第四章弯曲应力习题解

［习题4・1］试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩.

解：Q-=0

M,I-1.=-2kN-ino

Q2.2=TkN

M2_2=-2-5x2=-\2(kN-ni)

(b)

解：(1)求支座反力

RA=-x5=2(k!V)(t)

5

3

RR=-x5=3(kN)(t)

(2)求指定截面上的内力

Qi=此=2kN

MT=R、x3=2x3=6(kN•ni)

Q2.2=2-5=-3(Z:7V)

M2-2=R"X2=3X2=6(kN•m)

(c)

解：(1)求支座反力

由力偶只能由偶平衡的原理可知：

A、B支座的反力构成一约束反力偶,

与主动力偶等值、共面、反向，故：

&=黑=4(村(t)

RB-&-4(〃N)(\)

(2)求指定截面上的内力

Qi=RA=4kN；Mi=RAxl=4xl=4(kN,m)o

Qz-HkN；M2-2=一RBx1.5=-4x1.6=-6(kN,m)

(d)

解：(1)求支座反力

因为AB平衡，所以:

①IX=u

12

/?s-2-(-x2x20)x1=0

RH=y=6.667(W)(t)

②》=o

R+R--x2x20=0

Ali2

R、+6.667-2()=0

RA=13.333(0V)(t)

(2)求指定截面上的内力

Cp12222(10+20)x1z-z-^,v

Qi=A4=13.333-----------=-\667kN

M]_,=6.667x1-(^x1x10)xg=5(kNin)°

解：（1）求支座反力

由力偶只能由偶平衡的原理可知：

A（左）、C（右）支座的反力构成一

约束反力偶，与主动力偶等值、共面、

反向，故：

R,\=2H）；h=R八号⑴

4。4a

（2）求指定截面上的内力

—二o；

(f)

解：(1)求支座反力

因为AB杆平衡，所以：

①IX=。

-3x2x6-6.5x1x4.5+7?cx4-4x4x2=0

-36-6.5+4%-32=0

心=18.6250W)：t)

②»=0

-3x2—6.5xl+R「-4x4+，=0

-6-6.5+18.625-16+/?,=0

3=9.875(AW)It)

(2)求指定截面上的内力

Qi=3x2+6.5x1=12.5(左M；

=—3x2x2-6.5x1x0.5=—15.25(&N•in)<

Q22=3x2+6.5x1-18.625=—6.125(AN)

M2-2=-3x2x2-6.5x1x0.5=一15.25(AN•m)

©

居

⑴求支座反力

由对称性可知：

RA=RB=^(20+20+10X4)=40(^)(t)

(2)求指定截面上的内力

Qi=4()-10x1=30(2M

=40x1-10x1x0.5-80=-45(kNm)Q,.=40-10x2-20=0

M2_2=40x2-10x2x1-20x1-80=-40U/V-W)

(h)

解：(1)求支座反力

由对称性可知：

RA=RB=-(--4^^(>)=^0㈠)

(2)求指定截面上的内力

八1%=3

Gi-i=aq。

Z44

M,,,=aq。•a-(g•ci•争(二

Qi-i=^o--^^o=o

114

M»=阳0•2a-(--2a-i7)-(--2a)=-qa

/■nJn

［习题4・2］试写出以下各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

(a)

解：0<x</

式X)X

V7

q⑺吟x

&=一：式不)/=一冬/

M=-1g(x)x1x=-雪/

/5bl

M5Tl

⑹

(b)

解：当04xSIm时

&。)=+30+15工=30+15/

^(x)=-30x-75x2

当14x43m时

&㈤=30+15=45

M(x)=-30x-15x1x(A:-

尸源=45kN

M,na=-3()x3-15xlx(3--)=-l27.5(火N.m)

(c)

解：

3四忸

"%=495kN

当04x«4m时

&。)=495-3x

M(T)=495X-15-

当4Wx48m时

耳⑴=-49.5+3x

M(x)=49.5x・L5/

=495kN

=174kNm

(d)

R5二06kN

尸R『14kN

当04xM8m时，

.(x)=06-02K

M(x)=06x-01”

8z

q

.-

当84x410m时，

X(x)=06-02/

工4

M»=0.6x-

=4+06“0H

J=14kN

Mw=2.4kNm

(e)

解：

当0时，

用(x)=-2kN

Af(x)=6-2x

当24x43m时，

&(x)=-22kN

材«)=6-2“20。-2)

J=22kN

-Mg=20kNm

♦Mg=6kNm

(f)

解：

四段：

o

M(x)=-^-x

比、段：

(g)

解：

力5段内:

&(力=-产

M(x)=-Fx

固段内：

&(x)=+《

M

M[X)=~yX

(h)

解：

力「段内：

&(x)=0

M(x)=-30kNm

C〃段内：尸s(x)=30kN

M(x)=-30+30x

缈段内：尸s(x)=-l0kN

M(x)=+10x

”*=30kN

1m=15kNm

-J=10kN

-Mg=30kNm

［习题4-3］试利用荷载集度、剪力和弯矩间和微分关系作以下各梁的剪力图和弯矩图。

t

IINL

&i

(d)

［习题4-4］试作以下具有中间较的梁的剪力图和弯矩图

［习题4-5］试根据穹矩、剪力与荷载集度之间的微分关系指出图示剪力图和重矩图的错误。

(a)

解：(a)图中的剪力图是错误的。因为本例中，

—=~q(夕向上为正，向下为负)，所以

dx

悬臂段的剪力图应该是：倾斜线与x轴的正向的夹角(直线

的倾斜角)大于90°。悬臂段的剪力应该为正。

(a)图中的弯矩图是错的。因为左段的弯矩图的凸向应

该向下。

(b)

解：(b)图中，弯矩图应该中集中力偶作用处，左右两侧

弯矩有突变，突变的数值等于集中力偶的数值。

(c)

解：在(C)图中，剪力图明显错误，在集中力偶作用处，

剪力不会发生突变。弯矩图中集中力偶作用处应该有突变,

突变的数值等于集中力偶的数值。另外，在AC段，弯矩图

的凸向应该向上。

［习题4-6］简支梁的剪力图如下图。试作梁的弯矩图和荷

载图。梁上没有集中力偶作用。

112kN陆

14kN

(a)

解：从剪力图可知，剪力是分段函数。设从左到右的分段点为

A、B、C、D,那么

%=0

MR=18x3=54(^m)

Mc=18x3-2x3=4X(kN-〃z)

%)二0

根据以.上控制截面的穹矩、剪力图，可作出如下图的方矩图和荷载图。

(b)

解：从剪力图可知，剪力是分段函数。设从左到右的分段点为

A、B、C,那么

M,A=0

MR=-2xl=-2(ZN・m\

%=0

从图Q中可知，AB段作用着线均布荷载，

q=Q+3)kN=zkNl(1),在C处作用有铅垂向下的

ma«2kN/m集中

2m

荷载尸=22Nm。最在大正弯矩出现在剪力为零处，出现最

\kN

大弯矩的截面位置在x=一■—=0.5机处，

2kN/m

M=Lxlx().5=0.5ZN〃z.

nidx2

由控制截面的弯矩和以上受荷分析，可作出如下图的弯矩图的荷

载图。

［习题4-7］试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载

图。

(a)

解:

e

IQkN

从弯矩图可知，弯矩是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C、Do弯如图的斜率是剪力。因为

AB平行于DB,所以这两段的剪力相同。

dM-\bkNm

=-10kN

~dx=Q=

A为钱，其弯矩为零。B处弯矩有突变，突变的数值等于集中刀偶，从图中可读得20kN.m。D截面左右

两侧的弯矩也有突变，突变的数值等于集中力偶的数值lOkN.m。据此，可以画出如下图的剪力图与荷载

图。

(b)

解：

从弯矩图可知，弯矩是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、

C、I)。弯矩图的斜率是剪力。

AB段:

dMd(40)

-----=----------=Q=U

dxdx

20kN

BC段：

M(x)=40-20xxG［0,2J

dM

=-20kN

dx

CD段:

dM_d(0)

=Q=0

dxdx

根据以上分析，可作出如下图的剪力图和荷载图。

［习题4-8］试用叠加法作出如下图各图的弯矩图。

解：在外力偶单独作用下，MA=0,MB/

跨中呈直线变化。在F单独作用下，/八二0,

A/=0,M=?。这两种外力共同作用叠加的

wc结果如

下图。

(b)

2a

(b)

解：(1)求捽制截面的弯矩

%=°

..3aqa1,

MA=-qa----+-----=-qa

AC跨中叠加弯矩：MX=-

BC跨中叠加弯矩:3我加_竺

MBCk^-8

(2)画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得如下图的弯矩图。

(c)

解：(1)求控制截面的宵矩

M、=-20吠〃?

MB=-20kN〃z

AB跨中叠加弯矩：M髓、=^-=-xlOx22=5(kNTn)

88

(2)画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得如下图的与矩图。

20kN-m20kN-m

10kN/m

2m

解：(1)求控制微面的弯矩

M.=30kN，m

Mc=-20*1=-20伏N〃?)

3。

(2)画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得如下图的弯矩图。

(e)

30kN20kN/m

解：(1)求控制截面的弯矩

C5?B

M\=01m1m

3m

MB=。

(e)

MD=-(20X1)X0.5=-lO(kN-ni)

AD跨中叠加弯矩：MX.=?=；x30x2=15(kN-〃z)

画控制截面穹矩的竖标，连竖标叠加后得如卜图的与矩图。

q

解:⑴求控制截面的弯矩

AB

肛=()

心二0(D

MD=MD=--^(0.2/)2=-0.021

2

CD跨中叠加弯矩：M黑中=贮=与广=0.125/2

88

(2)画控制截面弯矩的竖标，连竖标叠加后得如下图的弯矩图。

［习题4-9］选择适当的方法，试作图示各梁的剪力图和方矩图。

(a)

解：(1)求剪力与弯矩方程

以B为原点，AB为x轴，BA方向为x轴正向。

3kN

(a)

(>U)=-3+--x(--17)=-3+5x2

21.7

IxxSx^

M(x)=3x-(-x——17)--=3x--

21.733

(2)由剪力方程与弯矩方程作Q图和M图

X01

2

M(0.000.591.091.441.551.330.72-2.03-3.39

11.45

9.45

7.45

5.45

3.45

1.45

0.55

-2.55

-4.55

Q图

(b)

F-：(1)求剪力与弯矩方程60kN/m

以A为原点，AB为x轴，A3方向为x轴正向。muHmuxnummi

40kN/m

1m4m

AC段：XG[0J]6m

Q(x)=40x

M(x)=40x-1=20x2

CD段：XG[1,5]

Q(x)=40+40(x-1)-60(工-1)=-20x+60

M(x)=40(x—』)十1x40(x-l)2--x60(尤-I)2

222

=-10X2+60X-30

AC段：xG[5,6]

Q(x)=200-240+4(\x-5)=40x-240

1,八，

M(x)=—x40x2-24(\x-3)=2(1-240x+72()

(2)由剪力方程与弯矩方程作Q图和M图

X0123456

Q0403020100-10-20-30-400

X0123456

M020506050200

Q图

4-9(b)

(c)

F：(1)求支座反力一

R，\"%U。/)=；夕()，⑴

224

p—T—q

(2)求剪力与弯矩方程

(C)

以A为原点，AB为x轴，AB方向为x轴正向。

AC段：xG[0,—]

2

。“)=_1而一4.二%=刎一为一,2/曳。

421/24/旭x4

“/、1,/IX、X%/%3

M(x)=-qJx-(-xq)-=—x--x-

4°2//2Q0343/

令。(刈=量一强工2=0,得：工=,时，

4/2

M=姆.，一久(，尸二叱

max423/212

CB段：XG[^,/J

Q(x)=；(「x)”言%制=皿产T，4吟。

M(x)=_g(/7)中Q—+¥(/_x)=_^i+^l

X01234

Q430-3-4

M00

'设q0=4kN/m、l=4m,观察Q、M图的弯化情况。

id)

解：左支座为A,右支座为B°

(1)求支座反力

IX=。

/?BX3-15-10X3X1.5-(-X3X40)X(1X3)=0=-(15+45+60)=W7V)(t)

233

-RAX3-15+10x3x1.5+(^x3x40)x(1x3)=0

RA=！(-15+45+12())=5()0UV)(t)

(2)求剪力与弯矩方程

以A为原点，AB为x轴，AB方向为x轴正向。

(7(x)-10_3-x

40

x40x

^)=40(1--)+10=---+50

八/、“/40X1ye40-^s\ssWx?

Q(x)=50一(------H50)x—x(50+------50)=50+------50x------

32336

口、40x2s40x2

=50+------5()x-------

36

ss201

=50—50x4-----

3

一、“，40x“、x140.r“、2x“20x3”4()x3

M(x)=50x-(-----+50)x------x(50+-----50)--=50工+-------25厂2-------

3223339

=50厂251十些1

9

令Q(x)=50-50x+----=0,得：当x=1.18756时，

3

x110753

Minax=50x1.1875—25•1.18752+—~=27.84(〃N-〃。

X0123

Q50-13-18-23-28-32-35-38-40

M0222-15

4-9(d)

(o)

露：m求支座反力

IX=。X

13/

时•一(京呜=。(C)

(2)求剪力与弯矩方程

以A为原点，AB为x轴，AB方向为x轴正向。

。⑶哈-立申嘿-等

小）噌唔X-粉

令Q(x)=以一空-=0,得：当冗=1.5874/时,

1231

M=q。1____q3=%"

12^448^416^4

X024

Q11-0-1-3

M00

设为=：3kNlm,l=4m,观察Q、M图的弯化情况。

(f)

解：(1)求支座反力

A、B之间正弦曲线的面积为:

0=£qL=1%sin亍dx

“。二"丁/(7)

生。予

辿

71

1诬=纽㈠)

RA=RB=

2乃71

X截面以左局部的面积:

①》=£q(x)dx=£/sin亍以

=qJ\：s吟吟)

4,0/I

t[C0ST]^

=如(1-3三

71I

(2)求剪力与弯矩方程

以A为原点，AB为x轴，AB方向为x轴正向。

八/、//加、%/公

Q(x)=------(1-cos—)=­cos—

7171I71I

当户0时，Qe当当片/时，-QM=¥

dM(x)八/、//7cx

―:—=QM=—cos—

ax7iI

M（幻吟J71X,

cos—ax

I

=I-J-c-呼---华

nTC

<7()/2.7tx

——+C

42l

边界条件：M(0)=0

%)厂.万.()

-^^sin-----+C=0

/I

c=o

-4

Q图

试作简4-10]

在

图示支梁

4

荷载

况下的种

弯矩

并比拟图,

最大

弯矩值其

这些

果说明结

荷载不梁上的

能

用其静任意

力系代力等效

荷载分替，以及

散用

作

M图

时，使

梁

内

*ax

下降

的

4

-(f)