第一章空间向量与立体几何章末题型归纳总结

第一章空间向量与立体几何章末题型归纳总结

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题

经典题型一：空间向量的概念及运算

经典题型二：利用空间向量证明位置关系

经典题型三：利用空间向量计算距离

经典题型四：利用空间向量求空间角

经典题型五：共线与共面问题

模块三：数学思想方法

①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题

经典题型一：空间向量的概念及运算

例1.（2023•黑龙江哈尔滨•高二尚志市尚志中学校考阶段练习）在四面体。月8。中，OA=a,OB=bfOC=^

点M在棱04上，且两=2赤，N为8c中点，则诉=（）

B.--a+-b+-c

322

22-I

D.——a+—h——c

332

【答案】B

【解析】丁点M在线段可上，且。用=2"月，N为8c中点,

OM=-OA,丽=■!■(历+反)=益+斥，

3222

=ON-OM=-OB+-OC-^OA=--a-^-c.

223322

故选:B.

例2.（2023•福建宁德•高二校考阶段练习）直三棱柱中，若归=万，CB=b,西=,,则港=

().

A.-a+b-cB.a-b+c

C.-a+b+cD.

【答案】A

【解析】根据向量的加减法运算法则得:

j^=4G+qc+C5=^c-cq+C5=-C4-cq+C5=-^-c-5.

故选：A

例3.(2023・全国•高二专题练习〕若忖，最可是空间的一个基底，且向量

｛方砺=1—2^+2晟灰^=^+31+对不能构成空间的一个基底，则人()

A.|B.』C.-1D.2

3244

【答案】D

【解析】因为向最CM=q+e2+e3,OB=eA-2e2+2e,,OC=kel+3e2+2e3不能构成空间的一个基底,

所以33、OB-1共面，故存在实数％、y使得5?=.在3+»丽,

即上+36+2%=x(q+与+0+j(q_26+2W=(x+0q«x-2»e2-(x+2)e,

5

k=x+y2

因为麻£可是空间的一个基底，则x-2y=3,解得.1

尸-7

x+2y=2

kJ

4

故选:D.

例4.(2023•高二课时练习)在以下命题中:

①三个非零向量3,h，Z•不能构成空间的一个基底,则£，5,工共面;

②若两个非零向量1石与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则入B共线;

L1U1UU1UUUUUUUCL

③对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若OP=2OA-2OB-2OC，则尸，A,B,C四点共面

④若25是两个不共线的向量，且三芝+加口小凡功/4),则,五斗构成空间的一个基底

⑤若｛工31｝为空间的一个基底，则,+及3+之+2工2+1｝构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.

①根据空间基底的定义，三个非零向量1,B,5不能构成空间的个基底，则I,5，5共面；故命题①

正确.

②由空间基底的定义，若两个非零向量不，5与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则B共线，

若方不共线，则万，B共面，一定有向量与2,B不共面；故命题②正确.

UlUUULuuuuUUUII

③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,当"=2CM—2O8-2O。时，若尸，A,B,。四点共面,

1—2—〃=2

贝=5十〃衣，丽OA=A[OB)I//(5COA),OP=([-A-^)OA+AOB+JL^OC,A,=2

〃=-2

方程组无解，故。，A,B,C四点不共面：故命题③错误.

④若3，万是两个不共线的向量，且-=>+应则向量1与1,万构成共面向量，｛瓦瓦现不

能构成空间的一个基底；故命题④错误.

⑤因为B+K+2Z=a+b+c+a，所以向量a+B,5+c+2a,c+a共面,

工+3+"+2£,"+"不能够成空间的一个基底，故命题⑤错误.

真命题有2个.

故选：C

例5.(2023・广西百色・高二统考期末)在正四面体。力〃。中，OA=a^OB=b^OC=c^D为BC中点,E

为靠近。的三等分点，用向量B，£表示诙=()

一I-2—-

A.OE=^-a^b^cB.OE=-a+—b^-c

33323

—1-1-1-

C.庞」Z+U+LD.OE=—a+—b+—c

242244

【答案】A

【解析】因为。为8C中点,

所以而=诟+而=荔+1芯=荔+，麻-荔

22、122

因为万为力。靠近。的三等分点,

2—

所以力七=54。，

■―■，■・，/・・・・—・I-，，・■■・

所以OE=CM+4E=O4+§40=。4+§(48+力0

=OA+^(OB-ai+OC-OA)t

即前=-1次」方+2而.

223

故选：B.

例8.（2023•全国•高二专题练习）在平行六面体力中，4％=1,AB=4D=6,且

N4"=N4”=45°,ZDAB=60,则忸〃|=()

A.1B.42C.JiD.2

【答案】C

【解析】以｛方，而，麴｝为基底向量，可得的=前+而+西=一1互+而+麴,

uuiruuruuiruuu.uuruuuruuiruuruuiruuruuiruuiruuir

则8R2=(-AB-¥AD+AA^=AB2+AD2+AA.2-2AB-AD-2AB-AA.+2ADAA

=5-4X1-2>/2X^+Sx专=3,

.••网=G

故选：c.

例9.（2023•全国•高二专题练习）如图，正四面体48C的高以）的中点为O,PC的中点为

（1）求证：AO,BO,CO两两垂直；

Q）求（瓯码.

【解析】（1）设方=1VB=b：VC=cr正四面体的棱长为1,

*7I1

因为近=丽+4方=1豆+二x-（瓦i+月^）=西+一（万一为十五一西）

323

=妒+西+叼=2»）,

Uc)-^=|(

Jd=Vd-VA=-VD-VA=-(a+「伍+15小

26、

而=而—西=；西一两=甑+/+彳伍+15q,

c3=ra-KC=|ra-FC=1(«+^+c)-c=1(a+^-5e),

所以而历=今伍+工一52.伍+联一5q=记（184-响)

=-718x1x1x005^-9^=0,所以芯_L丽，即4O_L8O.

363)

同理，AO1CO,BO工CO,所以力O,BO,CO两两垂直.

（?）而=前+屈=一1仿+刃+小权=3(—212行+斗

3

1

又油27才-18a-小(277号,

两为=加2£-2右+c).'(B+c--211

X9Q=—x9=—

364

I

4_V2

所以cos（DW,力。）二DMAO

FV2=T*

—X----

22

乂（而，血”[0,江所以〈丽，而）=：

例10,（2023•江苏连云港•高二连云港高中校考期中）平行六面体力8。。-44GA中，底面幺8CQ是边长

为I的正方形，侧棱44=2,且/44。=/4/"=60P,A/为力力中点，。为8瓦中点，设方1,AD=b，

AA-c；

（I）用向量"，b，"表示向量两；

（2）求线段的长度.

【解析】（1）因为"为8。中点，P为BB]中点,~AB=a»而=坂，麴="，

所以闲=而+丽7=工丽+，丽

22

I---

=-（b-a-c）；

（2）因为平行六面体48CZ>-44GA中，底面48CZ）是边长为1的正方形，侧棱44=2,且

力。=/448=60P,

所以a卜q=1,卜|=2,ab=0,a-c=bc=\x2x^=\,

所以PM2=-（b-a-c）2=—（h*+a'+c~-2a-b-2b-c+2a-c）

44

所以I而卜半，即线段尸M长为手

经典题型二：利用空间向量证明位置关系

例11.（2023♦高二单元测试）如图，在多面体力4c-44G中，四边形是正方形，AB=AQBC=EAB,

BC〃AC且MG=；8C,二面角4--。是直二面角.

⑴求证：44,平面力4J

(2)求证：力耳〃平面4G。.

【解析】(1)证明：由二面角4--c是直二面角，四边形4为正方形，则

AAc平面AABB],平面A^BBq平面ABC-45,可得A\1平面ABC.

乂因为AB=AC,BC=亚AB，所以4??+力。？=8。所以NC4B=90°，即C/_L4?,

所以力9/1C/4两两垂直，

以，为坐标原点，4C/8M4所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系力-xyz,

设48=2,则知点4(0,0,0),5(0,2,0),J,(0,0,2),C(2,0,0),C,(1,1,2),5,(0,2,2),丽=(0,2,0),

基=(0,0,-2),充二(2,0,0),

由于两两垂直，4cn』4=44C,44U平面44。，即力平面力4C,

故平面AAXC的一个法向量可取为3=(01,0),

而4耳二(0,2,0)=2〃，即4用〃工，所以4与_L平面」4c.

(2)证明：由(1)知寓=(0,2,2),布=(1,1,0),4C=(2,0,-2),

设平面4GC的一个法向量为加=(芭,必,马)，则一,

m-AtC=0

x+y=°—

即;；A»令内=1，贝IJ乂=7百=1，即

2再一2Z1=0

所以AB、-m=Ox1+2x(-l)+2x1=0,所以AB1±m,

又因为44a平面4G。，所以力叫〃平面4G。.

例12.(2023•全国•高二专题练习)如图，正三棱柱/18C-44G中，民尸分别是棱44,上的点，

A]E=BF=94.

证明：平面CEF_L平面/CG4.

【解析】证明：取8C的中点。，连接。力，

在正三棱柱ABC-A^Q中，不妨设AB=2aM4=3；

以。为原*,而,用分别为x轴和卜轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

则C（-a,O,O）,4（0,儡,0）,尸（a,O,l）,E（0,&,2）,

CF=（2a,0J）,cS=（a,x&,2）,CA=<我,0同尸<0,3）：

设平面。£尸的一个法向量为［=（』/,z）,

则〈—f-,取x=-l,则y=z=2a,即〃=（T,一。3,2白）；

n-CE=ax+\l3ay+2z=0

设平面力CC/的一个法向量为历=（也〃，e），

m-CA=am+yfim=0.

则〈---，取〃=一1,得=6，e=0,即〃?=（rG,-1,x0）.

7

m-CC}=3e=0'

因为盛.〃=一百+右=0，所以平面CE户_L平面力CC/i；

例13.（2023・全国•高二专题练习）如图，在三棱柱力A。-44c中，平面48C,D,K分别为楂力氏

8£的中点,BC=2,AB=2+,4G=4.证明：DE〃平面4CCM.

【解析】在三棱柱/灰?一/1/£中，平面4BC,8c=2,AB=2拒,4G=4.

所以4C=4G=4,则力。2=力夕+8。2,则48/8C,则如下图，

以3为原点，BC,BA,为x,Hz轴建立空间直角坐标系，

设阴二〃,则力（0,26,0）,8（0,0,0）02,0,0）

4（0,273,A）,5,（0,0,球,C,（2,0,机与0Cq,H1,0,小

所以DE=（1,-6〃）,JC=（2,-2x/3,0）,14=（0,0,A）,

设平面力CC/的一个法向量为z）,

AC-ii=2x-2yj3y=0l/厂\

所以《一，令y=i,则x=JJ,z=（）,即万=JJjo,

7

AAXn-hz-0'

所以瓦・方=（1「百，万）・（>/5/,o）=>/i_G+o=o,得万，

又。E（Z平面力CG4,所以OE〃平面/ICC/.

例14.（2023•全国•高二专题练习）如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面/8CO是正方形，P4工底面4BCD,

£是尸。的中点，已知44=2,04=2.

（1）求证：AE±PD；

(2)求证：平面尸平面尸NC.

【解析】(1)以力为原点，AB,力。，/伊所在直线分别为x轴，歹轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图

所示，

则8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

____UULU

所以/E=(1,1,1),PD=(0,2,-2),

所以近•所=2—2=0，所以力EJLPQ.

(2)连接8D,AC,如图所示,

因为产力_LIU8C。，BDu面4BCD,所以P4J.5。，

又因为四边形48C。为正方形，所以8OJ_4C,

又因为力CD4尸=彳，AC./Pu面HC,所以4。1面HC,

又因为BDu面PBD,所以平面尸Z?O_L平面P4C.

例⑸(2023•高二课时练习)如图所示，在四棱锥中，底面/BCD为矩形，尸QL平面/8CQ,

E为CP的中点，N为DE的中点、,DM=LDB,DA=DP=1,CD=2,求证：MN//AP.

4

【解析】证法一：由题意知，直线尸两两垂直，

以力为坐标原点，。4。。,。尸所在直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则Q(0,0,0),4(1,0,0),网0,0,1)叫0,1：)，叫g@

所以万=(-1,0』),而=J0,,

V44；

所以荻又JWCXP,故MNHAP.

4

证法二：由题意可得丽=砺+丽=1而+‘瓦=‘防」」(DC+D^

42422、7

=-BD+-DC+-DP=-BC+-DP=-(JD+D?\=-AP,

444444、f4

又MeAP,所以MV//4P.

例I6.(2023•云南大理・高二云南省下关第一中学校考开学考试〕如图，在四棱锥P-48CO中，底面48co

为矩形，平面尸COJ•平面48cO,AB=2,BC=\,PC=PD=C，E为PB中点.

⑴求证：PQ〃平面4CE；

(2)在棱尸。上是否存在点M,使得4MJ.8O?若存在，求P胃,w的值；若不存在，说明理由.

【解析】(1)设8。4c交与点凡连接勿

因为底面48CQ为矩形，所以尸为的中点，

又E为PB中点,板EF〃PD,

而尸。＜Z平面ACE,EFu平面ACE,

故PO〃平面力CE；

(2)在棱PO上存在点使得4WJ.8。；

取CO的中点为。，连接PO.R?,

因为底面18CQ为矩形，故8C_LCQ,

PC=PD=®，故。为BC的中点,则PO1CO,而尸为BZ)的中点,

椒OF〃BC,:.OF工DC、

又平面尸CZ)_L平面48CO,POu平面尸CD,平面尸CQD平面48CQ=C0,

故P。工平面480

故以。为坐标原点，。尸,OC',O2分别为*，■z轴建立空间直角坐标系，

则J(1,-1,OXD(O,-1,O),5(1,1,O),P(0.0,1),

设为=%(4e[0j])，M(x，W)，则两=4而，

x=0

即(右，/-1)=/1(0,-1,-1),则,可得0(0,-2,1-4),

z=1-2

故而=(-1—),而=(-1,-2,()，

因为4W18。，故痂.丽=0，HP1-2(1-A)=O,

解得％=；，

PM1

即在棱PQ上存在点M,使得力此时石7=].

例17,(2023•福建漳州•高二统考期末)如图所示的几何体中，平面4。1平面力BCD,AP/I。为等腰直角三

角形，4P0=90。，四边形/8CZ)为直角梯形，AB//DC,ABLAD,AB=AD=2,PQHDC.PQ=DC=1.

⑴求证：PD〃平面QBC；

⑵线段。8上是否存在点M满足丽=27(0425),使得力平面。水??若存在，求出2的值；若不

存在，说明理由.

【解析】(1)•.•尸。〃8,。。二。2，四边形。。。。是平行四边形，

PDUQC.

•：PD(Z平面QBC.QCu平面QBC,

:.PD〃平面08c.

(2)取4。的中点为q・/R4=P，..0P_L3.

•••平面PAD_L平面ABCD,OPu平面PAD,平面PADc平面ABCD=AD,

..OPJ.平面为BCD.

以点O为坐标原点,分别以直线OO,。尸为V轴，z轴建立空间百角坐标系。-pz,则x轴在平面/8CO内.

ZAPD=9^yAB=AD=2,PQ=CD=\,

.♦”(0,—1,0),8(2,—1,0),C(l,1,0),0(1,01),

设平面QBC的法向量为"=(x,)，，4,

-x+y+z=0,x=y+z,

万。0=0,-y+z=0.j=z.

令z=l,贝独=1,%=2,.二万=(2,1,1).

丽=(1-1),.•.西二(Z-j)，

.•.万7=而+函=(1+2,1-2,1-A).

乂平面08C的法向量为万=(2,1,1),平面08C,

.1+A1—A.1—A.1

・・----=----=----：.A=—.

2113

・•・在线段03上存在点M,使4必/平面。8C,且2的值是;.

例18,(2023•全国•高二专题练习)如图，在棱长为1的正方体力44GA中，点七为"。的中点.

(1)在8/上是否存在一点P,使上平面34E?

(2)在平面AA.B.B上是否存在一点M使。囚上平面B.AE?

【解析】(1)如图，以。为坐标原点，分别以D4,DC,所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐

标系，

则点/(I,(),0),，用(1,1,1),£>.(0,0,1),

^=(0,-1,-1),=

假设存在点尸（1,1,Z）满足题意，干是郎

0-l-z+l=0

D.PBA=0

所以，」},所以《

D\PB'E=U--+0-Z+1=()'

2

解得z=0与z=；矛盾,

故任B\B上不存在点使DF1平面B{AE.

（2）假设在平面力力圈5上存在点M使乙N_L平面

设N(1,b,c),

DN-BIA=O一/、

则-L-1,因为。声二18解一1,

AN4E=0

0—Z>—c+l=0b=

所以1AIC，解得，

------F0—c+1=0

2

故平面AAiB.B上存在点，使D\N±平面B、AE.

例19.（2023・全国•高二专题练习）如图，四棱锥夕一月4co中，QOJ_底面/18CD,PD=AD=DC,底面

4BCD为正方形,E为尸C的中点，点户在Q8上，问点尸在何位置时，而为平面。底厂的一个法向量?

【解析】以。为原点，DA,DC,QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

设D4=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),£(0,1,1),5(2,2,0),

・••丽=(2,2,-2),区=(0,1,1),

P"OE=2xO+2x1+(-2)x1=0,/.~PBLDE>

x=2/t,

设F(xj,z),PF=^PB，A(x,>,z-2)=A(2,2,-2),A«y=22,

z-2=-2九

工尸(22,24,2-2，)，:.DF=(22,21,2-22).

V~PB~DF=0,4A+42-2(2-22)=0,2=-,

3

:.F为线段PB的一个三等分点（靠近P点）.

经典题型三：利用空间向量计算距离

例20.(2023・全国•高二专题练习)如图，在棱长为1的正方体力8cO-44GA中，E为线段的中点,

F为线段的中点.

⑴求直线式I到直线AE的距离;

(2)求直线FC,到平面AB.E的距离.

【解析】(1)建立如下图所示的空间直角坐标系,

0,0,11X1,11^1J(l,0,0),C1(0,1,1),

2

因为房=(一1,0,1£),下=(一1,0,J1,所以五g〃而，BPAE//FC,,

2)2

所以点F到直线AE的距离即为直线FC,到直线AE的距离,

(2)因为AE//弓,/平面4Eu平面所以尸6〃平面

所以直线FC,到平面AB.E的距离等于C,到平•面AB、E的距离,

____,____(।

G4=(I,O,O),44=(O,I,I)/E=「I,O,5

设平面彳的一个法向量为/；=(x/,z),

AE-n=0"A+2Z=0,取z=2,可得1=0,-2,2),

则〈一，即《

网万=0y+z=0

所以G到平面/出£的距离为

3

所以直线fCt到平面AB、E的距离为1.

例21.(2023•全国•高二假期作业)如图，在四棱锥P-48C。中，H4_L平面力8CO,底面四边形48C。是

正方形，PA=2AD,点E为PC上的点,PE=2EC.

(1)求证：平面24CJ■平面占。£；

(2)若40=1,求点C到平面8QE的距离.

【解析】（1）因为底面四边形/8CO为正方形，所以

因为尸4_L平面A8C。，4。匚平面/8。。，所以P/_L4。，

又"CMC=4,尸44Cu平面以。，所以804平面24C,

又BDu平面BDE，所以平面产力C1平面BDE.

（2）（法一）因为平面4〃CO,BCu平面/18CD,所以4_L8C,

因为底而四功形48CQ为正方形,所以乂PAC\AB=A,尸4/5（z平面尸/儿所以AC工平面尸力乩

又P8u平面夕力〃，所以8C_LP8,即^PBC为直角三角形,

因为力。=1,则04=2,所以户〃=石，AC=BD=6，PC=R，CE=*.

BC1

在Rt△尸8c中，cos^PCB=-=-j=,

:"%,

在ABCE中，由余弦定理BE1=BC?+CE2-2BCCECOS/PCB=F+

3xM

即8£=1,

同理可求得OE=I，所以aBOE为直角三角形，5乙9£=；乂以1=；,

因为PE=2EC,所以点E到平面BCD的距离为:P4,

设点。到平面直犯的距离为人,由七*QE=/_8°=；/_BCD得

g小S△血Rp|-/?i=|x|x2xixlxl,所以力=：,

7

所以点C到平面8。七的距离为;.

（法二）因为40=1,则21=2,以A为坐标原点，AB,AD..月P所在的直线分别为工，y,z轴建立如

图所示的空间直角坐标系彳-x》z,

则4(0,0,0),5(1,0,0),0(1,1,0),D(0,l,0),P(0,0,2).

__/222、

所以定二(1/,一2),由PE=2EC.得，

皮二(1,0,0),丽=(-1,1,0),ED=

m-BD=-a+b=0,

设平面BDE的一个法向量为病=（a,b,c），则_—212

m-ED=——aH■—b——c=0,

333

取a=2,可得b=2,c=-l,所以〃?二(2,2,—1),

设点C到平面4。石的距离为A,

吃闸上2*2+0土1)|二2

阿y/22+22+\23

所以点C到平面BDE的距离为:.

例22.(2023・全国•高二专题练习)直四棱柱力次⑺-4力CQ中，底面ABCD为正方形,边长为2,侧楂A}A=3,

M.N分别为44、4A的中点，E、尸分别是GA，AG的中点.

(1)求证：平面4WN〃平面EFBQ；

(2)求平面AMN与平面EFBD的距离.

【解析】⑴法一:证明：连接6外NF,•:M、N分别为44、/IQ的中点，

E、尸分别是GA，4G的中点，

MNHEFI/B\D\,MNa平面EFBD,E”u平面EFBD,

AW〃平面EFBD,•/M7平行上等于AB,

.•J8厂N是平行四边形，.•.力N〃8",

•.FNa平面BFu平面EFBD,4N〃平面EFBD,

vANcMN=N,.•.平面AMNH平面EFBD：

法二：如图所示，建立空间直角坐标系。一个z,

则力(2,0,0),M(l,0,3),6(220),E(0,1,3),

尸(1,2,3),N(2,L3),/.=(1,1,0),W=(1,1,0),

疝=(-1,0,3河=(-1。3),

:.百=必和=而，：.EFUMN,AMHBF,

•;MNQ平面EFBD,"'<=平面£尸8。，「.加^7/平面£产8。，

•.•力2仁平面£7咕。，BFu平面EFBD,：.ANHTWEFBD,

又MVc4W=M,.•・平面平面EFB。，

(2)法一:平面AMN与平面EFBD的距离=B到平面AMN的距离/1.

△4WN中，AM=AN=M，=S.、AMN=ga

「•由等体积可得!.巫〃=!，.231,.•.〃=£叵.

323219

法二;

设平面4WN的一个法向量为同=(x，y>z),

Iii-MN=x+y=0/、

则一，则可取K=3,-3,1,

[n-AM=-x+3z=0

•.•丽=(0,2,0),

•••平面AMN与平面EFBD的距离为d=.6

\n\79+9+119

例23.(2023•全国•高二假期作业)如图1,在等腰梯形N8CO中，4B〃CD,4B=AD=T,CD=2,DE=EC,

沿4E将V/OE折成V4PE,如图2所示，连接得到四棱锥P-48CE.

(1)若平面以ECl平面PBC=/,求证：1//BC,

(2)若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.

【解析】(1)证明：在梯形44co中，因为AB//CE且AB=CE,

所以四边形力次主是平行四边形，所以AE//BC,

又因为4Eu平面尸XE,且BCu平面P4E,所以8C〃平面总E,

因为BCu平面P8C,且平面P/ED平面P8C=/,所以〃/8C.

(2)取力E中点O,连接。伉。夕，因为A/nE是等边三角形，可得0B上OE

以。为原点，。瓦。4所在直线为1轴，N轴，过O作平面48CE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系。-"z,

如图所示，

设/。。8=<9(0<0<外，

—(cos6^+l),—sin6^

所以ET=(o,骼(cos6+1),^sinB,EB=一g,4,(),£7£^=^--(cos^+l)=-^(cos0+l)>且

同=1,

则点T到直线EB的距离d=^Ef2-(ETEB)2

因为一1<COS6<1,所以当cos6=；时，4皿=；；

当cos。--1时，d-o,所以点r到直线班的距离的取值范围是0，.

例24.(2023・全国•高二假期作业)在梯形"CQ中，AB//CD,£)。=90°,"=2及，AD=DC=垃，

如图1.现将△4QC沿对角线/C折成直二面角P-/1C-8,如图2,点用在线段上.

⑴求证：AP1.CM；

(2)若点M到直线力C的距离为竽，求篝的值.

【解析】(1)JC=V272=2>NC4B=NACD=45。,

8c2=4+8—2x2x2&x也=4,故8c=2,则4c8=90°,BPJC1C5,

又平面HC_L平面平面尸/K?n平面力C8=4C,

CB1AC,CBu平面月C8,故CB_L平面HC,

力Pu平面HC,则C8_L4P,

又P4J.PC,PCcCB=C,PC,C3u平面PC8,所以力尸/平面PC8.

又CMu平面尸CB,则力P_LCM.

(2)设4C中点为O,AB中点为D,以。4。。,。「为xj，z轴建立空间直角坐标系,

如图所示：

有4(1,0,0),C(-l,0,0),P(0,0,1),5(-1,2,0),

设箓="则漏=%涉，设朋(x，V，z)，则(x+Ly-2,z)=4(l,-2,1),

则——,C4=(2,0,0),CA7=(2,2-22,2),

点M到直线力C的距离为型，则GW2,

I\CA\

(2A]4

,BP2522-402+16=0.解得

C)

例25.(2023•全国•高二专题练习)如图①菱形ABCD,/B=60。,BE=EC=\.沿着AE将△历^折起到^AE,

使得NO4r=90u,如图②所示.

⑴求异面直线4"与CQ所成的角的余弦值；

(2)求异面直线力"与C。之间的距离.

［解析1(1)图①菱形ABCD,NB=60°,BE=EC=T,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB-BEcos600=3,

所以j七二百，

所以即？+/炉=力"，WAE1BC,又ADHBC,所以力E_L4Z),

在图②中，ND48'=90。，即力加,力"，又c力E=4力8；dEu平面力B'E

所以40_1_平面44Z,即EC1平面片

又8'Eu平面AB'E,所以B'EIEC,如图，以E为原点，EC,E4E9分别为x」，z轴建立空间直角坐标系,

则E(0,0,0),C(1,0,0),0(2,60)800,1)A9,6。),

所以—/®,二(/0「万/—,1\)—,3•=(/1,收()\)，故次~"~7n,>7。^。r\=阿AB可'-C二D不0-一3+二0一3］

则异面直线AB，与CD所成的角的余弦值为3:；

4

(2)由⑴得就=(1,-Ao),设前=(4,乂Z)是异面直线与CO公垂线的方向向量,

拼历=0

所以《令歹=1，则碗=卜百』,方)

CDm=0

所以异面直线AB，与CD之间的距离为£5=卜\-_"+=纪史

V7°1-7

例26.(2023•全国•高二专题练习)如图，在长方体48C。-48cA中，A£)=AA,=1,48=2,求:

(1)点4到直线8。的距离;

(2)点4到平面8OG的距离；

(3)异面直线BD,CD,之间的距离.

【解析】(1)以点。为原点，DA.DC.画为x,九z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为/。=44=1,

AB=2,则8。,2,0),0(0,0,0),^,(1,0,1),C,(0,2,1),C(0,2,0),^(0,0,1)

____________/、UUU

所以8。=(-1,-2,0),48=(0,2,-1),所以4/在而上的投影向量的大小为

丽叫上lx0+(-2)x2+0x(-l)|_4后

,又|祠=J()2+22+(—1)2=«,所以点4到直线8。的距离

卜炉+(-2『+。5

163石

4=\5_­=---;

55

(2)由(1)丽=(-1,-2,0),函=(0,2,1),1^=(0,2,-1),

-,、fiBD=O-x-2y=0

设平面8。4的法向软〃=x,y,z,则一，所以

万。G=o2y+z=0

取y=l，可得x=-2,z=-2,所以7二(-2』,-2)是平面80G的一个法向量，向量福=(0,2,-1)在法向量

_|-2X0+1X2+(-2)X(-1)|44

〃二(-2,1,-2)上的投影为-f=^==——=三，所以点4到平面8QG的距离为7；

卜|卜2"«)233

(3)由(1)CD；=(0-2,1),阪=(0,—2,1),所以西〃瓦心所以CR〃网，又平面4/D,B%u平

面48Q,所以C〃〃平面4B。，所以异面直线4。,C,之间的距离与点。到平面力/。的距离相等，设平

_/、一,、偏.而=()f-x-2y,=0

面48。的法向量〃?=(xyzj,因为8。=(一1,一2,0),则｛—,所以｛,

I万阳=0[-2y,+z,=0

取弘=1，可得演=-2,z,=2,所以闭=(-2,1,2)是平面48。的一个法向量，向量。力=(0,-2,0)在法向量

一\CDm|-2x0+lx(-2)+2x0|2)

〃?二(-2,1,2)上的投影为不^=112)2产22="所以点C到平面45。的距离为：；故异面直

线肛s之间的距离为

例27.(2023•山东济宁•高二济宁市兖州区第一中学校考阶段练习)如图，在三棱锥S-力8。中，

SA=SB=BC=AC=后，SC=AB=2,E,尸分别为/B,SC的中点.

(1)求直线8b与平面/出。所成角的正弦值；

(2)给出以卜.定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异

面直线截取的线段，叫做这两条尺面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面

宜线的距离.根据以上定义可知，公垂线段的长度也可以看作是两条异面直线上任意两点连线的方向向量

在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.

请根据以上定义和理解，求异面直线SE,8歹的距离

【解析】(1)连接E尸，EC,由题知，SE是等腰三角形S48底边48上的中线，

AB±SE.

同埋，AB±EC.力8上平面SEC,；,ABA.EF.

同理，SC_L平面//足

作EG1平面如分别以£4,EF,EG为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

由题知，SE=2,印=也,

・・・4(-1,0,0),5(1,0,0),C(0,V3,-l),E(0,0,0),产倒，石,0),5(0,^,1).

n-AB=0

设A=(”,N)是平面力9c的法向量，则