第3章 §1 12 类比推理

1.2类比推理

i.通过具体实例理解类比推理的意义.（重点）

2.会用类比推理对具体问题作出判断.（难点）

I基础・初探］

教材整理1类比推理

阅读教材P56内容，完成下列问题.

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他

特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推

理.

类比推理是两类事物特征之间的推理.

类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体

的下列性质，你认为比较恰当的是（填序号）.

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等：

②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；

③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.

【解析】正四面体的面（或棱）可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两

面成的二面角（或共顶点的两棱的夹角）可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①

②③都对.

【答案】①②®

教材整理2合情推理

阅读教材P57内容，完成下列问题.

合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确

的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结里的推理方式.

合情推理的结果丕二定正确.

下列说法正确的是（）

A.由合情推理得出的结论一定是正确的

B.合情推理必须有前提有结论

C.合情推理不能猜想

D.合情推理得出的结论不能判断正误

［解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.

【答案】B

I质疑•手记I

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:

疑问1：_________________________________________________________

解惑：___________________________________________________________

疑问2：_________________________________________________________

解惑：___________________________________________________________

［小组合作型］

类型1

》例n在公比为4的等比数列｛儿｝中，若。是数列屹〃｝的前〃项积，则有就,

鲁，青也成等比数列，且公比为4@；类比上述结论，相应地在公差为3的等

差数列｛〃〃｝中，若S〃是｛“,｝的前〃项和.

(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；

(2)写出一个更为一般的结论(不必证明).

【精彩点拨】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有

关性质.

【自主解答】(I)数列S20—S10,S3。-S20,S40—也是等差数列，且公差

为300.该结论是正确的.

证明如下：

;等差数列｛。〃｝的公差"=3,

S30—S20)—(S20—S10)

=(。21+。22T------卜〃30)-2T----------卜020)

=10d+l0d+…+10#=1004=300,

同理可得:

(540—530)—($30—520)=300,

所以数列S20—SI0,530-520,540—S3。是等差数列，且公差为300.

(2)对于任意左£N+,都有数列S2人「ShS3k-S2kfS”一S3t是等差数列，且公

差为Ed.

1.本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的

类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.

2.类比推理的思维过程

观察、比较一联想、类推一猜测新的结论.

即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类

事物在其他方面的相同或相似之处.

［再练一题］

1.设等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S”则S4,S8—512-$8,S16—S12成等

差数列.类比以上结论有：设等比数列｛d｝的前〃项积为〃，则。，,

，赤成等比数列.

【解析】等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可

则14f段而亢成等比数

得类比结论为：设等比数列（d｝的前〃项积为Tn,

列.

【答案】S窄

||去佬关类比推理在几何中的应用

类型2

》例国如图3-1-10所不，在平面上，设九”/次儿分别是△A8C三条边上

的高，P为8c内任意一点，P到相应三边的距离分别为外，以，A，可以得

到结脸+券+笊=1.【导学号：67720193］

图3-1-10

证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.

【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边

上的高类比四面体以某一面为底面的高.

5c《

/)a21S^PBC

【自主解答】

%1力6.SA48c

2BCha

pbS&PACPCSGPAB

同理,

hbS^ABC"h<S^ABC

=

S,\PBC^~S^PAc+S^PA3S/\ABCt

・囱4辿4匹S"Bc+S△用c+S&PAB

,ahahbheSMBC

类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体48C。中，设儿，hb,%,

自分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相

应四个面的距离分别为必，ph,pc,pd,可以得到结论华琮+黄+岩=1-

~^S^,BCD'P(i..

证明如下:Pa5VP-BCD

ha1c.VA-HCD"

b

日WP^P-ACDPcVP-ABDPdVP-ABC

°'hbVA-BCD"hc~~VA-BCD"hdVA-RCD

Vp-BCD^-Vp-ACD~^Vp-ABD^-Vp-ABC=VA-BCD,

・@+辿+也+四

9hahbhehd

VABCD+V7MCD+VPABO+VTMBC

VABCD

1.一般地，平面图形与空间图形类比如下:

平面图形点线边长面积线线角三角形

空间图形线面面积体积二面角四面体

2.类比推理的一般步骤：

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性：

(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.

［再练一题］

2.在上例中，若4A8c的边长分别为a,b,c,其对角分别为A,B,C,

那么由a=bcosC4-c-cosB可类比四面体的什么性质？

【解】在如图所示的四面体中，Si,S2,S3,S分别表示△以&APBC,

△PCA,△A8C的面积，

Q,6,7依次表示平面B4以平面PBC,平面pa与底面ABC所成二面角

的大小.

猜想5=Sicosa+5z-cos“+Ss-cosy.

［探究共研型］

类比推理在其他问题中的应用

探究1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯

子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似,

“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？

【提示】类比推理.

探究2已知以下过程可以求1+2+3+…+〃的和.因为5+1)2一序=2〃

+1,

—1)2=25—1)+1,

22-12=2X1+1,

有(〃+1)2—1=2(1+2+…+〃)+〃,

//+2〃一〃

所以1+2+3+…+〃=

2

类比以上过程试求12+22+3?+…+/的和.

【提示】因为5+I»—〃3=3序+3〃+1,

/一(〃一1)3=3(〃一])2+3(〃-1)+1,

23—13=3X12+3X1+1,

有5+1)3—1=3(12+2?+…+”2)+3(]+2+3+・・・+〃)+〃,

所以l2+22d------\-tr

1(°，3斤+5〃12/?3+3/r+n

=M+3/+3L尸6

〃(〃+1)(2〃+1)

=6

》例国已知椭圆具有性质：若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点，

点P是椭圆上任意一点，当直线PM,PN的斜率"w,"v都存在时，那么"“

与履z之积是与点户的位置无关的定值，试写出双曲线、一忘=1(。＞0,后0)具有

类似特征的性质，并加以证明.

【精彩点拨】双曲线与椭圆类比一椭圆中的结论

双曲线中的相应结论一理论证明

J,2

【自主解答】类似性质：若M,N为双曲线，一方=比＞0)上关于原

点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM,PN的斜隼kpM,kPN

都存在时，那么加W与&PN之积是与点户的位置无关的定值.

证明如下：设点M,P的坐标分别为(〃?，〃)，(x,V),则

N(­/nf—〃).因为点A/(m,〃)是双曲线上的点，

及/

所以ir=U"尸一〃•同理J2=^2^2-b2,

2

rtl,,y-nv+拉v——-〃ff

则如w"v=x_〃1K7=x2_〃22=/・/T正=手(定值)•

1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.

2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征.然

后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.

［再练一题］

3.如图3-1-11所示，椭圆中心在坐标原点，尸为左焦点，当崩_L筋时，其

离心率为夸匚，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出

“黄金双曲线”的离心率0等于.

图3-1-11

【解析】如图所示，设双曲线方程为，一，=1(6>0,">0),

则R—c,0),8(0,b),4(a,0),

所以旗=(c,b),AB={—a,b).

又因为丽_14瓦

所以丽•检=〃一。。=0,

所以，一层一〃。=。，所以/—e—1=(),

...］+小-I一木.,

所以e=2或e=2(舍去)♦

…1+小

【答案】

［构建•体系］

1.下面使用类比推理恰当的是()

A.“若〃・3="3,则。二沙”类比推出“若。0=4)，则。=/?”

B.”(a+Z?)c=〃c'+Z?c"类比推出“(5b)c=acbc”

C.”（a+b）c=ac+儿”类比推出“山=?+gcWO）”

D."（（山）"=。必”类比推出“3+b）〃=a〃+b〃”

【解析】由实数运算的知识易得C项正确.

【答案】C

2.已知扇形的弧长为/,半径为八类比三角形的面积公式S=W史可

知扇形面积公式为（）

I2Z2

A.yB.—

]r

C，2D.无法确定

【解析】扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此

If

可得扇形面积公式s=：

【答案】C

3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,

类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为

【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在

空间中体积之比与榜长之比成立方关系，故若两个正四面体的校长的比为1：2.

则它们的体积之比为1:8.

【答案】1：8

4.已知｛儿｝为等比数列，/乃=2,则一历历…69=29.若｛小｝为等差数列,45

=2,则｛〃“｝的类似结论为.

【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中"治加…庆=29可得，在