第21讲 相似三角形及其应用（练习）（原卷版）-2025年中考数学一轮复习

第21讲相似三角形及其应用

录

型

题

01添加条件使两个三角形相似

型

题

02证明两个三角形相似

型

题

03确定相似三角形的对数

型

题

04在网格中判断相似三角形

型

题

05利用相似的性质求解

型

题

06利用相似的性质求点的坐标

型

题

07在网格中画与已知三角形相似的三角形

型

题

08证明三角形的对•应线段成比例

型

题

09利用相似三角形的性质求解决折叠问题

型

题

10利用相似三角形的性质判断函数图象

型

题

11尺规作图与相似三角形综合应用

型

题

12三角板与相似三角形综合应用

型

题

13平移与相似三角形综合应用

型

题

14利用相似三角形的性质与判定求线段比值

型

题

15利用相似三角形的性质与判定求最值

型

题

16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题

型

题利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题

型17

题字模型

型18A

题

198字模型

型

题一线三垂直模型

型20

题

型21三角形内接矩形模型

题

型22旋转相似模型

题

23相似三角形的应用

题型过关练

题型01添加条件使两个三角形相似

I.（2022•陕西宝鸡・统考二模）如图，己知△{8c与△40E中，zC=^AED=90°,点石在/W上，那么添

加F列一个条件后，仍然不用判定△ABC与△4。"相似的是（）

C__________W

B

A.ACAB=ZDB.>=.C.4DUBCD.冷华

2.（2023・广东广州・统考一模）已知：如图，点。在边48上，若乙1=4____时，贝l」△4。C〜△71CB.

BC

3.（2023•江西抚州•金溪一中校考模拟预测）如图,要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这

个条件可以是____.（写一个即可）

A

BC

题型02证明两个三角形相似

4.（2023•广东广州・广州市第二中学校考二模）如图，在平行四法形ABC。中，点E为8。边上的点（不与

点B,点C重合），连接OE并延长，交力B的延长线于点P.求证：△。。后〜△小吟.

5.（2023•湖北武汉・统考二模）如图，在中，40平分乙B4C,点E在/1C上，Rz.EAD=LADE.

⑴求证：xDCEs&BCA；

（2）若AB=6,AC=8,求器的值.

6.（2023•浙江宁波•校考三模）如图，在四边形4BCD中，AB\\CDtLB=90°,AB=4,CD=2,BC=

m,P为线段8。上一动点，且和B、C不重合，连接P4过〜作PE_L/M交CO所在直线于E.

（1）请找出一对相似三角形，并说明理由；

（2）若点P在线段8c上运动时，点E总在线段CO上，求〃?的取值范围.

11.（2（）23•辽宁抚顺・统考三模）如图，在正方形网格中：①△CE8；②△CD8；③△DE8；这3个斜三角

形中，能与△/1BC相似的是.（点力、B、C、0、E均在格点上）

12.（2017・天津和平•统考二模）如图，在正方形网格上有6个三角形：①aABC,@ACDB,③ADEB,

@AFBG,⑤△HGF,@AEKF.在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是.

题型05利用相似的性质求解

13.（2023・贵州贵阳・统考一模）妇图，AABC〜ADEF,若4B=2,DE=3,则BC:的值等于（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.4：9

14.(2023•江西南昌•统考一模)如图,ADEF的顶点D,E在△ABC的边BC上,EF\\AC,DF\\AB,若乙F=

55°,则乙4=()

B

A

A.45°B.55°C.60°D.65°

15.（2023四川成都统考一模）若4ABC-4DEF,且需=右若的周长为2,则△OEF的周长为

)

A£

B.TC.6D.18

.9

16.（2023•甘肃张掖•校联考一模）己知△/IBCs/kOE凡相似比为2,且△48。的面积为12,则△DEF的

面积为.

题型06利用相似的性质求点的坐标

17.（2022・广东汕头•林百欣中学校考一模）如图，矩形A4CO的顶点从C分别在x轴，了轴上，OB=4,

OC=3,A8=10,将矩形A8CO绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2021次旋转结束时，点A的坐

A.(10,8)B.(8,-10)C.(-10,8)D.(一8,10)

IX.（2023.湖南邵阳.统考一模）卢平面直角坐标系内，一束光线从点P（4,4）射向X轴卜的点M.经r轴反

射后反射光线经过点Q（0,2）,则点M的坐标为.

19.（2023・浙江绍兴・统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形480C的边。氏OC分别在大轴、y轴的

正半轴上，点A的坐标为（8,6）,点P在矩形480C的内部，点E在B。边上，且满足△PBEC8。，当

△/1PC是等腰三角形时，点P的坐标为.

OBX

20.（2022•江苏南京♦统考二模）如图，在平面直角坐标系中，AAOB是等边三角形，点B在上轴上，C,

。分别是边4。，48上的点，且CD〃OB,OC=2AC,若CO=2,则点4的坐标是.

21.（2023・上海长宁・统考一模）如图，在平面直角坐标系％Oy中，4（1,0）,8（0,2）,点C为图示中正方形网

格交点之一（点。除外），如果以4、B、C为顶点的三角形与△。48相似，那么点C的坐标是.

题型07在网格中画与已知三角形相似的三角形

22.（2021•浙江宁波・统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是I,是格点三角形（顶

点在方格顶点处）.

（I）在图1中画出一个格点△4/16，使得A&BICI与△/BC相似，周长之比为2：I；

（2）在图2中画出一个格点△力24。2，使得△々々Q与△RBC相似，面积之比为2：1.

23.（2022.湖北武汉•校联考二模）如图是由小正方形组成的8x7网格，每个小正方形的顶点叫做格点,

△48C的三个顶点都是格点,边AC上的。也是一个格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画

图过程用虚线表示.

（1）在图（1）中，先将线段C/3绕点。顺时针旋转90。，画出对应线段CE,再在CE上画点F,使

△BCFSABDA；

（2）在图（2）中，先在边AB上画点G,使。G〃8C,再在边BC上画点H,使A”十。"值最小.

24.（2020.新疆・三模）如图1,在6x6的方格纸中，有格点△4BC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）

（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△4BC相似（不全等），且相似比为有理数；

（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数.

图1图2图3

题型08证明三角形的对应线段成比例

25.（2023・广东惠州•统考二模）如图，把矩形718co沿力。折叠，使点。与点£重合，AE交BC于点F,过

点E作EGIICD交AC于点G,交CF于点H,连接DG.

⑴成判断四边形ECOG的形状，并加以证明;

(2)连接E0交/C于点。，求证：0。2=。。・4。：

(3)在(2)的条件下，若DG=6,4G=?,求CG的值.

26.(2023・广东珠海・珠海市紫荆中学校考三模)操作与研究：如图，aABC被平行于CD的光线照射,

于。，在投影面上.

图2

(1)指出图中线段力C的投影是，线段BC的投影是

(2)问题情景：如图1,RtZkABC中，乙4c8=90。，CDLAB,我们可以利用△ABC与△AC。相似证明

AC2=ADXAB,这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.

(3)拓展运用如图2,正方形4BCD的边长为15,点。是对角线AC、BD的交点，点E在C。上，过点C作

CF1BE,垂足为尸，连接。鼻

①试利用射影定理证明△BOF-△BED；

②若OE=CE,求。尸的长.

27.(2022.海南海口海口市第九中学校考二模)如图①，在菱形/BCD中，乙4=60。，8。是对角线，点

E、F分别是48、4。上两个动点：不与端点重合)，且4F=8E,BF与DE交于前G.

⑴求证：AAED三ADFB；

(2)如图②，连接CG,若CG1BD于点H,求证：EF2=GH•HC；

(3)若力尸二九?。，试探究8尸与G尸的数量关系，并证明.

题型09利用相似三角形的性质求解决折叠问题

28.(2023•江苏泰州•校考三模)妇图，已知RtA3BC中,々=90。,4c=6,48=9,七是48上的一点,

8E=5,点Z)是线段8C上的一个动点，沿力。折叠△ACO,点C与C'重合，连接8C'.

A

⑴求证:△NEC'"△AC'B；

（2）若点尸是BC上一点，且89=、亏，求?C'+：BC'的最小值.

29.（2023•山西吕梁•校联考模拟预测）综合与实践

如图I,在中，ZC=903,BC>AC.

猜想证明：（1）如图1,点。在8C边上4口4c=45。.将△ABC沿所在直线折叠，点C的对应点为

E.试猜想四边形力CCE的形状并加以证明.

实践探究：（2）如图2,拓展小组受此问题启发，将△力BC沿过点C的直线CF折置.点8的对应点为

G.且UG±49于点H.若4。=2x/5,BC=4\/5,求8尸的长.

问题解决：（3）如图3.探究小组突发奇想，将△力8c沿过点A的直线折叠，若乙44M=45。，AC=

4,CM=3,直接写出8M的长.

30.（2023•河南驻马店•驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在边长为6的等边△A8C中，点。在AC

上，月.CD=2,点E在48上（不与点4、B重合），连接DE,把沿DE折叠，当点A的对应点小落在等

边A48C的边上时，的长为.

31.（2023•江西吉安•校考三模）如图，在Rtzk/IBC中，^ACB=90°,44=30。，BC=2,。为力8的中

点,F为线段4cl二的动点，将4）沿过点。的射线DF折叠得到若为8下方的。E与△48C的边垂直，则

AF的长度可能是.

B

D

题型10利用相似三角形的性质判断函数图象

32.（2023・湖南长沙•统考三模）幻图，AB1BC于点B,DC_L2C于点。，点E是线段BC上一个动点，

AELEF于点E,射线Er交射线CD于点F,BC=2AB=8,设8E=%,CF=y,当点E从点8运动到点

33.（2023•广东揭阳•模拟预测）已知：在中，zC=90°,AC=6,8c=8,点E是边AC上一动

点，过点E作EMIBC,交AB边于点F,点、D为BC上任一点,连接DE、DF,设EC的长为，则ADEF的面积

y关于”的函数图象大致为（）.

34.（2021•甘肃•模拟预测）如图，矩形八BC7）中，AB=3,BC=4,动点尸由点A出发，沿的路

径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q,设AQ=/,△APQ的面积为），，则下列图象中，能

表示），与x的函数关系的图象大致是（）

■A1'

题型11尺规作图与相似三角形综合应用

35.（2023・广东深圳•统考二模）在△4BC中，AB=AC=2,乙4=36。.由尺规作图得射线8A1交力C于点

F.则4F的长是

36.（2023・福建厦门•统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点力的坐标为（6,0）,8是y轴上一

（1）B上求作点M,使得△AMOSAAOB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，AB=4AM,OC是a/lOB的中线，过点M的直线交OC于点。，交X轴于点凡当M。二

MF时，求点。的坐标.

37.（2023•福建宁德•统考模拟预测）如图，在△48。中，48=90。，AB>BC.

（1）尺规作图：在4c和力8上分别确定点Q,E的位置，使得△BDE是以80为底边的等腰直角三角形；（保留

作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若Z1B=6,BC=4,求BE的长.

题型12三角板与相似三角形综合应用

38.（2023•河北保定•统考•模拟预测）如图，把两块全等的直角三角板A8C和。EF叠放在一起，使三角板

OEF的锐角顶点。与三角板力BC的斜边中点0重合，。户经过点儿其中=r=90。，H=占=

45。，皿？=。£=4,把三角板力8c固定不动，让三角板OEF绕点0逆时针旋转，旋转角为a.其中0。VaV

90°.设射线。E与射线力B相交于点P,线段DF与线段BC相交于点Q.给出下面三个结论：

®LAPDCDQ；

②4P-CQ的值不变，为8；

③当45。Wa<90。时，设CQ=K两块三角板重叠部分的面积为y=4-合.

其中正确的是（）

A.只有①与②B.只有①与③C.只有②与③D.①②③

39.（2022・广东深圳•校联考二模）一副三角板按如图1放置，图2为简图，。为4B中点，E、产分别是一

个三角板与另一个三角板直角边AC、8C的交点，已知4E=2,CE=5,连接。E,M为BC上一点，且满足

ZCME=2ZADE,EM=.

40.(2023・安徽合肥•校考一模)如图(1),直线L上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角

边长为6cm,较小锐角度数为30度.

图⑴

(1)瘠△ECD沿直线AC翻折到图(2)的位置，ED'与48相交于点F,请证明：AF=FD1

(2)爵△ECD沿直线L向左平移到图(3)的位置，使E点落在力8上，你可以求出平移距离，试试看;

图⑶

(3)洛△ECD绕点C逆时针旋转到图(4)的位置，使E点落在力8上，请求出旋转角的度数.

A

图（4）

41.（2022•河南平顶山•平顶山市第十六中学校考模拟预测）问题发现.【发现】如图①，已知等边4

ABC，将直角三角板的60。角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段48、4C于

点E、F.

（1）若力8=6,AE=4,BD=2,则。尸=；

（2）求证：△EBD^LDCF.

（3）【思考】若将图①中的三角板的顶点。在BC边上移动，保持三角板与边48、4c的两个交点E、尸都存

在，连接EF,如图②所示，问：点。是否存在某一位置，使EO平分4BEf且FD平分NCFE?若存在，求出

器的值；若不存在，请说明理由.

BC

（4）【探索】如图③，在等腰中，AB=AC,点。为8C边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在

点0处（其中NMON=NB）,使两条边分别交边48、AC于点£、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接

E只设乙8=a,则4AEF^i^ABC的周长之比为（用含a的表达式表示）.

题型13平移与相似三角形综合应用

42.（2023・安徽六安•校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形48co的边长为遥，点4在y轴正

半轴上，点8在4轴负半轴上，C、。两点在抛物线y=+bx+c上.

⑴求此抛物线的表达式；

(2)王方形48co沿射线以每秒逐个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到勺点，试判断当点是否

在抛物线上，并说明理由；

⑶王方形48。。沿射线BC平移，得到正方形必为。2。2,4点在％轴正半轴上，求正方形力8co的平移距

离.

43.(2023•吉林K春•东北师大附中校考二模)正方形A3CD与正方形EFG〃的A0边和EF边在宣线MN上，

起始状态如图①所示，点厂与点。重合，点G在C0边上.已知EF=2cm,AB=4cm.正方形EFGH沿

MN方向以2cm/s的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为S(cm2).

图①图②

(1)在正方形EFGH平移过程中，若S=2cm2,求，的值.

(2)在1WtW3这段时间内，求S与t的函数关系式.

(3)当直线BG平分线段4H时，如图②，£=s.

44.(2023・广东东莞・东莞市厚街海月学校校考模拟预测)如图，将丫=-x函数图象向上平移6个单位后,

恰好与y=：(X>0)有唯一公共点B,并交y=V0)于点A,交x轴于点C.

(1)求匕的值.

(2)若求&的值.

题型14利用相似三角形的性质与判定求线段比值

45.(2022.河南安阳.统考一模)兴趣小组探索等腰三角形中线段比值问题，部分探索活动如下:

图1图2图3

(1)如图1,在中，AB=AC,ZABC=60°,。，E分别是8C,AC边上的点，ZAFE=ZABC,则整的

AD

值为.

(2)如图2,在8c中，AB=AC,ZABC=45°,D,£分别是3C,AC边上的点，ZAFE=ZABC,请你猜

想器的值，并给出证明；

AD

如图在中，AB=AC,cosZABC=-,D,分别是边延长线上的点，ZDFB=ZABC,

(3)3,1zE8C,CA

请直接写出喘的值.

AD

46.(2020・江苏扬州・统考二模)定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4:5,那么称这个

三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”.

(1)如图，在△ABC中，AC=8,BC=5,乙4cB=30。，试判断AABC是否是“准黄金”三角形，请说明理

由.

(2)如图，△ABC是“准黄金”三角形，8c是“金底”，把△4BC沿AC翻折得到△DBC,4。交BC的延长

线于点E,若点C恰好是aAB。的重心，求笑的值.

B

(3)如图，，i〃，2，且宜线乙与，2之间的距离为4,“准黄金的“金底”BC在直线%上，点A在直线。

上，暮咚，若NAZJC是钝角，将△/WC绕点C按顺时针方向旋转得到△ABC,线段4c交。于点“当

oC5

点二落在直线。上时•，则线的值为一.

47.(2020•山东东营・统考一模)【问题情境】在△ABC中，BA=BC,NABC=a(0°<a<180°)，点P

为直线8c上一动点(不与点8、C重合)，连接4P,将线段办绕点尸顺时针旋转得到线段尸。旋转角为

a,连接CQ.

【特例分析】(1)当a=90°,点尸在线段BC上时，过尸作尸尸〃AC交直线A8于点F,如图①，易得图

中与△人尸尸全等的一个三角形是—,ZACQ=。.

【拓展探究】(2)当点P在BC延长线上，AB：AC=m：/i0'L如图②，试求线段8P与CQ的比值；

【问题解决】⑶当点P在直线BC上，a=60°,NAPA=30°,6=4时，请直接写出线段CQ的长.

48.(2022•湖北武汉•校考一模)(1)如图1,在心△ABC中，NBAU90。，点。在上，DE上BC交AB

于点、E,证明：BE・BA=B1ABC；

(2)如图2,在RdABC中，N84O90。，ZABC=30°,。是8C上一点，ADLDE,且。连接

BE.AC=5,CD=6,求的长；

(3)拓展探究：在△8CO中，ZBAC=ZAEC=90°,CA平分N6CO,若tan/ABCW，则AG：GE的比值

为一.(直接写出答案)

题型15利用相似三角形的性质与判定求最值

49.(2023上•江苏无锡・九年级校联考阶段练习)在等边三角形48。中，点M、N分别边48、ACt.

(1)如图1,若将等边三角形力BC沿MN翻折，点4恰好落在边BC上的点。处，

①求证：AMBD*DCN；

②若BC=6,CN=2,若设8M=y,DC=x,求y与％的函数关系式及y的最值.

(2)尺规作图：在8C边上求作一点P使2MPN=60。，(不写作法，保留作图痕迹，请在图2中找出所有符合

条件的点P)

(3)若AB=9,BM=5,设CN=*若要使得(2)中只能作出唯一的点P,则a的值应该满足什么条件,

请通过计算说明

50.(2021上.河北保定.九年级校考期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其

他重要应用.

例：已知十可取任何实数，试求二次三项式/+6%-1的最值.

解：/+6x-1=/+2x3•x+3?-3?-1

=(x+3)2-10

•・•无论x取何实数，总有(％+3)220.

A(X+3)2-10>-10,即无论k取何实数，/+6%-1有最小值，是一10.

(1)问题：已知y=-/-4x+7,试求1y的最值.

(2)【知识迁移】在△48C中，4。是8C边上的高，矩形PQMN的顶点尸、N分别在边48、AC上，顶点。、

M在边8。上,

探究一：AD=12,BC=6,求出矩形尸QMN的最大面积的值；（提示：由矩形PQMN我们很容易证明^

APN*ABC,可以设PN=无，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案.）

（3）探究二：AD=h,BC=a,则矩形PQMN面积S的最大值.（用含小人的代数式表示）

题型16利用相似三角形的性质与判定解决动点问题

51.（2023•广东茂名•三模）如图,在RtUBC中,乙4cB=90。，点。在4B上，点E为BC上的动点,将4

8DE1沿DE翻折得到^FDE,EF与AC相交于点G,若AB=3AD,AC=3,BC=6,CG=0.8,则CE的值

52.（2023・广东深圳・深圳市东湖中学校考模拟预测）如图，在反比例函数y=（的图象上有一动点儿连

接人。并延长交图象的另一支于点区，在第二象限内有一点C,满足4c=8。，当点A运动时，点C始终在

53.（2022•陕西西安・西安市铁一中学校考模拟预测）问题背景

在Rt△力BC中，ZC=90°,BC=6,AC=8,点D为边48上一动点，点E为边AC上一动点，沿直线DE

把翻折,得至MADE,

备用图

问题解决

(1)如图1，当A与8重合时，求线段8E的长：

(2)如图2,当AE与边48相交于点尸,且时,连接H8.

①求五边形4DEC8面积的最大值；

②连接CA,则△CAB的周长的最小值为(直接写出答案).

题型17利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题

54.(2023•福建龙岩・统考模拟预测)在平面直角坐标系％”中，已知抛物线y=a/+以+2交汇轴于

(1)求抛物线的函数解析式;

如图为直线上方抛物线上一动点，连接交BC于E,求差的最大值；

(2)1,DBC4D,AE

(3)如图2,连接AC,EC过点。作直线，||BC,点P、。分别为直线，和抛物线上的点.试探究：在第四象

限是否存在这样的点P、Q，使ABOQ〜△4C8.若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

55.(2023•山东荷泽・统考三模)如图，抛物线y=。/+6%+3经过4(一3,0),8(1,0)两点.

图1图2

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3,求点P的坐标；

(3)如图2,。为抛物线的顶点，试说明乙。力3=乙4c5：在线段4)上存在点M,使得以M,A,。为顶点的

三角形与^ABC相似，请直接写出符合条件的点M的坐标；

56.(2023・陕西咸阳・统考二模)如图，抛物线与％轴交于点。和点8,顶点为4(1,1),直线y=x-2经过

点8,且与抛物线交于点C.

⑴求抛物线的函数表达式.

(2)若N为x轴上的一个动点，过点N作MNJLx轴与抛物线交于点M,是否存在以。，M,N为顶点的4

ONM,使得^ONM〜Zi/IBC,若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

题型18A字模型

57.(2023•广东云浮•统考一模)如图，在△ABC中,乙4=36。，AB=AC,以点8为圆心任意长为半径画

弧，分别交力8,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于：MN的长为半径画弧，两弧交于点。,

连接8。，并延长交4c于点ZZ若4B=2,则8的长为()

A

y\

B]NC

A.V5-1B.3-V5C.V5+1D.3+V5

58.（2021•浙江宁波•统考一模）如图,已知=AC=4,CD=2,则BC的长是（）

C

y

A.2B.2V2C.2A/3D.4

题型198字模型

59.（2021•广东广州•统考一模）如图,点E,厂分别为平行四边形48。。的边BC,4。上的点，且CE=

2BE,AF=2DF,AE与BF交于点H,若△BE”的面积为2,则五边形CEHFD的面积是（）

厂

*FD

A.19B.20C.21D.22

60.（2022.河北邢台・校考三模）如图,嘉嘉在作业本上画了个“X”（作业本中的横格线都平行，且相邻两

条横格线间的距离都相等），4B，C,D,。都在横格线上，且线段加+8c交于点0.若48=4cm,则

CD的长为（）

AB

CD

A.5cmB.6cmC.8cmD.12cm

61.（2023・河南周口・校考三模）6图,在边长为5的正方形/BCD中，点E在AO边上，AE=2,CE交BD于

点3则。尸的长为（）

2s0

A.2y/2B.3V2D.

C・胃8

题型20一线三垂直模型

62.（2022河北唐山・校考一模）如图，6为正方形ABC。的边力B的中点,过点E作4GE尸=90。,分别与边

A.4B.6C.8D.10

63.（2023・河南信阳•校考三模）妇图①，已知矩形ABC。，E是BC边上的一个动点，BC=4,AE1EF,

EF交DC于尸，设点E运动的路程为％,CF运动的路程为y,y与％之间的函数关系图象如图②所示，则矩形

4BCD面积为（）

①②

A.8B.6C.12D.I

题型21三角形内接矩形模型

64.（2023・广东广州•统考一模）如图，正方形MNPQ内接于点M、N在BC上，点、P、Q分别在4c和

AB边上，且BC边上的高力D=6,BC=12,则正方形MNPQ的边长为（）

A.6B.5C.4D.3

65.（2022.江苏宿迁.统考一模）如图,在A/IBC中，CH1AB,CH=h,AB=c,若内接正方形OEFG的

的数量关系为（)

11

B.-x+h=cC.h,2=xcDn.-1=-+।-

xhc

题型22旋转相似模型

66.（2023・安徽黄山,校考一模）已知△力BC和AADE均为等腰直角三角形，△4DE绕点A逆时针旋转一周.

（1）如图1,连接3。，CE,则B。与CE的数量关系为:直线3。与•所夹角的度数为.

（2）当△49E旋转至如图2所示的位置时，取8C,0E的中点M,N,连接MN,80.试问：黑的值是否随△

DD

4DE的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由.

（3）W,N分别为8C,DE的中点，连接M/V.若力B=3g,AD=6,当△ADE旋转至B,0,E三点在同一

条直线上时，请宜接写出MN的值.

67.（2023・安徽滁州•统考一模）已知△48C和有公共的顶点4,AB=AC,AD=AEf且4S4C=

LDAE.4c与。E相交于点G,连接BE,CD.

⑴若点B,E,。在一条直线上，如图I,求证：乙BAC=LBDC；

⑵洛△4DE绕点4逆时针方向旋转一定的角度,DE的延长线交8。卜点凡如图2

①证明：AE-CG=DG^CF；

②若=Z.BAC求三的俏.

=90°,AB

68.（2023•安徽亳州•统考二模）如图1,在△4BD和△ACE中，LBAD=/-CAE,Z.ABD=/-ACE.

图1图2

⑴①求证：aABC〜△力。£；

②若为8=HC,试判断△ADE的形状，并说明理由；

（2）如图2,旋转AADE,使点。落在边8C上，若/BAC=ND4E=90°,乙B=iADE.求证：CE1BC.

题型23相似三角形的应用

69.（2023•山西晋中•校联考模拟预测）如图1,海沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，

这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在

《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池.为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P,在近

岸取点4和C,使点P、力、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D,确

定PO与过点4且与PC垂直的直线交点测得4c=50m,CD=120m,48=80m,请根据这些数据求河

的宽度P4

图1图2

70.（2023・陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼C。、EF中间有一堵院墙力8,

甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形（CD_LDF.ABIDF.EFl

DF）.甲从点。可以看到点G处，乙从点E可以看到点。处.点5是。尸的中点.墙48高5.5米，DF=120

米，8G=10.5米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差.（结果精确到0.1米）.

71.（2023•陕西渭南・统考二模）如图，某天傍晚，数学兴趣小组的小敏和小芳在公园散步时作了如下探

索：当小芳竖直站立在A处时，她在路灯。下的影子为线段4C,并测得AC=2米，已知OE、4B均与地面

EC垂直，且石、人、C在同一直线上，小芳的身高48为1.5米，小芳与灯杆底部石的距离为AE为8米.

D

（1）求路灯的高度DE；

（2）如果要缩短小芳的影子4C的长发，同时不能改变路灯的高度和位置，请你写出一种方法.

72.（2023•陕西西安•统考三模）西安占城墙凝聚了中国占代劳动人民的智慧，它作为占城西安的地标性建

筑，吸引了不少人慕名而来.节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度

DE.如图，他拿着一根笔直的小混8C,站在距城墙约30米的点N处（即EN=30米），把手臂向前伸直

且让小棍BC竖直，BC||DE,乐乐看到点4和城墙顶端。在一条直线上，点C和底端E在一条直线上.已

知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍8c的长为24厘米，AN1EN,CMLAN,DE上EN,求城墙的高度

DE.

D

EN

73.（2023•陕西西安・统考三模）党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提

出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断

推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该市

的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥4尸

的长.如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点4再在河岸的这一边选出点B和

点、C,分别在48、4C的延长线上取点E,使得OEIIBC.经测量，8。=120米，OE=210米，且点E

到河岸BC的距离为60米.已知AF1BC于点F,请你根据提供的数据，帮助他们计算桥4F的长度.

74.（2023•浙江衢州•校考一模）（1）如图1,若。、E分别是△ABC的边力从AC上的中点,我们把这样的

线段OE称为是三角形的中位线.你知道中位线OE与BC之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并

证明你的结论.

（2）如示意图2,小华家（点A处）和公路（I）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌

（PF）.广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为8C.一辆以

60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距

离（精确到1m）.

图1图2

75.（2023・陕西西安•校联考模拟预测）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处,

为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座.如图，小琪想要测出钟楼AB的高度，于是在地面上的C

处放置了一面镜子，当他站在离镜子。处1.2m的E处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端力在镜子中的像（即

Z.DCE=/.ACB）.已知8,C,£在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度DE=1.5m,BC=28.8m,求钟

楼W8的高度.

76.（2023・陕西西安・模拟预测）如图，工地上有两根电线杆，分别在高为4m、6m的4、。处用铁丝将两杆

固定，求铁丝力。与铁丝BC的交点M处离地面的高.

77.（2023・陕西铜川•统考一模）已知有一块三角形材料41BC,其中BC=120cm,而AD=80cm,现需要

在三角形48c上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点F分别在边力B,4C上，H、G在

8C上，裁下的正方形E/GH的边长是多少？

一、单选题

1.（2023・重庆・统考中考真题）如图，已知aABC〜△EDC,AC.EC=2:3,若的长度为6,则DE的长

度为（）

AB

C

DE

A.4B.9C.12D.13.5

2.（2023・陕西・统考中考真题）如图，DE是△ABC的中位线，点尸在DB上，DF=2BF.连接Er并延长,

与C8的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为（）

3.（2023•山东东营・统考中考真题）如图，△力BC为等边三角形，点。，E分别在边BC,48上，^ADE=

60。，若BD=4DC,DE=2.4,则71D的长为（）

4.（2023・四川南充・统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放

置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶

端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离

为10m,则旗杆高度为（）

✓K

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

5.（2023・四川宜宾・统考中考真题）如图，ZMBC和是以点4为直角顶点的等腰直角三角形，把小

4DE以4为中心顺时针旋转，点M为射线8。、CE的交点.若AB=b，AD=1.以下结论:

®BD=CE；®BD1CE；

③当点E在B4的延长线上时，MC=等；

④在旋转过程中，当线段M8最短时，4MBC的面积为去

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2023・湖北鄂州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。力=OB=3Z，点C为平面

内一动点，BC=l，连接AC,点M是线段4c上的一点，且满足CM:MA=1:2.当线段OM取最大值时，点

M的坐标是（）

（泊B.（2,泗C.（谓）D.（2常巡）

7.（2023•山东泰安•统考中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。.以点B为圆心，任

意长为半径作弧，交48于点尸，交BC于点、G,分别以点口和点G为圆心，大于微FG的长为半径作弧，两

弧相交于点〃，作射线8”交AC于点。；分别以点4和点。为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相

交于M、N两点，作直线MN交48于点£,连接。£下列四个结论：①〃ED=乙48。；②8C=AE；

③④当4c=2时，力。二伤一1.其中正确结论的个数是（）

B.2C.3D.4

8.（2023・江苏・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=6％+匕的图象分别与％轴、y轴

交于48两点，且与反比例函数y=§在第一象限内的图象交于点C.若点/坐标为（2,0）,券=%则A的值

C.3V3D.4V3

9.（2023•山东枣庄•统考中考真题）如图，在△力3c中，^ABC=90°,zC=30°,以点A为圆心，以48的

长为半径作弧交AC于点。，连接80,再分别以点8,。为圆心，大于的长为半径作弧，西弧交于点

P,作射线力P交8c于点E,连接。£,则下列结论中不正确的是（）

DS〈EOC_V3

C.CE=2BE

S&ABC3

1（）.（2023•浙江嘉兴・统考中考真题）如图,点P是△4BC的重心,点。是边/C的中点，PE||AC^BC^^

E,OF||8C交EP于点凡若四边形CDFE的面积为6,则△ABC的面枳为（）

二、填空题

11.（2023・广东•统考中考真题）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线

上（如图），则图中阴影部分的面积为.

12.（2023•湖北武汉•统考中考真题）如图，0E平分