（2023・宁夏银川・银川一中校考三模）如图，矩形力4CQ所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，EP=瓜

BP=2,AD=AE=\,AEtEP,AEUBP,G,b分别是E尸，0c的中点，H是4B边上一动点、.

⑴是否存在点〃使得平面G"/〃平面尸C8,若存在，请指出点〃的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

⑵求多面体力5co恰的体积.

3.（2023・湖北•校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ER7”中，点M是正方体的中心，将

四棱锥M-BCGF绕直线CG逆时针旋转a（0va<Jr）后，得到四楂锥M=B'CGF'.

（1）若a=],求证：平面MCG〃平面MB户

⑵是否存在使得直线A/k_L平面历8C?若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由.

考点五、空间中面面平行的性质定理

1.（2023•四川南充•模拟预测）如图所示，在圆锥QO中，。为圆锥的顶点，。为底面圆圆心，48是圆。的

直径，。为底面圆周上一点，四边形AODfi1是矩形.

⑴若点尸是8C的中点，求证：“〃平面力CE；

（2）若48=2,NA4C=N4Cf=m，求三棱锥力—CZ）E的体积.

2.（2023•云南曲靖•校考三模）如图，在多面体力BCDfFG中，已知4QGC是正方形，GDHEF,GFHBC,FG1

平面4OGC,M,N分别是的中点，^BC=EF=-CG=-FG.

22

⑴求证：〃平面力产G；

（2）求直线A4N与平面“EF所成角的正弦值.

3.：2023•山东烟台・统考三模）如图，在"8c中，乙48c=90。,8c=2,△4。8=60。,£为/8中点，过点E作

即垂直4C于。，将V/iOE沿EO翻折，使得面力。/?1/面8cOE,点M是棱力C上一点，且8M//面/QE.

⑴求染的值；

⑵求二面角M-BE-C的余弦值.

1.（2023•全国•模拟预测）如图，在多面体力BCD"/5中，四边形48CO是菱形，且有/。力8=60。，=1,

PR=2,PH1ABCD,PR"DM.

⑴求证：力〃//平面P4C；

（2）求平面AMP与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

2.（2023・河南•校联考二模）如图所示，正六楂柱/出。44ao£低的底面边长为1,高为百，P为

线段。£上的动点.

⑴求证：月尸〃平面48C；

（2）设直线AP与平面所成的角为，，求sin0的取值范围.

3.（2023•浙江•校联考三模）如图，三棱台力8C-44G中，=4,JC=6,。为线段4C上靠近。的

三等分点.

RF

⑴线段8c上是否存在点E,使得//〃平面GOE,若不存在，请说明理由：若存在，请求出黑的值：

（2）若44=四=4,ZA.AC=ZBAC=^点4到平面/8C的距离为3,且点4在底面力8c的射影落在

△48C内部，求直线用。与平面ACC,A,所成角的正弦值.

【基础过关】

一、单选题

1.（2023・河南•校联考二模）已知两条不同的直线/,〃1,两个不同的平面。，B，则下列命题正确的是（）

A.若a_L/?,/±a,"?_!_/?,贝B.若aH0,Ufa,mlip,则〃

C.若aHp、m】a、l1。,则〃D.若a_l_夕，/La,w/Ip,则/_!.〃？

2.（2023・四川宜宾•校考三模）已知空间两不同直线〃?、〃，两不同平面a,ft,下列命题正确的是（）

A.若〃"/a且〃〃a,则〃?〃〃

B.若用1〃且._L〃，则〃/R

C.若用_La且小//£,则a_L6

D.若用不垂直于。，且〃ua,则机不垂直于〃

二、多选题

3.12023•江苏南京•校联考一模）如图，4BCD-44cA是长方体,。是8a的中点，直线4。交平面/8Q

于点M,则下列结论正确的是（）

A.氏%QM四点共面B.4/。,4四点共面

C.4。,。,必四点共面D.4",O三点共线

4.（2023•河北秦皇岛•校联考二模）已知加，〃表示空间内两条不同的直线，则使机〃〃成立的必要不充分条

件是（）

A.存在平面夕，有〃?〃a,〃〃aB.存在平面a,有〃7_La,〃_La

C.存在直线/,有〃?D.存在直线/,有〃?〃/,〃〃/

三、解答题

5.（2023♦安徽蚌埠•统考二模）如图，正方体48co-4与G。的棱长为1,E,厂是线段8Q上的两个动点.

（1）若8/〃平面/1CE,求E/的长度；

——1------

（2）若。£=,求直线与平面4CE所成角的正弦值.

4

6.（2023•江西南昌・统考一模）已知直棱柱48。。一44。|〃的底面48C。为菱形，且18=4）=80=2,

AA=V3,点E为8Q的中点.

（1）证明：力E//平面8DC］；

⑵求三棱锥E-8QG的体积.

7.（2023•浙江・统考模拟预测）己知四棱锥P—.4BC。中，R1_L立面力BCD,AB1ADyAD//BC,

AB=AD=2BC=2tE为PD中点.

⑴求证：CE//平面以8；

⑵设平面£4。与平面D4C的夹角为45。，求三棱锥E-4CO的体积.

8.（2023•福建宇德•福鼎市第一中学校考模拟预测）在四棱锥P-44co中，底面44CQ是矩形，£尸分别

是棱AC,。的中点.

（1）证明：C/〃平面尸4E；

⑵若4_L平面48cO,且48=1,AD=AP=2,求二面角力一夕£一8的余弦值.

9.（2023・河南・统考三模）如图，四棱锥尸-/BCD中，四边形48CQ为梯形，ABHCD,AD1AB,

AB=PA=2DC=4,PB=2AD=4五,PD=2瓜，M,N分别是PO,P8的中点.

⑴求证：直线MN〃平面力BCD；

⑵求证：PA1MN.

10.（2023・全国•校联考模拟预测）如图，在多面体MCOEb中，四边形为正方形，平面.48。人平面

ABEF,AD"BC,AD1DC,4D=3DC=3BC=3,P是棱DF上的一点.

⑴是否存在点人使得尸C〃平面他所？若存在，则求出器的值；若不存尸在，请说明理由；

⑵求多面体ABCDEF的体积.

【能力提升】

一、单选题

1.（2023・陕西•西安巾西光中学校联考一模）在空间中，a,尸表示平面，制表示直线，已知。口尸=/,则

下列命题正确的是（）

A.若旭/〃，则机与。，夕都平行B.若阳与用都平行，则“?〃/

C.若加与/异面，则〃，与。，都相交D.若机与a,夕都相交，则〃，与/异面

2.（2023•全国•模拟预测）已知。，?是两个不同的平面，加，人是两条不同的直线，若〃?〃a,aCl夕=〃，

则“〃7〃夕”是，〃〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023•江西鹰潭•统考一模）如图，4BCD-4BCQ］为正方体,下列错误的是（）

A.BD〃平面CBRB.平面力QC；J■平面C3Q.

C.。。与力G共面D.异面直线4。与NG所成的角为90度

4.（2023•四川成都•校考模拟预测）如图，在已知直四棱柱力次力-44GA中，四边形/BCD为平行四边

形，瓦分别是BC,叫，力⑷，侧的中点，以下说法错误的是（）

A.若8C=1,AA}=V2,则。尸.8G

B.MN//CD

C.MN〃平面CQE

D.若＜B=BC,则平面44GC_L平面48。

二、解答题

5.（2023・重庆♦统考模拟预测）在多面体XBCC/M中，四边形是边长为4的正方形，力8148,

△工刀。是正三角形.

⑴若4为的中点,求证：直线4c〃平面45G；

（2）若点4在棱44上且AA}=244，求点c到平面4g的距离.

6.（2023・安徽安庆•安庆一-中校考三模）如图,四棱锥P-A8CZ）中,4_L底面力BCD,力。〃8C.V为P8的中

点.

⑴若点M在AD上,1AM=M。,AD=28c，证明:MN//平面PCD;

4

（2）若PA=4,4B=4C=AD=5,AC=6,求二面角。一一N的余弦值.

7.（2023•河北衡水•河北衡水中学校考一模）如图所示，4民。,。四点共面，其中NH4O=/4）C=9（r，

48=1力。，点P,。在平面/8CZ）的同侧，且21_L平面48CO,C0_L平面力8CQ.

⑴若直线/u平面214,求证：〃/平面C。。：

（2）若P0//4C,乙4BP=NDAC=45°，平面8P0I平面C。。=用，求锐二面角4一切一。的余弦值.

8.（2023•山东潍坊•三模）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，4c为底面直径，△48。为底面

圆。的内接正三角形，且边长为白，点后在母线尸C上，且4£=G,CE=1.

⑴求证：直线PO”平面BQE；

（2）求证：平面5EZ）_L平面440；

⑶若点M为线段P。上的动点.当直线。历与平面月初所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面月8E的

距离.

9.12023•河南•校联考模拟预测）如图，在矩形48CO中，点E在边CD上，且满足4。=OE=、5,CE=立，

2

将V4。笈沿4E向上翻折，便点。到点P的位置，构成四棱锥尸-4?CE.

⑴若点少在线段4P上，且七尸〃平面尸8C,试确定点”的位置；

⑵若尸8=西0，求锐二面角尸-EC-4的大小.

10

10.（2023・湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体力8CQ-44G。中，点P在对角线

84上，ACC\BD=O,平面力CP〃平面4CQ.

⑴求证：O,P,用三点共线；

⑵若四边形/18CO是边长为2的菱形，NBAD=NBAA=NDAA=g44=3,求二面角尸-力8-C大小的

余弦值.

【真题感知】

1.（2020・山东・统考高考真题）己知正方体力5CQ-44G。（如图所示），则下列结论正确的是（）

A.BDJ/A.AB.BDJ/AfiC.1J,CD.8Al4G

2.（湖南•高考真题）如图1,在正四棱柱力"CD44GA中，E,〃分别是力用，"G的中点，则以下结论

中不成立的是（）

A.七厂与84垂直B.EF与BD垂直

C.E/与异面D.“'与异