第一章12常用逻辑用语

§1.2常用逻辑用语

【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质

定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对

两种命题进行否定.

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则p是q的充分条件,q是〃的必要条件

p是q的充分不必要条件p=>q且q#p

p是q的必要不充分条件p加且qnp

P是q的充要条件pgq

p是q的既不充分也不必要条件p#q月.q#p

2.全称晟词与存在量词

(1)全称量词：短语”所有II勺”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表

示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“旦”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称星诃命题存在星.诃命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记三工£—，汛x)

否定p(x)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设A={x|p(x)}，8={x|q(x)}.

(1)若〃是q的充分条件，则AU仪

(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；

(3)若〃是g的必要不充分条件，则8A；

(4)若〃是的充要条件，则A=8.

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题〃与〃的否定的真假性相反.

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（1）当〃是^的充分条件时，q是〃的必要条件.（V）

（2）”三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（J）

⑶“Q1”是“Q0”的充分不必要条件.（V）

（4）命题aR,sin/+cos^n；”是真命题.（X）

2.（必修第一册P30例4（1）改编）（多选）已知命题p：VxGR,x+2W0,则下列说法正确的是

（）

A.〃是真命题

B.㈱p：VxGR,x+2>0

C.球〃是真命题

D.Q：3AGR,x+2>0

答案CD

解析当x=0时，x+2W0不成立，故〃是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，

p：VxGR,x+2W0的否定为^p：3x£R,x+2>0,故D正确，B错误；是真命题，

故C正确.

3.（必修第一册P22T2（5）改编）设Q0,k>0,则“庐*2”是“工2”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

4.己知人=（-8,a],8=（—8,3）,且是的充分不必要条件，则a的取值范围

为■

答案（一8,3）

解析由题意知，即AB,所以a<3.

题型一充分、必要条件的判定

例1（1）（2023•葫芦岛模拟）已知向量〃为平面a的一个法向量，向量雁为直线/的一个方向

向量，则m〃〃是/_1_。的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当m//n时，/_La,

当/_La时，m//n,

综上所述，/〃〃〃是/_La的充要条件.

(2)在等比数列｛诙｝中,“3>0,且公比g>l”是“｛〃“｝为递增数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条但

答案A

解析当3>0,且q>l时，有。“+|一a”-.。/一0―1)>°，所以

即｛%｝为递增数列;当｛。匕为递增数列时，即对一切〃£、*,有恒成立,所以/+]一

1)>0,但.<0且0〈<7<1时，上式也成立，显然无法得出.>(),且g>l.则

且公比g>l”是“｛斯｝为递增数列”的充分不必要条件.

思维升华充分、必要条件的三种判定方法

⑴定义法：根据p=q,q=p是否成立进行判断.

(2)集合法：根据p,g成立对应的集合之间的色含关系进行判断.

(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要

条件是否成立为止.

跟踪训练1⑴(2024・贵阳模拟)已知函数段)=cos(Zi+8),则“°=令'是"%)是奇函数”的

()

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条作

答案A

解析7U)是奇函数等价于cos(—2t+*)=—cos(Zi+o),

即cos(-2x+o)=cos(7t-2r一夕)，

故一2x+e=7r—伊+2依，&£Z,

所以8=5+E,&£Z.

则“8=?，是“儿6是奇函数”的充分不必要条件.

(2)当命题“若p,则q"为真命题，则”由〃可以推出,即一旦〃成立，q就成立，〃是

q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么〃一定不成立，q对〃成立也是很必要

的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远,

而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志"是''能至"的

()

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，

所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能三”的必要条件.

题型二充分、必要条件的应用

例2在①“工£4”是“xGB”的充分条件：②“X£(RA”是“XECRB”的必要条件这两个

条件中任选•个，补充到本题第(2)间的横线处，并求解下列问题.

问题：已知集合A={x|4WxWa+2),8=3(.i+l)(x-3)<0}.

⑴当a=2时,求4D&

(2)若,求实数。的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)由(x+l)(x—3)vO,

解得一l<x<3,

所以—l<x<3},

当a=2时，A={x|2WxW4},

所以An8={x[2Wx<3}.

(2)选①是“xWB”的充分条件，则4G8,所以，:八:解得一即(一

1&+2<3,

U);

a>—1,

选②。£【以”是1£鼠8”的必要条件，则AM,所以….解得一aV1,即(一

2V3,

U).

充分不必要条件的等价形式

〃是夕的充分不必要条件，等价于q是^p的充分不必要条件.

典例已知命题p：RWI，q：x<a,若是的充分不必要条件，则实数〃的取值范

围为.

答案(1,+8)

解析由即一IWxWl,由题意知〃是q的充分不必要条件，所以

思维升华求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出

关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检检.

跟踪训练2从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补

充到本题第⑵问的横线处，并解答下列问题：已知集合人=卜心忘21£324x

+4—〃飞()，mGR}.

(1)若〃?=3,求AUB；

(2)若存在正实数小，使得“x£A”是成立的,求正实数，"的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)依题意，得2”W2KW25,

解得一2WxW5,即4={M—2WxW5},

当〃?=3时，解不等式f-4x-5W0,

得一1W%W5,即8={x|-

所以4U8={x|—2WxW5).

(2)选①，由⑴知,A={x|-2WiW5},m>0,

解不等式JI2—4x+4一切2<0,

得2—即8={x[2—〃WxW2+/〃},

因为“x£A”是成立的充分不必要条件，

则有4B,

2—〃?<—2,2—机W—2,

于是得2+g51解得m>4或m24,即有24,

2+〃?>5,

所以正实数，”的取值范围是〃?24.

选②，由(1)知，A={x|-2SxS5},加>0,

解不等式4x+4—〃Pwo,

得2-mWxW2+m，即B={x|2—/〃WaW2+"?),

因为“x£A”是成立的必要不充分条件,

则有3A,

于是得一2<2—m<2+〃?W5或一2W2—m<2+m<5,

解得0</〃W3或0<m<3,即有0<mW3,

所以正实数m的取值范围是0<勿忘3.

题型三全称量词与存在量词

命题点I含量词的命题的否定

例3(1)(多选)下列说法正确的是()

A.”正方形是菱形”是全称量词命题

B.R,e'<ex+1

C.命题x2—&+3=0”的否定为“VxWR,x2-2x+3^0M

D.命题都有2X+1>5”的否定为使得2x+lW5”

答案ABC

解析对于A,“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故

A正确；

对于B,当x=l时，eve+l成立，故B正确；

对于C,命题f—2r+3=()”的否定为“VxER,x2—2x+3H0”，故C正确；

对于D,命题都有2x+l>5”的否定为“三”>1,使得2x+lW5”，故D不正确.

(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：.

答案至少有一个实数是无理数

命题点2含量词的命题的真假判断

例4(多选)下列命题中的真命题是()

A.2fo

B.VxGN+,(x-|)2>0

C.R,Igx<l

D.tanx=2

答案ACD

解析指数函数的值域为(0,+8),

所以Vx£R,2Li>0,故A正确；

当x=l时，(工-1)2=0,所以。-1)2>0是假命题，故B错误；

当x=l时，lgx=0<l,所以lgx<l,故C正确；

函数)，=tanx的值域为R,所以三4£R,tanx=2,故D正确.

命题点3含量词的命题的应用

例5⑴若命题“▼工口一1,2],4+12加’是真命题，则实数旭的取值范围是()

A.(—8,01B.(—8,1]

C.(—8,2]D.(—8,5]

答案B

解析由1,2],F+IN〃?”是真命题可知，

不等式mWf+1,对Vx£[-1,2]恒成立,

因此只需加<(/+l)min，A^[—1,2],

易知函数y=f+l在1,2]上的最小值为I,所以/ziWl.

即实数机的取值范围是(-8,I].

(2)(多选)命题p：f+2x+2—〃?<0为假命题，则实数〃?的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

答案ABC

解析若命题p：3X^R,/+2%+2-”?<0为真命题，

则/=2?—4(2—m)=4m—4>0,解得m>1,

所以当命题p：B.rGR,f+2x+2—〃7<0为假命题时，揖W1,

符合条件的为A,B,C选项.

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是其命题，只要找到一

个成立即可.当一个命题的其假不易判定时，可以先判断其否定的其假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求

参数的范围.

跟踪训练3(1)下列命题为真命题的是()

A.任意两个等腰三角形都相似

B.所有的梯形都是等腰梯形

C.VxER,x+|心0

D.3xeR,/一x+l=O

答案C

解析对于A,任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B,所有的梯形都是等腰

梯形是假命题，故B错误；对于C,因为V4£R,\x\^-x,即x+k|20,故C正确；对于

D,因为TxER,%2—x+1=(x—£)2~*"4^4>0,故D错误.

(2)(多选)已知命题p：Vxe[OJ],不等式2%—22/一3加恒成立，命题53x^[1,3],不等

式『一or+4W(),则下列说法正确的是()

A.命题〃的否定是不等式21—2</一3〃”

B.命题q的否定是“VxE[l,3],不等式/一公+420”

C.当命题〃为真命题时，

D.当命题为假命题时，a<4

答案ACD

解析命题〃的否定是“三工£[0,1],不等式2x—2〈病一3〃?”，故A正确；命题q的否定是

“Vx£[l,3],不等式/一依+4>0"，故B错误；若命题〃为真命题，则当x£[O,l]时，（2x

—2）min2〃尸一3/〃，即//—3〃?+2W0,解得1WJ»W2,故C正确；若命题夕为假命题，则W

xE[l,3],不等式f—ar+AO为真命题，即。<x+*恒成立，因为x+?22'/Z|=4,当且仅

人人\r”1

当即x=2时取等号，所以。<4,故D正确.

人

课时精练

知识过关

一、单项选择题

1.命题“三4>0,sinx—%WO”的否定为（）

A.VxWO,sinx—x>0

B.3A>0,sinx—XWO

C.Vx>0,sinx—x>0

D.3x<0,sinx—x>0

答案C

解析由题意知命题”三>0,Sinx-xWO”为存在量词命题，

其否定为全称量词命题，即Dx>0,sinx-A>0.

2.下列命题中，〃是夕的充分条件的是（）

A.p：abHO,q：aWO

B.p：『十从20,q：且匕20

C.p：q：x>l

D.p：a>b,q：y[ci>y[b

答案A

aWO,p/ER,

解析对于="H0,故〃是夕的充分条件；对于B,a2+〃2o<=>J

bWO[b^R

且。NO,故p不是<7的充分条件；对于C，或x<—1功>1,故p不是q的充

分条件；对于D,当”>力时，若〃<4<0,则不能推出也>^^，故〃不是q的充分条件.

3.设2WR,则“2=1”是“直线力+（2—1»=1与直线Zr+（l-2）y=2平行”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若直线3x+(1—l)y=l与直线Zv+(l—»y=2平行，

则3(1—2)—，/1-1)=0,解得％=1或2=—3,

经检验，当人=1或2=—3时，两直线平行.

即是“直线版+(2—l)y=l与直线〃+(1—/1A=2平行”的充分不必要条件.

4.己知p：q：x>m,若〃是q的充分条件，则实数机的取值范围是()

A.[0,+8)B.[1,+8)

C.(—8,0]D.(—8,|]

答案C

解析由！>1可得x(x—1)<0,解得0令<1,

记A={A|0<X<1},B=},

若〃是，/的充分条件，

则A是B的子集，所以〃?W0,

所以实数机的取值范围是(一8,0].

5.下列说法正确的是()

A.“对任意一个无理数乂*也是无理数，，是真命题

B.“孙>0”是“叶)>0”的充要条件

C.命题使得~+1>0”的否定是“Wx£R,f+l<0”

D.若“I<xv3”的一个必要不充分条件是“初一24〈/〃+2”，则实数机的取值范围是3]

答案D

解析出是无理数，f=2是有理数，A错误；

当x=-2,y=~\时，邛>0,但工+)，=一3<0,不是充要条件，B错误；

命题使得f+l>0”的否定是“Vx£R,F+1W0”，C错误；

〃L2W1,

的必要不充分条件是“机一2令<机+2"，则.,两个不等式的等号不同时

加+223,

取到，解得1W〃?W3,D正确.

6.设〃：关于x的不等式.F+at+1>0对一切x£R恒成立，q：对数函数y=log(4-3«卢在(0,

+8)上单调递减，那么〃是夕的()

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若关于x的不等式/+av+1>0对一切x£R恒成立，则/=〃2—4<0,即一2。/<2；若

对数函数y=log(4f/在(0,+8)上单调递减，贝40<4-3。<1,即(-2,2),

:・p是q的必要不充分条件.

7.已知命题p：BxeR,ad+2ar—420为假命题，则实数。的取值范围是()

A.-4<a<0B.一4★〃<0

C.一4v〃W0D.一4WaW0

答案C

解析命题p：BA-ER,ad+2aY—420为假命题，即命题^p：R,加+24入-4Vo为

真命题，

当。=0时，一4<0恒成立，符合题意；

当aWO时，则«<0且J=(2a)2+16«<0,即一4<〃<0.

综上可知，一4<aW0.

8.(2023・新高考全国I)记S〃为数列｛斯｝的前〃项和，设甲：｛斯｝为等差数列；乙：榭为等

差数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条性也不是乙的必要条件

答案C

解析方法一甲：｛m｝力等差数列，设其首项为内，公差为乩

D」Snd,dSn+lS„(1

则s〃=〃m+-2-d,q=ai+-5，^7[7[一7=5，

因此｛小｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙:榭为等差数列，

Sn+\Sil"S/1+1-(〃+1)S"〃4"+1-Sn7皿皿“

即nn干一^=〃(〃+「)=诉万为常数，设为八

口r1-S〃

即-标yr

则S"=1—f/?(/?+1),

有Sn-\=(n—1)a„—t-n(n—1),心2,

两式相减得an=nan+1—(〃-1)%—2tn,

即知+i一%=2h对〃=1也成立，

因此｛斯｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

方法二甲：｛%｝为等差教列，设数列｛斯｝的首项为0,公差为义

„„,n(n-I)

=

即Snna14-2d,

mi科.(«—1),dd

因此｛小｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：榭为等差数列，

设数列｛9｝的公差为D,

则黯-亲=。，学=—皿

即S,i=nS\-\~n(n—\)D,

当时，S„-1=(/:-l)5i+(//-1)(w-2)D,

上边两式相减得S〃-S〃-i=Si+2(〃-1)。，

所以an—a\-\-2(n—1)D,

当〃=1时，上式成立，

又如+|一%=m+2〃。-3+2(〃-1)。］=2。为常数，

因此｛斯｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

二、多项选择题

9.下列命题是真命题的是()

A.使函数y=2，+02r在R上为偶函数

B.V.rGR»函数)，=sinx+cosx+也的值恒为正数

C.2yf

答案AC

10.下列命题中正确的是()

A."AU8=A”是“BGA”的充分小必要条件

B.”方程x2一(加-3口+”?=0有一正一负根”的充要条件是“机＜0”

D.”函数f+2〃“在区间［1,3］上不单调”的一个必要不充分条件是“1W〃忘3”

答案BCD

解析对于A,由AUB=A可得BMA,故充分性成立，

由8墨A可得AUB=A,故必要性成立，所以“AU8=A”是“8UA”的充要条件，故A错

误；

对于B,方程f—(/〃-3)x+m=0有一正一负根，设为川，

［/=("?-3>一4〃7〉0,

则八解得〃?<0,满足必要性，

gX2=/〃<0,

当〃?<0时，/=("?—3)2—4〃7>O,X1X2=〃?VO，则方程f—。3)x+”?=0有一正一负根，满

足充分性，

所以“方程X2一(加一3)x+,〃=0有一正一负根”的充要条件是um<Q,f,故B正确；

当机=0时，函数为暴函数，也为反比例函数，满足充分性，

对于D,若函数/(x)=-f+2/nx在区间［1,3］上不单调，M\<m<3,

所以“函数八*)=一/+2〃”在区间［1,3］上不单调”的一个必要不充分条件是“1W〃?W3”，

故D正确.

三、填空题

II.在△ABC中，"NA=/B”是“sinA=sinB”的条件.(填“充分不必要”“必

要不充分“''充要”或“既不充分也不必要”)

答案充要

解析在△人BC中，Z4=ZB<=>«=/?<=>sinA=sinB,

故"NA=NB”是“sinA=sinB”的充要条件.

12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：.

答案存在一个素数不是奇数

解析因为命题”所有的素数都是奇数”是假命题，则分题“存在一个素数不是奇数”为真

命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.

13.设p：4x—3<1,q：x~2a~\<0,若〃是4的充分不必要条件，则实数。的取值范围是

答案(0,+8)

解析由4x—3<1,