第43讲、数列的通项公式（学生版）2025高考数学一轮复习讲义

第43讲数列的通项公式

知识梳理

类型I观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根

据规律写出此数列的一个通项.

类型n公式法:

若已知数列的前“项和S”与/的关系，求数列｛«,｝的通项4可用公式

S],(〃=1)

构造两式作差求解.

之2)

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为

一”，即［和凡合为一个表达，(要先分〃=1和〃22两种情况分别进行运算，然后验证能否

统一).

类型m累加法：

形如+/(〃)型的递推数列(其中f(n)是关于〃的函数)可构造：

勺-1一4-2=/(〃-2)

.%一4=〃1)

将上述个式子两边分别相加，可得:q=f(n-1)+/(n-2)+„./(2)+/(I)+a,,2)

①若/(〃)是关于“的一次函数，累加后可转化为等差数列求和：

②若/(八)是关于〃的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若A”)是关于“的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(〃)是关于“的分式函数，累加后可裂项求和.

类型IV累乘法：

/X

形如〃…=〃”./(〃)纵=/(〃)型的遂椎数列(其中八川星关于”的函数)可构造：

LJ

—=/(H-D

也■=/(，-2)

「

-=/(D

将上述/个式子两边分别相乘，可得：«„=/(«-»-/5-2)...../(2)八1)0,(〃22)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

类型V构造数列法：

(一)形如(其中〃国均为常数且〃工0)型的递推式：

(I)若〃=1时，数列｛凡｝为等差数列；

(2)若g=0时，数列｛凡｝为等比数列；

(3)若〃工1目4工0时，数列｛%｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比

数列来求.方法有如下两种：

法一：设antl+N=p(an+2),展开移项整理得%=pan+(p-l)A»与题设

«„+1=pan+q比较系数(待定系数法)得义=。,(〃工0)na,”]H———=p(an+。)

p-lp-\p-\

na“+_g_=p(<%+」_),即%+—J构成以一为首项，以〃为公比的等比

p-1p-\P—1Jp-1

数列.再利用等比数列的通项公式求出〃“+—'的通项整理可得a,

P-U

法一：山a"+i=pa”+〃得an=/?«„_1+q｛n之2)两式相减开整理得一""=〃，即

一%

｛“田-%｝构成以巴-%为首项，以〃为公比的等比数列•求出佃“.1-％｝的通项再转化为

类型ID(累加法)便可求出明

(二)形如=pan+/(")(pwl)型的递推式：

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设〃“+八"+"=〃[*+人5-1)+司，通过待定系数法确定A、8的值,转化成以

q+A+4为首项，以父=一一为公比的等比数列｛a“+A〃+用，再利用等比数列的通项

1(〃一，〃)!

公式求出｛a"+A〃+8｝的通项整理可得％.

法二：当/(〃)的公差为d时，由递推式得：。“八=pa“+/(〃)，"“=/"%+-1)两式相

减得：an+l-an=p（an一c*）+d，令hn=an^W：bn=phn_t+d转化为类型V㈠求出bn,

再用类型IH（累加法）便可求出心.

（2）当一〃）为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设6,+4/5）="[a,—+%/（"-1）]，通过待定系数法确定2的值，转化成以

4+义/（1）为首项，以为公比的等比数列｛〃"十之八〃）｝，再利用等比数列的通

，（?/-///）!

项公式求出｛«„+4/Q?）｝的通项整理可得明

法二：当f（n）的公比为q时，由递推式得：“"+]=pan+f（n）----①，an=pan_x+/（n—1），

两边同时乘以9得qq=pqa,i+----②，由①②两式相减得“e=p｛an—</«„_,），

即幺匚也=〃，在转化为类型V㈠便可求出外.

凡一的7

法三：递推公式为%=叫+“"（其中p,q均为常数）或+rqn（其中p，

q，一均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以“"包，得：9号=2殳+■!•,引入辅

"qc/nq

助数列论,｝（其中仇=%）,得：/0=上勿+，再应用类型V㈠的方法解决.

qnqq

（3）当人〃）为任意数列时，可用通法：

在―=pa“+/5）两边同时除以〃z可得到4=%+△乎，令&="，则

/,=〃+△2,在转化为类型山（累加法），求出勿之后得凡=〃，%.

”♦1n/|4-|wntn

p

类型VI对数变换法：

形如““=〃4（〃>0,a„>0）型的递推式：

在原递推式a“+i=pa"两边取对数得Iga”.।=“lga"+1g〃,令b”=1ga„得：

2"="2+lg〃，化归为为“=〃4+“型，求出》之后得《,=10\（注意：底数不一定要

取10,可根据题意选择）.

类型VD倒数变换法：

形如为|_q=〃”“4（〃为常数且〃工0）的递推式：两边同除于4Tq，转化为

_!_=_!_+〃形式，化归为％=〃4+“型求出_!_的表达式，再求小：

44-iq

还有形如〃M=—丝」的递推式，也可采用取倒数方法转化成_L=2_L+〃形式，化

"pa”+qq6、P

归为。,川=m+q型求出±的表达式，再求.

类型W形如小=pan,l+“a,,型的递推式:

用待定系数法，化为特殊数列｛4-的形式求解.方法为：设

4+2—包+|=A（a"+1—3），比较系数得〃+R=p,T次=q,可解得力、*,于是｛a“+1-®｝是

公比为力的等比数列，这样就化归为凡“=〃可+“型.

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法

求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式4.

必考题型全归纳

题型一：观察法

例1.（2024・湖南长沙・长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算

法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第

二层有3个球，第三层有6个球，……,则第十层有（）个球.

A.12B.20C.55D.110

例2.（2024・全国・高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传

教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森

指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国

剩余定理”.“中国剩余定理''讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整

数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到人的顺序排成一列，构成数列｛%｝,则为-

（）

A.17B.37C.107D.128

例3.（2024•全国•高三专题练习）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变

换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所

示，若图1中正六边形的边长为1,怪1〃中正六边形的个数记为%,所有正六边形的周长

之和、面积之和分别记为C”.邑，其中图〃中每个正六边形的边长是图〃-1中每个正六边形

边长的;，则下列说法正确的是（）

C.存在正数〃7,使得C.K，〃恒成立D.5„=—xf->l

2⑺

变式1.（2024•海南•海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤

谱》中对易传“大衍之数五十''的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数

列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐减着的世界数学史上第一道数列

题,其各项规律如下:0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,...,记此数列为｛《｝,则

（生一“）+（%-6）+•••+（%,一"』9）=（）

A.650B.1050C.2550D.5050

变式2.（2024•吉林•统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”

的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项,都代表太极衍

生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道

数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第25项与

第24项的差为（）

A.22B.24C.25D.26

变式3.（2024•全国•高三专题练习）若数列｛4｝的前4项分别是:则该数

列的一个通项公式为（）

A.B.C.%=止»「小

n"〃+1nn"〃+1

变式4.（2024•全国•高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代丞要的数学成就，如图是由

“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1,!，1，L

3610

构成数列｛4｝,其前“项和为S”，则另0=（）

I

3J

46?

13TOTO51

•••

39■40「41n419

A.—B.—C.—D.---

2()2121210

变式5.(2024•新疆喀什•高三统考期末)若数列｛%｝的前6项为1.-则

JJ/y11

数列｛”“｝的通项公式可以为q=()

C.

【解题方法总结】

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通

项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有（-1）”或者

（-ir'部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正

偶数列、自然数的平方｛/｝、｛2"｝与（T）”有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成

的数列.

题型二：叠加法

例4.（2024•全国•高三对口高考）数列1,3,7,15.....的一个通项公式是（）

B

A.an=TB.«„=2"+1C.«„=2-1D.%=2"T

例5.（2024•新疆喀什•校考模拟预测）若为=%一|+〃-1,a=l则%=（）

A.55B.56C.45D.46

例6.（2024•陕西安康・陕西省安康中学校考模拟预测）在数列｛4｝中，6=1,

,1I1

%=4+"+1,贝IJ—+—+•••+---=（）

a\a2a2ff22

2021c4044-2021卜2022

A.----B.----C.----D.----

1011202320222023

变式6.（2024♦全国•高三专题练习）已知数列满足4=:，凡,|=为+?—，则

｛%｝的通项为（）

3|

A.l,/?eN*B.-,/i>N*

n2n

3I31

C.>l,neN*D.=

2n2n

变式7.（2024•全国•高三专题练习）己知S“是数列｛«,｝的前〃项和，且对任意的正整

J__±„4-2,若则S纲

数〃，都满足:=2)

A.胆B些202£1010

D.--------

20242023,20242023

变式8.（2024•四川南充・四川省南充高级中学校考模拟预测）己知数列己”｝满足:

3

a.=—…4―。…勺之91.3"，则嗫j)

'8

A,"?D3的3

2282

-12023

C.D.--

82

【解题方法总结】

数列有形如4*=4+f（n）的递推公式，且/⑴+/⑵+…+f（n）的和可求,则变形为

|„+）—=/（〃）»利用叠加法求和

题型三：叠乘法

例7.（2。24.河南•模拟预测）已知数列-｝满足状=凡

1=1,则出阳=（)

A.2024B.2024C.4045D.4047

例8.（2024•全国-高三专题练习）数列｛〃,,｝中，勺=1（〃为正整数）,则

〃+1

“2022的值为（)

B-20212022

A.--------*击C.--------D.

202220222021

,7+1

例9.（2024•天津滨海新•高三校考期中）已知4=2，。用一q则(12022=()

n

A.506B.1011C.2022D.4044

变式9.（2024•全国•高三专题练习）已知4=1,=〃(〃不一4,)("cN,),则数列{4}

的通项公式是为

A.2/1-1C.MD.n

变式10.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛/｝中，《=1,

=2（«+，+…+«,）（〃wN*）,则数列｛"“｝的通项公式为（）

A.B.2/1-1

an=na„=

cM+i1,(〃=1)

c-D.a

n〃+

变式11.（2024•全国-高三专题练习）已知数列M满足5+2）。“”=5+1）。“，且

；，则”"=()

〃一1

A.——B.---D.—

〃+12w-1仁£n+1

已知数列｛«,｝满足4=：,2/?-3,「

变式12.（2024•全国-高三专题练习）^=T-^(n>2,

2n+l

〃wN”），则数列｛%｝的通项6=（）

1

A.—；―B.

4/?2-121+1

11

D.

C(2〃7)(2〃+3)(〃+1)(〃+3)

变式13.（2024•全国•高三专题练习）在数列｛«,｝中，4=3且（〃+2）%=〃t,,则它的

前30项和/=（）

c2919

ATB.—D.—

3130CY29

【解题方法总结】

数列有形如q=/（〃）.q_的递推公式，且/⑴・/（2）……-团）的枳可求，则将递推公式

变形为2=/（〃），利用登乘法求出通项公式小

题型四：待定系数法

例10.（2024•全国•高三专遨练习）已知：［=1,时，4=347+2〃-1,求｛4｝

的通项公式.

例11.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛6J,q=2,且对于〃>1时恒有

。“=；你一1+1，求数列｛6』的通项公式•

例12.（2024•全国•高三专题练习）己知数列｛/｝满足；4+尸一^^一乙八^^吗二义求

%.

变式14.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝是首项为4=2,（.|=；/+2〃+：.

（1）求｛a,,｝通项公式：

⑵求数列｛q｝的前〃项和S”

变式15.（2024•全国•高三专题练习）已知数列伍“｝中，。尸2,可讨=驾人,求｛6J的

通项.

变式16.（2024•江苏南通•高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知数列｛«,｝中,

1=1，满足♦=2〃“+2〃-l（〃eN）设S“为数列｛%｝的前•〃项和.

⑴证明:数列｛为+2〃+1｝是等比数列；

（2）若不等式，2"+S“+4>0对任意正整数〃恒成立，求实数i的取值范围.

变式17.（2024•四川乐山・统考三模）已知数列｛%｝满足4+=2%+2,«,=1,则

变式18.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝中，6=1,=3%+4,则数列

｛q｝的通项公式为.

变式19.（2024•全国•高二对口高考）已知数列｛q｝中，，=1,且4=2叩+3

（儿22,且〃WND,则数列｛%｝的通项公式为.

【解题方法总结】

形如an+l=pan+“（P，q为常数,pgw0且pw1）的递推式，可构造an+l+A=p（an+2），

转化为等比数列求解.也可以与类比式％+4作差，由。=—4,=〃0,-47），构造

｛〃——/｝为等比数列，然后利用叠加法求通项.

题型五：同除以指数

例13.（2024•全国•高三专题练习）已知数列伍“）满足4”=24,+3,2",a,=2,求数列

｛4｝的通项公式.

例14.（2024•全国•高三专题练习）在数列｛4｝中，4=-lMz=2a“+4・3”T,求通项公

式.

例15.（2024•全国・高三专题练习）已知数列｛%｝满足=24+35,4=6,求数列

｛〃”｝的通项公式.

变式20.（2024•全国-高三专题练习）已知数列应｝满足*：=2a“+4x3”T,«,=1,求

数列｛%｝的通项公式.

变式21.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足%“=M,+4・3f4=-1,则

数列｛，”｝的通项公式为.

变式22.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛〃“｝满足为“=3a“+2・3"+l,q=3,求

数列｛为｝的通项公式.

【解题方法总结】

形如，*=〃&+/（〃=。且pwl,，/工1）的递推式，当〃=4时，两边同除以小川转

化为关于｛务｝的等差数列：当〃工〃时，两边人可以同除以4日得耨康■+｝,转化

为%,=%£•

题型六：取倒数法

例16.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛““｝满足：4=2,an=47mN2）,求通项

例17.（2024•全国•高三专邈练习）在数列｛4｝中，《=1,〃,讨=一&，求4.

。十J

例18.（2024•全国•高三专题练习）设b>0,数列｛«,｝满足叫=〃,

'"』（'■），求数列-｝的通项公式.

变式23.（2024•全国•高三专题练习）已知，♦=-%，4=1,求｛““｝的通项公式.

n

变式24.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足4+产不二吗=1,求数列｛〃”｝

的通项公式.

变式25.（2024•全国•高三对口高考）数列｛，“｝中，丁，6=2,则

4=•

变式26.（2024•江苏南通・统考模拟预测）已知数列｛%｝中，q=；,。向=若

（1）求数列｛q｝的通项公式：

（2）求证：数列｛4｝的前〃项和S“<1.

【解题方法总结】

对于对“=_色」（4工0），取倒数得—=幺*=幺-L+£.

〃+叫4川aa„aana

当时，数列•，-•是等差数列；

当G地时，令bJ,则却产2也+£,可用待定系数法求解.

qaa

题型七：取对数法

例19.（2024•全国-高三专题练习）已知数列｛k｝满足6=3,仆.|=片-2%+2.

⑴证明数列｛in（q-1）｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式：

（2）若2=；+二7,数列｛2｝的前”项和S“，求证：*<2.

a“a„-2

例20.（2024•全国•高三专题练习）设正项数列｛4｝满足4=1,q=2435*2）,求数

列｛4｝的通项公式.

例21.(2024•全国•高三专题练习)设数列｛«,｝满足％=a(a>。)，%+尸2M,证明:

存在常数“，使得对于任意的"CN*,都有qK".

【解题方法总结】

形如〃向=c"(c>O,a“>G)的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.

题型八：已知通项公式&与前n项的和Sn关系求通项问题

例22.(2024•全国•高三专题练习)数列｛〃.｝的前〃项和为工，满足2s.=1-〃，

且$=3,则｛/｝的通项公式是.

例23.(2024•陕西渭南•统考二模)己知数列｛4｝中，4=1””>。，前〃项和为S”若

(I,,=(〃eN\H>2),则数列，---的前2024项加为.

例24.(2024•河南南阳•高二统考期末)已知数列｛为｝的前，项和为S“，且邑=2%-】

(neN*),

(1)求数列｛«,｝的通项公式；

(2)设b“=anlog2an,求数歹lj也,｝的前"项和T,.

变式27.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛4｝的前"项和S“满足S.=24+2〃.

(1)写出数列的前3项4，%，。3;

⑵求数列｛为｝的通项公式.

变式28.(2024•河北衡水•衡水市第二中学校考三模)已知数列｛4｝的前“项和为S”,

(1)证明:｛含｝是等差数列;

⑵求数列%4的前〃项积.

变式29.(2024•海南海U•海南华侨中学校考一模)己知各项均为正数的数列｛4｝满足

2即%+1,其中S“是数列｛«,｝的前〃项和•

(I)求数列｛«,｝的通项公式：

(2)若对任意”wN,,且当“22时，总有士+J[+J]+…+J[<4恒成立,求实数

/I的取值范围.

变式30.(2024•河北保定♦高三校联考阶段练习)已知数列｛4｝满足

+3«2+…+(2〃-l)a“=n,

⑴求｛2｝的通项公式；

—,n=2k-\

⑵己知。=卜9勺，匕⑹，求数列｛。“｝的前20项用.

g"W=2k

变式31.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛«,｝的前〃项和为S“，且

S“=〃-5/-85,〃eN‘.证明：｛%—1｝是等比数列.

变式32.(2024•全国•高三专题练习)已知｛%｝是各项都为正数的数列，S“为其前〃项

1(1、

和，且。।=1,S=-q+—,

n21

⑴求数列｛%｝的通项2：

(2)证明:——+——+…+------<21-----

25.3s25+1电ISn,J

变式33.(2024•河北石家庄•高三石家庄二中校考阶段练习)数列｛%｝的前〃项和为

S“9=2'生=4且当〃22时，3s…2s..S-+2"成等差数列.

(1)求数列｛七｝的通项公式：

⑵在《和牝”之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为乙的等差数列，在数列｛4｝

中是否存在3项4,44(其口血比卬成等差数列)成等比数列？若存在,求出这样的3

项：若不存在，请说明理由.

变式34.(2024•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)己知S“是数列｛«,｝的前

〃项和，a,=2,5“=a”“+l.

(I)求数列｛〃“｝的通项公式：

(2)已知”=一，求数列他,｝的前“项和乙.

“IT

变式35.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛4｝,S“为数列｛q｝的前〃项和，目满

足6=1,3s“=(〃+2)a“.

⑴求｛%｝的通项公式；

II111

⑵证明：『v<2+『“4+&£<x+J…

变式36.（2024•河北沧州•校考模拟预测）已知正项数列｛6｝的前"项和为工,满足

%=2疯-1.

（1）求数列｛«,｝的通项公式；

⑵若bn=ancos等,求数歹IJ他,｝的前3/1+1项和4+I.

变式37.（2024•全国•高三专题练习）已知各项为正数的数列｛«,｝的前〃项和为S“，满

足%+S.=，3q=2.

（I）求数列｛«,｝的通项公式：

⑵设白喙,求数列｛纥｝的前“项的和J

变式38.（2024•全国•高三专题练习）记S”为数列｛«,｝的前〃项和.已知

2V

。+〃=〃+1.证明：｛/｝是等差数列；

n

【解题方法总结】

对于给出关于/与S“的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理

选择.一个方向是转化S”为心的形式，手段是使用类比作差法，使S“-SN=%（，整2,

故得到数列｛4｝的相关结论，这种方法适用于数列的前”项的和的形式相对独立的

情形；另一个方向是将%转化为S“-北（"22,“eW）,先考虑S“与S,一的关系式，继

而得到数列｛S.｝的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解｛4｝的问题，这种情形的解

决方法称为转化法，适用于数列的前〃项和的形式不够独立的情况.

简而言之，求解《与S”的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化S,,的形

式为%的形式，适用于S”的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化4的形式为S.

的形式，适用于S”的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对

”的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注〃的范围.

题型九：周期数列

例25.（2024•陕西咸阳・武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列｛4｝满足6=3,

〃同=「《，记数列｛4｝的前〃项和为S“，则（）

A.B.53n+1-53n=-1

C.。网.同“-2=TD.孔=20

例26.（2024•广西防城港•高三统考阶段练习）已知数列｛/｝满足若

1一4“

%=；，则"2021=（）

A.-2B.-1

c.ID.2

例27.（2024•四川成都•四川省成都市.玉林中学校考模拟预测）已知数列｛““｝满足：

1=1,a2=2,6,,2=4“-4，HGN,,则“2阳=（）.

A.-2B.-1C.1D.2

变式39.（2024•天津南开•高三南开中学校考阶段练习）已知数列｛%｝满足，4=-3,

a-1

4+1="+],则=（）

n

A.-B.2C.—D.—3

32

变式40.（2024•江苏淮安•高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便

有十天干与十二地支•十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庾、辛、壬、癸：十二地支

即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个

天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲'’起，地支由“子”起，

比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅以此类推,排列到“癸酉”

后，天干回到“甲'’重新开始,即“甲戌”,“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始,即“丙

子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（）

A.壬午年B.辛H年C.己亥年D.戊戌年

变式41.（2024•云南昆明・昆明一中模拟预测）已知数列｛%｝满足

4=lM=3,4r=4t_1+4”+i（〃eN\〃22）,则%心=（）

A.-2B.1C.4043D.4044

变式42.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足q+」一=】，若%.=2,则

a”+i

«,=（）

A.-]B.：C.-D.2

22

【解题方法总结】

（I）周期数列型一：分式型

（2）周期数列型二：三阶递推型

（3）周期数列型三：乘积型

（4）周期数列型四।反解型

题型十：前〃项积型

例28.（2024•全国•高三专题练习）己知数列｛4｝的前〃项和为S“,且满足

4>0,S"=，数列｛d｝的前〃项积T/t=2"二

（I）求数列｛%｝和｛2｝的通项公式；

⑵求数列｛/9｝的前〃项和.

己知黑—*=

例29.（2024•全国•高三专题练习）设Z为数列｛“”｝的前〃项积.2.

*n

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵求数列yy的前〃项利.

例30.（2024•全国•高三专邈练习）设S,,为数列｛4｝的前〃项和，1为数列｛，｝的前〃

项积，已知!=工91.

nn

⑴求以，S2.

(2)求证：数列；7二，为等差数列:

工―L

(3)求数列｛«,｝的通项公式.

变式43.(2024•福建厦门♦高三厦门外国语学校校考期末)Z为数列｛4｝的前〃项积，且

21,

---1--—1

(1)证明:数列｛7+1｝是等比数列;

(2)求｛凡｝的通项公式.

变式44.(2024•江苏无锡•高三无锡市第一中学校考阶段练习)已知数列｛〃“｝的前〃项

、.…r4A应n2+n(、,\

之积为瓦,，且U+广+…+,=］一(〃eNT).

1

•・b｛b2bn2，

⑴求数列，答和｛〃,,｝的通项公式：

⑵求/(〃)=5+%+%+…+力2”-1+2”的最大值.

变式45.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛«,｝的前〃项积7=2"、⑵'.

n

(I)求数列｛«,｝的通项公式；

⑵记2=log/4，数列｛2｝的前〃项为S“，求S“的最小值.

变式46.（2024•全国•高三专题练习）已知7,为数列｛4｝的前"项的积，且4=；,S”

为数列｛/｝的前〃项的和,若北+2stsi=O（〃wN，几.2）.

（1）求证：数列｛｝是等差数列；

（2）求｛4｝的通项公式.

变式47.（2024•全国•高三专题练习）记5.为数列｛«,｝的前〃项和，2为数列｛S.｝的

前"项积，已如春冬!-2.

S“bn

（1）求数列｛2｝的通项公式：

（2）求｛4｝的通项公式.

【解题方法总结】

类比前〃项和求通项过程：

<I）"=1,得《

（2）时，o“=Z-

题型十一：“和”型求通项

例31.（2024•河南月考）若数列｛4｝满足—.为常数），则称数列｛4｝为等比和

数列，A称为公比和，已知数列｛为｝是以3为公比和的等比和数列，其中6=1,令=2,

则明=----•

例32.（2024•南明区校级月考）若数列忆“｝满足%+4丁=,2则用“=.

例33.（2024•青海西宁•二模（理））已知S“为数列｛4｝的前〃项和,«,=1,

a”+i+2S”=2〃+1,则5刈2=（）

A.2020B.2021C.2022D.2024

变式48.（2024•全国•高三专题练习）数列｛q｝满足6GZ,%1+q=2〃+3,且其前〃

项和为S“.若则正整数〃—（）

A.99B.103C.107D.198

变式49.（2024•黑龙江•哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列｛q｝的前〃项和为

S”，若S.u+S0=2/（〃wN）且a产。，%>=28，则4的值为

A.-8B.6C.-5D.4

变式50.（2024•全国•高三专题练习）数列｛〃“｝满足：4=0,，%+可=2”，求通项

变式51.（2024•全国•高三专题练习）数列｛q｝满足：4=04M+4=2,求通项

【解题方法总结】

满足仁川+〃“-/（”），称为“和”数列，常见如下几种：

（I）“和”常数型

（2）“和”等差型

（3）“和”二次型

（4）“和”换元型

题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型

例34.数列［an］满足a…+（-!）**'«„=3/1-1，前16项和为540,则%=.

例35.（2024•夏津县校级开学）数列（〃“｝满足3〃-1，的16项和为508,则

例36.（2024•全国•高三专迤练习）己知数列｛q｝满足：％=3,%%=出“（〃最），求

此数列的通项公式.

变式52.（2024•山东・校联考模拟预测）已知数列｛«,｝满足

凡+21为奇数

4=一2"*

初+2,〃为偶数.

⑴求他力的通项公式;

⑵设数列｛«,｝的前〃项和为邑，且求”的最小值.

变式53.（2024•湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测）己知数列｛《,｝满足q=3,且

2』,〃是偶数，

一勺-1,〃是奇数

⑴设4=见“十%,一，求数列他,｝的通项公式:

（2）设数列｛«,｝的前〃项和为S”，求使得不等式工＞2023成立的〃的最小值.

变式54.（2024•全国•高三专题练习）在数列｛q｝中，［=2,%=8,且对任意的

MGN*»都有%+2=41-4a1t.

⑴证明：｛“7-2©是等比数列，并求出｛«,｝的通项公式:

^-,n=2k-\

⑵若“〃，(kwN)且数列｛2｝的前“项枳为人求7和%.

log52°*',n=2k

【解题方法总结】

(I)利用〃的奇偶分类讨论，观察止负相消的规律

(2)分段数列

(3)奇偶各自是等差，等比或者其他数列

题型十三：因式分解型求通项

例37.(2024•安徽月考)已知王项数列｛q｝满足：q=〃，2a“=0,

(I)判断数列｛〃“｝是否是等比数列，并说明理由；

(II)若"2,设q=2,-”.〃GM,求数列的前"项和S”.

G

例38.(2024•怀化模拟)已知正项数列｛%｝满足q=1,2欣-at,_tan-6”,3=0(/»..2,/?N*)

设2=1嗅4,•

(1)求如h^b3;

(2)判断数列｛〃,｝是否为等差数列，并说明理由；

(3)｛5｝的通项公式，并求其前〃项和为S.