概率论与数理统计exc 48学时答案

概率论与数理统计exc48

一、选择题

515253545556575859606162

BACACCBBDDBA

636465666768697071

DDCABDDCC

二、填空题

9-1

1、7!=50402、0.23、E(X)=5,Vhr(X)=164、—5、相6、-

104

1.27

7、0.8051,0.82538、—9、0.710、E(X)=9,VZ/r(X)=1611、一12、

128

-225、711

13、0.414、0.215.ABC16.0.5817.18.—

(0.8().2,27l~

3<15、

19.20.P⑵21.ABC22.123.24.l-(l-p)4

8Q40.6,

]_158

25.26.P(1.4)27.28.—29./(x,y)=，

2649310,其它

30.831.0.632.0,2533.0.326434.0.735.0.345636.0.7537.0

7

38.-0.539.f(x,y)=«440.0.273441、F(+oo,y)42、43、

io

0,其它

5

44、0.977245、F0)；F(y)-F(^).46.-

928

15PBPPB「35、

47、48、（）=^（A）（|A）49、

36I=I,0.8°a

“力一"M-一r+8

50、0)(--)-0)(———)51、人（幻=］工/（元,））办(-co<x<+oo),

p+8

52P（y=〃X+b）=l

fY(y)=(-00<j<+co)、存在常数,使得

J-co

9

53、0.754、0.255、56、F{x)=P(X<x)(-<x)<x<4-co)

10

2_

P(x,<X<x2)=F(X)-F(X)57、58、一x

213

2

59、0.460、561.n

y

三、计算题

C22

1、解：设A表示取到的都是合格品，则p(A)=W=W

Q5

Q

设B表示取到的一个合格品一个次品，则P(B)=4,2=—

《15

设C表示至少有是一个合格品，贝|JP(C)=P(A)+P(B)=-+—=—

11

2、解：设A,B,C表示产品来自甲乙丙三个工厂，D表示抽到次品，则有以下概率

P(A)=02P(3)=0.3,P©=0.5

P(O|A)=0.05,P{D\B)=0.04,P(D\C)=0.02

由全概率公式，得P(D)=0.2x0.05+0.3x0.04+0.5x0.02=0.032

由贝叶斯公式，得

0.5x0.035

P(A\D)=

嗑箸喘尸网如需喘—0.03216

x>0

3、解：(1)/。)=3)=；

x<0

(2)P(X>1)=1-P(X<1)=1-F(1)=-,

e

(3)尸(X<2)=尸⑵=1一(1+2)4=1-3"2

e

4、解：由已知可得联合分布律为：

X-102

115

p

4312

2

Y01

3

TT5

P

4312

l2

5、解：设A表示恰好有一位精通英语，则尸(4)=上rc苧=二3

G5

l2

设B表示恰好有2位精通英语，则P(B)=^CC=—3

Q10

339

设C表示有人精通英语，则P(C)=P(A)+P(B)=—+—=—

51010

6、解：设A表示服用违禁药，B表示检查呈阳性，则有以下概率

-5

P(A)=0.l,P(BIA)=0.9,P(B\A)=~=

180

119

由全概率公式，得尸(8)=0.1x0.9+0.9x——=——

180200

0.lx0.918

由贝叶斯公式，得P(A|B)=

1919

200

7^解：(1),/1=Jf{x}dx=|Ae'fir+joAe~xdx=2A

1

P(0<X<1)

。e

8、解：由已知可得X的边缘分布律为:

X01

P0.60.4

由已知可得X+Y的分布律为

X+Y-1012

P0.20.20.50.1

9.解：

(1)P(A)=1-P(A)=1-0.36=0.64,

(2)P(A-B)=P(0)=O,P(B-A)=P(B)-P(A)=0.43o

10.解：设事件A3,c分别为甲乙丙车间生产的产品，事件。=｛次品｝,

由全概率公式得：P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D\B)+P(C)P(D|C)

=0.7x0.02+0.1x0.03+0.2x0.05=2.7%

由贝叶斯公式得：「他)=迪=小也」

1P(D)P(D)27

111127

11.M：由条件得：2C(-+-+-+—)=1,则C=—；

1392780

7G1

且P(XK1.2)=P(X=0)+P(X=1)=——(1+-)=0.9.

803

12.解:P(|X|>3)=1-P(|X|<3)=1-P(-3<X<3)

=1-<—)=1-[0)(1)-①(一0.5)]=1-0(1)+1-①(0.5)=0.4672

444

13.解：由于直径X服从［2,5］上均匀分布，所以其概率密度函数为

〃—,xe[2,5]

W)=3'

0,其它

而两随机变量有y=j乃d,则其反函数为X=〃（），）=（£产3y"3,

671

且其导数的绝对值为忖（）,）卜（1/3-2/3

y

由性质得y的概率密度

6彳严,上［学，等］

加y)=3o

0,其它

14.解：情形甲、乙中，X、Y的边缘分布都分别为:

X36Y14

P1/32/3P1/32/3

甲、乙两种情形的联合分布不同，但X、Y的边缘分布却相同，因此他们的关系是：联合

分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布。

15.解：(X,y)的分布律列出下表:

P00.100.30.200.10.10.2

(X,Y)(0,1)(0,2)(0,3)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

X-Y-1-2-30-1-210-1

XY000123246

所以，(1)x—y的分布律为:

X-Y-3-2-101

P00.10.40.40.1

(2)XY的分布律为:

XY012346

P0.10.30.300.10.2

16.解：因为Au5

(1)P(A+B)=P(B)=0.6,

(2)P(A-B)=P(0)=0,P(A8)=P(8—A)=P(8)—P(A)=0.4。

17.解：设事件A,分别为甲乙丙车间生产的产品，事件｛次品｝,

由全概率公式得：

P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D\C)

=0.1x0.04+0.5x0.02+0.4x0.03=26%

由贝叶斯公式得：

P(CD)P(C)P(DC)_6

P(C\D)=

P(D)-P(D)-13

18.W：由条件得：C(-+i+-+-)=l,则8

124815

且。(冈＜2.5)=1-尸(X=3)=1—：X2=2

o1515

19.解：(x,y)的分布律,列出下表:

p0.10.20.10.20.10.1000.2

(X,Y)(-1,-2)(-1,1)(-1,2)(0,-2)(0,1)。2)(4,-2)(4,1)(4,2)

2X+Y-4-10-2126910

X/Y1/2-1-1/2000-242

...............(4分)

20.解：

_9+]v.12+1

P(|X|>2)=1-P(|X|<2)=1-P(-2<X<2)=1-P(-------<-------<——)

2

=l-[O(1.5)-0(-0.5)]=1-0(1.5)+1-0(0.5)=0.3753

21.解：⑴P(A)=1-P(A)=1-0.4=0.6P(B)=1-P(B)=1-0.6=0.4

(2)P(Au8)=P(8)=0.6

(3)尸(A8)=P(B-A)=P(B)-P(BA)=P(B)-P(A)=0.6-0.4=0.2

1।「22z~»26

22.解：P{X=3}=-=-,P{X=4)=-1=-,P{X=5}=-±=-,

IvL51UL51U

于是X的分布律为

X345

136

P

101010

23魂窣：用B表示产品是次品，Ai表示甲厂的产品，上表示乙厂的产品，4表示丙厂的产

品。

（1）P（B）=P（A）P网小P（4）P（3|4）+P（4），5|4）

=0.5X0.01+0.3X0.02+0.2X0.05=0.021。

p(43)_P(4)尸(叫4)_0.5x0.01

(2)P(A|5)=*24%，

P(B)-1\B)0.021

71

A——B=()

24.解：⑴由/(+8)=1有：<2解之有：A=-,B=-

A+-B=l2兀

2

(2)P(-1<X<1)=F(l)-F(-l)=；(3)f(x)=Ff(x)=]

^■(1+X2)

25.W：因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),

所以P(A3)=P(A)+P(B)一尸(AU3)=0.5+0.7-0.8=0.4

于是，P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5-0.4=0.1

P(B—A)=P(B—AB)=P(B)—P(AB)=0.7-0.4=0.3.

26.解：记3=｛收到信号4=｛发出信号"•“｝

(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=0.6x0.8i0.4x0.1=0.48i0.04=0.52

⑵p⑷加丁0.6x0.8_12

0.52~13

f+8f111

27.解：(1)vI/(x)dx=Ia(l—x)dx=a(x--x2)|g——a=1a=2

J—8J。乙乙

「+8

=12x(1-x)dx=2(#一冢)《=g

(2*(X)=xf(x)dx

—8

2x2(l-x)dx=2(1x3-1x4)|J=

E&)=

54o

1121

D(X)=E(X2)-E2(X)=--=-

o□o

28.W：由题可以得X,Y的分布列为

X10X10

p1/43/4P1/43/4

Z的可能取值为0,1,2,且X与Y相互独立，所以

339

P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=-x-=—

4416

P(Z=l)=P(X=0,Y=l)+P(X=1,Y=0)=P(X=0)P(Y=l)+P(X=l)P(Y=0)

31316

=—x—i——x—=—

444416

P(Z=2)=P(X=1,Y=l)=P(X=1)P(Y=1)=-x-=—

4416

分布律为：

X012

P9/166/16i/ie

29.解：设A=｛取5个钱币钱额超过壹角｝,于是有

由题意可知，当取两个5分币，其余的三个可以任取，其种数为:

=c2

而当取一个5分币，2分币至少要取2个，其种数为：

因此有利于事件A的基本事件总数：

m=C；C；+C；C；C；+C\C｝Cl=126

1261

故

cio乙

30.解：记A=｛某人的资金投入基金｝,8=｛某人的资金投入股票｝,

则RA)=0.58,P(B)=0.28,P(AB)=0.19

P(AB)_0.19

(1)KB|A)==0.327；

P(A)"(158

尸(AB)0.19

(2)KA|B)二0.678o

HB)"(128

31.解:⑴记5=｛该生是男生｝,4=｛取自1班｝,4=｛取自2班｝，

P（B|A）哈,RB他）哈，

已知

841

所以，P（B）=^P（4）P（B|A）=lxA+lx——=——

21021470

RB）唱后

(2)

32.解：记3=｛中途停车修理｝,A=｛货车｝，4=｛客车｝，则B=

RA)P(B|A)

由贝叶斯公式有P（A|忸）

KA,)P(B|A,)+P(A2)P(B|A)

-x0.02

=2~1=0-8°

-x0.02+-x0.01

33

33.解：依题意X可能取的值为-3,1,2,则

PCX=-3)P(X=1)=-,KX=2)=-

326

r-312、

X的分布律为X〜111，

<326;

0x<-3

-3<x<1

分布函数为尸（x）二；

1<x<2

6

1x>2

34.解：(1)P(X<1)=F(l)=1-(1+De-1=1-2e-l；

(2)P(X>2)=1-P(X<2)=1-F(2)=3e~2

（3）由分布函数尸（x）与密度函数/（x）的关系，可得在/*）的一切连续点处有

、XC~XY>0

〃x)=F(x),因此/")二

0其他

35.解：Q)由题意知某人路上所花时间超过4()min,他就迟到了，因此所求概率为

40-30

P(X>40)=1-0(])=1-^(1)=1-0.8413=0.1587

(2)记y为5天中某人迟到的次数，则y服从〃=5,〃=0.1587的二项分布，5天中最

多迟到一次的概率为

P(Y<1)=(0.1587)°x(0.8413)5+().1587x(0.8413)4«().819

36.解：设随机变量丫表示平均收益(单位：万元)，进货量为at,

丫13X-(〃-X)x<ci

[3ax>a

ca1「4000I

则E(y)=[(4x-a)----dx+\3a——dx

7

J2000'2000J。2000

1,

=----(—2/+1400067-8000000)

2000o

要使得平均收益£(y)最大，所以令(一2/+14000。一8000000)’=0,得。=3500，。

37.解：设4,4,分别表示“产品为甲，乙，丙车间生产的”，

B表示“产品为次品”，则4,4,4构成一个完备事件组。

依题意，有

P(A)=45%,P(A)=35%,P(A)=20%

P(BIA)=4%,P(BI4)=2%,P(B14)=5%

由贝叶斯定理，有P(4|8)="』)尸(3血)2

£P(4)P(5|A)7

38.解：E(^)=1X0.4+2X0.1+3X0.5=2.1

E(77)=1x0.1+2x0.64-3x0.3=2.2

乙的技术好

39.P(AB)=LfP(AB)=P(A3)

9

・・・A与B相互独立，与8,A与B,A与B都相互独立

由P(A,B)=P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))

P(4B)=P(A)P(B)=(1-P(A))P(B)得

P(A)=P(B)

又由P(4B)=P(A)P(B)=(1-P(4))(l-P(B))=：得

P(A)=P(8)=|

40.解：(1)由联合密度函数的性质，得

1=匚1;小，y)dxdy=『『Q3…公力=k^e^dx\y^dx

f_k

=—e-^

12。~n

:.k=12

(2)P(0<X<1,0<y<2)=12e-3xdx^e^ydx

：=（1—「3）（1一"8）

y3x

f+00dyx>03e-x>0

(3)fx(x)=j/(x,y)dy=<

ox<00x<0

f+00y>0L'y>0

/y()')=«L/ay)公=,Jo

0y<00y<0

・••/(%,y)=fx(x)A(y)・•.X与y相互独立。

41.解：本题中〃=72,cr未知,

2424

由尸(X296)=0.023,得。(一)=0.977,查表得一二2,即b=12。

aer

则X〜N(72122)。

84-7260-72

P(60<X<84)=A—T—)-^(7F1

1乙

=0⑴-0(-1)=0.6826

42.解：设随机变量y表示平均收益(单位：万元)，进货量为at,

yj3X-("X)x<a

3clx>a

ra1广4000|

则E(K)=[(4X-6Z)-------dx+[3a-------dx

Jzooo、2000J。2000

=-^―(-2/+14000。-8000000)0

2000

要使得平均收益E(y)最大，所以令(一2片+14000。—8000000)'=0,

得々=3500/。

f-wo/»2X4

43、解：(l)E(X六xf{x}dx=x--dx=-

J—8J。23

2

E(X2)=J：//(外公=j'x.-dx=2

・•.D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2-(^)2=1

2

(2)D(2-3x)=D(-3x)=9D(X)=9x-=2

⑶P/0vx<〃=(/(x)公=(5公=；

44.解：x的密度函数为/(x)=i—e方",故似然函数为:

J27rb

对数似然函数为:

〃2

1

1(0)=--ln(2^-)--Incr2一

2b2

22i=\

似然方程为：

811〃

==_〃)=0

港bi=\

81n1〃一

2b2+2b4

d(y/=i

解得：/Z=X,<72=S2,可以验证，这时似然函数达到最大.

45.解：由题设，4的似然函数为

L(2)=n/(Xp2)=VeM，不冷…，Z>°，

Z=1

则力的对数似然函数为

lnL(/l)=nIn2-/l^xi9x],x2,••>0,

i=i

两边关于/求导，有

JinL(2)n

2%

dA2/=]

令。如〃㈤=0,即卜方七=0

clX4X=1

解得2的极大似然估计为

A,7I

A=—！-=-=0.001

n-

/=1

46.解、最大似然函数为

〃〃)=立〃(1-〃)1

P〃(l—P产

/=1

InL(p)=7?In〃+(2为一〃)ln(l—p)

i=l

,\x:-n

dLnL(p)_n占

------------=-------------------=u

dpp1-p

P=d/)T=(5)7

〃Z=1

四、综合题

1、解：

Z012

961

P

161616

X01

13

P

44

U02

97

P■—

1616

2、解：E(X)=^Jrf(x)dx=£(2x-2x2)^=1

E(X2)=公=£(2X2-2d)公=3

111

/.D(X)=E(X27)-[E(X)1?2=----=—

6918

3、解：(1)因为上班时间服从X〜N(30/00),所以迟到的概率为

40-30

P(X>40)=1-F(40)=1-皿I。)=1一①⑴=0.1587

(2)设一周内迟到次数为匕则y〜8(5,内1587),至多迟到一次的概率为

p(y<i)=p(r=i)+p(y=o)

=5X0.1587X0.84134+0.84135=0.819

4、解：

X-1012

P().30.20.2().3

Y014

P0.20.50.3

E(y)=0.5xl4-0.3x4=1.7

2^解：E(X)=Jxf{x}dx=£(2x-2x2)dx=

E(X2)=J：x2f(x)dx=£(2x2-2x3)dr=-

.・.D(X)=E(X2)-[E(X)]2=---=—

6918

5、解：设甲乙到达时刻分别记为x»,则如果有船需要等待，x,y应该满足

|X-K|<6

1?

即—=—(----Fci),联立解得：a=—力=一

1831899

7.解:

33

(1)〃满足T，得

i=lj=l244

⑵…P"区1，P・2=H五，P\2=3KPLp.2

t乙r1//1

即不满足p。=Pi.xp.j,所以x与y不相互独立。

8.证明：由题意知，

P(A)=P(B)=P(C)=-，P(AB)=P(BC)=P(CA)=-

24

容易验证：

P(AB)=P(A)P(B)=L,P(BC)=P(B)P(C)=LP(AC)=P(A)P(C)=-,

444

所以4,B,C两两独立；

但是，P(ABC)=-^-=P(A)P(B)P(C),

48

所以A,8,C不相互独立。

9、解：⑴fx(x)=^f(x,y)dy

xx

当x>OBJ',fx(X)=J：f(x,y)dy=^edy=xe

xe'xx>Q

当xKO时，/x（x）=。，fx（x）=,

0x<0

(2)P(X+r<l)=jjf(x,y)dxdy=JJe^dxdy

X+)咚Ix+y<\

0<y<x

=J：dy^ye-xclx=1+/—2/；

—ptr>0广+81——x——x-

5

10、解：⑴/(x)=《5,P{X>1O)=J1O-e5dx=e|需=1

0,x<0

2-4

(2)P{YN1}=1-P?(0)=l・C；(e-2)。(1_e-2产=2e--e

11.总体指标为X,则有

E(X)=『,D(X)=^g

212

-［巴皿=6

E(X)=XI2

<2

D(X)=S^-af=22

、~12~~

\a-6—2^3

［夕=6+26

五、证明题

1-证明：•.・AUB=AU(8—A)=AU(B—A8)且A^B-AB)=Z(.B^AB

P(AU8)=P(A)+P(B—AB)=P(A)+P(B)_P(AB)

2-证明：设4=｛服用违禁药品｝,8=｛药检是阳性｝.则根据已知有

-5

P(A)=0.1,P(B\A)=0.9,P(B|A)=—,

由全概率公式得，

-5

P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(BIA)=0.1x0.9+0.9x—=0.095

由贝叶斯公式，得

P(A)P(8|A)0.lx0.9

P(A|8)二=0.9474>0.9

~W-0.095

因此，如果一个运动员的药物检查结果是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率达

94.74%,超过90%。

3证明：PCAB}=P(B・AB)=P(B)-P(AB)

•・・A,8独立，所以尸(AB)=P(A)P(8)

・・.PCAB)=P(B-AB)=P⑻-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)

=P(3)(1P(A))=P(B)P(A)

由事件相互独立的定义可知事件38独立。

2x

J："。,y)dy=j；4/*+#4，=41,「'"2")，=2e-,x>0

4.证明：fx(x)=

0,，其它

2e-2y,y>0

同理可得：、4(y)=«

0,其它

易见，f(x,y)=/x(x)4(y)，-8<x<+8,y><y<+8,因此X与Y相互独立

1上

5.证明：・再〜N(0,l)的密度函数为/G)=Le2,.・.f(T)=f*)

广-K"=T-x

・•.①(-x)=Jf(t)dt=-Jf(-u)du

f+<XJfX

=(f(u)du=1-(f{u}du=1一①(x)

JXJ-0O

6.证明：由概率基本性质，因为ABuC,有P(A8)WP(C).

考虑至|JP(A)=P(AB)+P(AB),P(B)=P(AB)+P(AB),(

以及P(AB)+尸(4豆)+P(AB)-l-P(AB)

有

P(A)+P(B)-P(C)<[P(AB)+P(AB)]+[P(AB)+P(AB)]-P(AB)

=P(AB)+P(AB)+P(AB)=1-P(AB)<1

7证明：对任何实数y,

1v+M1-四绡

P{Y<y}=P[X<ay+^]=[―j=e2