概率论与数理统计练习册 习题答案 张天德 练习册1答案

第1章随机事件与概率

重点：随机事件的概念，事件间的关系及运算，概率的性质，古典概率，几

何概率，条件概率，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，事件的独立性.

难点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式.

1.1随机事件

I.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件不为(C).

A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”

B.“甲、乙两种产品均畅销“

C.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”

D.“甲种产品滞销”

解：设8='甲种产品畅销'，C=’乙种产拈滞销'，A=BC

A=BC=BC="甲种产品滞销或乙种产品畅销”.选C.

2.设事件A与3互不相容，则下列结论中肯定正确的是(D).

A.无与否互不相容B.彳与后相容

C.A与3对立D.A-B=A

解：A,B,C显然不对，选D.

3.若对于任意两事件A和8,与4y8=8不等的的是().

(A)Aub(B)8uA(C)AB=0(D)AB=0

答案：D

4.设A为三个事件，则A8,C仅有一个发生可表示为.

解：A,B,C仅有一个发生可表示为八月3ABCABC.

5.设A,B为随机事件，则(AL3)4=.

答案：A

6.设A和5是任意两个事件，kiJ(AZ?ll^LAB[JAB)-AB=.

++=+++=A+A=Q

可知(AB+AB+AB+—AB=Q—AB=AB=AB

7.指出下面式子中事件之间的关系：

⑴48=A；

(2)AU3=A；

(3)ABC=A；

(4)AU8UC=A.

答案：(l)Au8；(2)3uA；(3)AuBC；(4)8UCuA

8.已知事件月与4是对立事件，求证可与不也是对立事件.

证由4与3是对立事件，有AB=0,且AB=Q.则

A~B=A,B=Q,-(A5)=0,AB=AB=Q-(AB)=Q.

9.设A,B,。为任意三个事件，试用4,B,。的运算关系表示下列事件，要

求每个事件写出两个表达式：

(1)没有一个事件发生；

(2)至多有两个事件发生.

答案：(1)之南=AU3DC；(2)ABC=A\JB\JC

1.2概率

1.掷两枚骰子，则所得的两个点中最小点是2的概率为().

(A)；(B),(C)|(呜

解基本事件总数为6X6=36,

两点皆为2或一个点为2、另一个点大于2的情形有1+C；C[=9

o1

P=—=-,故应选(A).

364

2.把10本书随意放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为().

(A)i(呜©A叫

解把指定的3本书视为一组与另外7本书全排列，得所求的概率

p=也]=J_,故应选(A).

10!15

3.当事件A与8同时发生时，事件。必发生，则下列结论」1确的是()

(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(AUB)

(C)P(C)>P(A)+P(B)-1(D)P(C)<P(A)+尸(8)-1

答案：

事件A与3同时发生时，事件C必发生

=uC=尸(C)>P(AB).

又由P(A।।B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(C)>P(B)-B)>P(A)+P(B)-1

所以应选(C).

4.设随机事件A与B互不相容，P(A)=0.2,P(AUB)=0.5,则P(3)=.

答案：0.3

5.已知人的血型为0、A、B、AB的概率分别是0.4,0.3,0.2,0.1,现任选4

人,则4人血型全不相同的概率为.

解：所求概率为4x3x2*L).OO24

10」

6.设事件都不发生的概率为0.3,且P(A)+P(3)=().8,则中至少有一

个不发生的概率为.

解：P(AB)=aA1,8)=\-P(AB)=l-P(A)-尸(4)+P(AB)

=1-0.8+P(AB)=0.3；

所以，尸(AB)=0.1,P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-0.1=0.9.

7.设事件A与8互不相容，P(A)=0.4,P(R)=0.3,求P(48)与P(4JB)。

【答案】P丽=03,P(AB)=P(A)=0.6o

【解析】事件A与8互不相容，即A3=0,则P(18)-0。

P(AB)=\-P(AB)=l-P(A)-P(8)=0.3；

由A与8互不相容，得X=)B,故P(X3)二尸两=0.6。

8.从所有的两位数10,11,-,99中任取一个数，求该数能被2或3整除的概率.

解设4=｛该数能被2整除｝,B=｛该数能被3整除｝

则A?B｛该数同时被2或被3整除｝,=｛该数同时被2和被3整除｝

P(A)=竺,P(B)=—,P(/4B)=—

909090

4530159

ULKA?B)KA)+KB)-P(AB)=—+--------=-

9090903

T生+dhn45+30-152

或者古典尸二----------=-

903

9.袋子里装有10个号码球，标号分别为〜10号，从中任取3个，求:

⑴最小号码为5的概率;

(2)最大号码为5的概率；

(3)中间号码为5的概率

丘」U也」

答案：Go12,Cj()20,C；o6

解：设事件A表示“最小的号码为5”，B表示“最大的号码为5”，。表示“中间

号码为5”，由概率的古典定义得

⑴尸⑷喑4；

⑵尸⑻喈技.

1

(3)P(C)=岩r'C1

Go6

10.在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于L的概率.

4

解：以表示区间(0,1)内任取的两个数，则样本空间为

5={(x,y)|0<x<l,0<y<l},

记A="两个数的乘积小于!”，则有4--(x,y)|(x,y)GS,,D<1

44X

A1-ffl-—Vv,

由几何概率公式P(A)==——~=-+-\n2=0.5966.

〃(S)142

11.从一副扑克牌的3张黑桃中，有放回抽三次，求取出的三张牌中

⑴没有同号的概率；

(2)有同号的概率

13-1211132

解：⑴P(A)「丁口

"169

（2）P（A-）=1-P（A）=1-上13「12一11=—37.

133169

12.设有k个不同的球，每个球等可能地落入N个盒子中（ZWN）,设每个盒子

容球数无限，求下列事件的概率：

（1）某指定的k个盒子中各有一球；

（2）某指定的一个盒子恰有机个球（〃区攵）；

（3）恰有k个盒子中各有一球（每个盒子至多一球）.

解：设4,4,4分别表示给出的三个事件，由概率的古典定义得：

⑴P（A）=RT；

⑵5^^

⑶p(A)--AL

其中N(N—1)(N—攵+1)=小

13.已知尸（A）二尸（B）二尸（。=1/4,尸（AB）=P（8C）=0,P（AC）=1/8,求:

（1）则A,B,C至少有一个发生的概率；

（2）4B,C全不发生的概率.

解：（1）由于A3Cu43,而P（AB）=O,所以P（AB0=O,

再由加法公式得，AB.C至少有一个发生的概率

P（AUBUC）=P（A）+RB）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

------------3

(2)P(ABC)=P(AB\C)=\-P(A\BIC)=-.

8

14.已知P(A)=〃，P(B)=q,尸(AIJB)=p+4，求P(^JB).

解由题设知P(AB)=O,

则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(AB))=P(A)=\-p

15.某城市有AB,C三种报纸在居民中，订4报的占45%,订卫报的占35%,

订C报的占30%,同时订A与8报的占10%,同时订A与。报的占8%,同时订

8与。报的占5%,同时订AB与C报的占3%,求下列概率：

⑴只订A报的；

(2)只订A与8报的；

⑶只订一种报的；

(4)恰好订两种报的;

⑸至少订一种报的；

(6)不定任何报的

解：(1)P(ABC)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)=0.3；

(2)P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.07；

(3)P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.73；

(4)P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.14；

(5)P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.9；

(6)P(ABC)=\-P(AuBuC)=OA.

16.从5双不同的鞋子口任取4只，需要求这4只鞋子中“至少有两只配成一双”

(事件A)的概率，某同学计算得：

ClC2

尸⑷=产

问该解法是否正确？如不正确，写出正确解法.

答案：不正确.

算法错在哪里？“从5双中取1双，从剩下的8只中取2只”，错在同样的“4

只配成两双”算了两次.

正确的解法是:

解法2：

基本事件总数为Gb没有一双成对的事件个数为:C；・24.

则至少有一双成对的概笨为：1-且三=上

《21

1.3条件概率

1.设4,8为随机事件,且P(8)>0,尸(A|8)=l,则必有()

(A)P(A<JB)>P(A).(B)P(A^)B)>P(B).

(C)P(Ad8)=P(A).(D)尸(AuB)=P(B).

解由题设，知P(*8)=4符=1,即尸(A8)=P(8).

又P(XuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A).故应选(C).

2.设A,3是两个事件，且AudP(3)>0,则下列选项必然成立的是(B).

A.P(A)<P(A|9)；B.P(A)KP(4|B)；

C.P(A)>P(A|4)；D.P(A)>P(A\B).

解：P(A|8)=△竺1=生”2%人).因此选B.

P(B)P(B)

3.设P(B)>0,A，4互不相容，则下列各式中不一定正确的是(C).

A.P(AA1^)=0；B.P(AU4|8)=P(A|8)+p(&|B)；

C.P(\A2|B)=1；D.P(\UA|B)=1.

解：・•・44=6,.*.p(A4)=o.

P(A4IB)=号器=0.

PA

p(AuA2I3)=P(U15)+P(A2|B)-P(AA2\B)=(18)+P⑷B).

P(A1|8)=P(AU4I8)=1-P(AU4I3)=1-P(A-⑷⑶wl.

p(4A|R)=尸(^^|8)=1-P(A41项=1-0=1.

...选c.

4.设随机事件8是A的子事件，已知尸⑷弓，P⑻4则

P(0A)=.

解因为BuA,所以P(B)=尸(A8),因此

P(AB)P\B)_2

P(B|A)=

P(A)

5.设为2个事件,且尸(4)=035(8)=0.4,5(A|8)=0.5,则P(5|A)=

解：「⑻加迪=口町「（”二空出二.

P（A）P（A）0.33

6.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,今从中随机取一件产

品,结果不是三等品，则它是二等品的概率为.

解：A二取到i等品，则A=4UA2nA2，

所以，P（A"A）=3=尸⑷=上~」.

--p（4）P（A）+P（A2）0.6+0.33

7.有20套试题，其中7套在考试中已经用过.现从这20套试题中不放回地依次

抽取2套.问：在第一次抽取的是不曾用过的试题的情况下，第二次抽取的也

是未曾用过的概率为多少？

解：记儿二”第i次抽取的是未曾用过的试题"，i=l,2.

方法1：缩小样本空间法.

由题意知，A发生后原样本空间样本点数由原来的2（）减少为19,而外包

19

含的样本点数是12,所以「⑻⑷二卷.

方法2：定义法.

在原样本空间中，P（A尸U,P（AA,）=§=U,因此

"20-或95

P(A4)_39/9512

P(4|A)=

P(A)13/2019

8.已知尸(Z)=0.3,P(5)=0.4,P(4、)=0.5,求P(同AU耳).

P(AB)

解:P(B\AB)==0.25

P(AB)P(A)+P(B)-P(AB)

9.设事件A8满足：P(B\A)=P(B\A)=-yP(A)=-,求P(8).

解：P(AB)=P(A)P(BIA)=--,

33

P(AB)P(4B)1-P(A)-P(B)+P(AB)

所以，P（以/）=

P(m-P(A)l-P(A)

--------------—

1-13

3

解得,P(B)=|.

10.一批零件共有100个，其中有10个次品.从中一个一个取出，求第三次才取

得次品的概率.

解令4二“第i次取出的是次品"1,2,3)

则第三次才取得次品的概率为

11.设甲袋中装有〃个白球，加个红球；乙袋中装有N个白球，M个红球.今从甲袋中

任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任取一个球，问取到白球的概率是多少？

解：设A为从甲袋中取白球放入乙袋，8为从乙袋中取到白球，则

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).

nN+1mN

=----------1----------

m+nN+M+1tn+nN+M+1

_mN+Nn+n

(〃?+〃A(N+M+1)

12.某地区居民的肝病发病率为0.0004,先用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明,

化验结果是存有错误的.已知患有肝病的人其化验结果99%呈阳性(有病)，而没

患肝病的人其化验结果99.9%呈阴性(无病).现其人的检查结果呈阳性，问他真

的患肝病的概率是多少？

解.：记8为事件“被检查者患有肝病”，4为事件”检查结果呈阳性”.由题设知

P(B)=0.0004,P(B)=0.9996,

P(A|B)=0.99,P(A|B)=0.001.

我们现在的目的是求P(例A),由贝叶斯公式得

P(B\A)=

P(B)P(A\+P(R)P(A\B)

aZZ黑。。14

13.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球,

3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球.现随机地取一个箱子，再从这

个箱子中取出一个球，问这个球为白球的概率为多少？若已知取出的球是白球,

问此球属于第一个箱子的概率为多少?

解：设儿=取到第，箱i=l,2,3,8=取出的是一个白球.

3]]455a

3=丝誓1=善吗

120

14.玻璃杯成箱出售，每箱20只假设各箱含0,1,2只残次品的概率应为0.&0.1

和0.1.一顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而顾

客开箱随意查看其中的4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.

求:⑴顾客买下该箱的概率;(2)在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率.

解：设从=(顾客买下该箱｝,片=｛该箱中有i件残次品｝,i=0,l,2.

则有尸(耳))=0.8,P(4)=P(BQ=().1,

P(A|3°)=l,P(A|M)=/,P(A|g)=兵

°20J。

故⑴P(A)=P(B0)P(AIB0)+P(Bl)P(AIB,)+P(B2)P(AIB2)

=0.8xl+0.1x冬+0.1x冬。0.94

P(A4))_P(B°)P(A|练)_0.8xI〜

(2)P(80|A)=---------------------------------------xU.oD

P(A)P(4)0.94

1.4事件的独立性

1.对于任意二事件A和8,()

(A)若45#。，则4,B一定独立.(B)若ABw。，则A,B有可能独立.

(C)若48=。，则AB一定独立.(D)若A5=。，则一定不独立.

解ABw。推不出P(4B)二尸(A)P(B),因此推不出力乃一定独立，排除(A);

若AB=%则A(AB)=O,但P(A)P(5)是否为零不确定,因此(C),(D)也不成立,

故正确选项为(B).

2.设0<P(A)<l,0<P(B)<1,P(A|B)+P(A|初=1,则().

(A)事件A和区互不相容(B)事件A和8互相对立

(C)事件4和B互不独立(D)事件4和4相互独立

解因为P(A|3)+P(,|耳)=P(A|B)+1-P(A|耳)=1

所以P(A|B)-P(A|舟=0,P(A|B)=P(A超)

生竺2=丝包P(AB)=P(A)P(8),所以应选(Q).

P(B)P(B)

3.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A尸｛掷第一次出现正面｝,&二｛掷第二

次出现正面｝,43=(正、反面各出现一次｝,Aj=｛正面出现两次｝,则事件

(A)4,4,4相互独立.(B)4,.仆,人相互独立.

(C)A，4，4两两独立.(D)&,.仆,右两两独立.

解：因为P(A)=g，P(A2)=g，P(A.3)=g，%4)=；，

且r(A,A)=-,r(A(A3)=-,〃(A2A3)=1,%A2A4)="&4A2A3)=0,

可见有P(A4)=P(A)P(A),P(A1A3)=P(A,)P(A3),P(&&)=P(&)P(4),

P(—A2A3)HP⑷P(A2)P(4)，P(A2A4)#P(A2)P(A4).

故4,4,4两两独立但不相互独立；人2，4，44不两两独立更不相互独立，选(C).

4.设A氏。三个事件两两独立，则48,C相互独立的充分必要条件是(A).

A.4与3C独立；B.A3与AU。独立；

C.A3与AC独立；D.AJ8与A^C独立.

解：■.A8,C两两独立，若A,8,C相互独立则必有

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)A与BC独立.

反之，如A与BC独立则P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C).

/.选A.

5.设随机事件A与B相互独立,JBLP(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则

P(B-A)=

ft?:P(A-B)=0.3=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5尸(A)=0.5P(A)

所以P(A)=0.6,P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-().5P(A)=0.2.

6.设人群中感冒的比例为p,则在有10人的聚会中存在感冒患者的概率为

解：记,10表示第，个人感冒，则所求为

p(AA।UA°)=1—A?)

=i-p(A4篇)=i—P(QP(4)p(4；)=i-(i-p)10.

7.一种零件的加工由两道工序组成.第一道工序的废品率为8，第二道工序的

废品率为P2，则该零件加工的成品率为.

解：设4=成品零件，A二第i道工序为成品i=l，2.

由题意,P(A)=1-0，P(A2)=l-p2,

所以，P(A)=P(A4)=P(A)P(4)=(1-P|)(1-P2)

二1一2一〃2+Pl〃2♦

8.设每次试验成功的概率为〃(0<〃<1)，现进行独立重复试验，则直到第10

次试验才取得第4次成功的概率为.

解：由题意，前9次取得了3次成功，第10次成功，

・•・第10次才取得第4次成功的概率为C；p'(l-p)6p=C；p4(l-p)6.

9.甲、乙两射手击中目标的概率分别为0.8与0.9,

如果同时独立地射击一次,求下列概率：

(1)两人都命中；

(2)恰有一人命中；

(3)至少一人命中；

(4)两人都不中。

解：设甲、乙两射手击中目标的事件分别为A、B,则

(1)两人都命中：尸(A8)=P(A)P(/?)=().72;

(2)恰有一人命中:P(AB+AB)=P(A目)+P(AB)=P(A)P(B)+P(彳)P(B)=0.26；

(3)至少一人命中:P(AUB)=l-P(AB)=1-[1-P(X)][1-P(B)]=0.98;

(4)两人都不中:P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)][1-P(B)]=0.02.

10.设事件A8相互独立.若A,8都不发生的概率为L且A发生3不发生的

9

概率与3发生A不发生的概率相等，求P(A).

解：由题设条件得P(刀)=小尸(A)-P(AB)=P(AB)=P(AB)=P(B)-P(AB)

=>P(A)=P(B)=>P(A)=P(B),再由4和B独立知和万也独立，

故P(而)=P(,)P®=[P(,)]2=』n尸(不=g=P(A)=：

11.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,

0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为

0.6,若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.

解：设M表示飞机被i人击中，z=l,2,3。Bi,比,加分别表示甲、乙、丙击

中飞机，且&独立。

•・,瓦反瓦瓦瓦1＞瓦瓦员，三种情况互斥，

H1=瓦L片瓦纥I耳4员三种情况互斥，

H3=B2B2B3.

・・・P(H1)=尸(与)P(瓦)尸(瓦)+尸(瓦)P(%)P(瓦)

+P(瓦)P(瓦)尸(层)=0.4x0.5x0.3+0.6

x0.5x0.3十0.6x0.5x0.7=0.36

P(“2)=P(B|)P(%)P(瓦)+尸田)P(瓦)P@)

+P(一)尸(2)—(83)=0.4X0,5X0.3

+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

P(”3)=P⑶)P(Bz)P(53)=0.4X0.5X0.7=0.14

故由全概率公式，有

P(A)=P(Hi)P(A|Hi)+P(H?)P(A\H2)+P(H»P(4|H3)

=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458.

12.设A,8,C相互独立，试证AB与C相互独立.

证因为AB,C相互独立

所以"(AB)C]=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)・P(ABC)

=P(AC)+P(BC)-P(A)P(E)P(C)

=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)

=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)

=P(AB)P(C)

13.甲，乙两人轮流射击，先命卜目标者为胜，已知他门命中率分别为0和

每一轮甲先射，求每个K获胜的概率

解:

A-甲胜，4-甲第i次击中，用-乙第i次击中.

.•.p(A)=p(A)+p(A4.&)+p(4&瓦瓦4)+....

=P|+(1-Pj(l-〃2)P|+(1-8)L(1-〃2)2PI+

P\

B—乙月生

P(8)=1—P(A)=p2(l一〃J

1一(1一〃1)(1一〃2)

第1章测验题

一、选择题

1.设事件A与事件B互小相容，则()

(A)P(AB)=O.(B)P(AB)=P(A)P(B).

(0P(A)=1-P(B).(D)P(A\JB)=\.

【解析】因为AB互不相容，所以P(A8)=0.

(A)P(AB)=P(XT~B)=\-P(AB),因为P(A8)不一定等于1,所以(A)不正确;

(B)当P(A),P(B)不为0时，(B)不成立,故排除;

(C)只有当A,8互为对立事件的时候才成立，故排除；

(D)P(AJB)=P(AB)=1-P(A8)=1,故(。)正确.

2.设随机事件A,B及其并事件AUB的概率分别是0.4,0.3和0.6.若与表示B的

对立事件,则事件AB的概率P(A历=().

(A)0.2(3)0.4(C)().1(0)0.3

答案：D

3.设43是两个随机事件，且0<P(A)<l,P(8)>0,P(3|A)=P(8|a,则必有

()

(A)P(A|B)=P(A|B)(B)P{A\B)^P(A\B)

(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB)^P(A)P(B)

【解析】由条件概率公式及条件P(B|A)=P(B\A),知

P(A8)_川叫_P(B)-P(AB)

P(A)-p(可一1-P(A)'

于是有P(AB)[i-P(A)]=P(A)•[P(3)-P(AB)],

可见尸(A8)=P(A)P(8).

应选(0.

4.设£8.C是三个事件，与事件A互斥的事件是()

(A)ABUAC(B)A(B^C)(C)ABC(D)A[JB{JC

【解析】(A)：A(AB+AC)=AAB+A4C=0+AC=AC,所以4与M+A6不一定

互斥。

(B)：A伊+C)=4+\C,而A(N+万e)=Al+A方仁=4豆仁，所以A与4(B+C)

也不一定互斥。

(C)：^^=7+5+不，而A(^+5+e)=A^+A5+A^=4三+4e，所以A与

也不一定互斥。

(D)：A+B^C=~ABC,而4^^心=05亍=0,所以A与4+B+C一定互斥。本题

选(D)。

5.在区间［0,1］上随机地取一个点，记为X,设事件/

8=<——，，则()

44

(A)48互不相容(B)48相互独立

(C),4包含于B(D〕，4与B对立

【答案】(B)o

【解析】AB=l-<X<-^

142j

有P(A)=P(B)=-,P(AB)=L故P(AB)=P(A)P(8),故A,3相互独立，选(B)。

24

二、填空题

1.袋中共有10只乒乓球，其中8只白球，2只黄球，从中任意取3只，则取出

的3只中恰有一只黄球的概率为

【答案】-

15

2.已知随机事件A的概率为P(A)=0.5,随机事件3的概率为P(B)=0.6及条件

概率为产(例A)=0.8,则P(AU8)=.

【答案】0.7

3.袋中有5个白球3个黑球，连续不放回地从袋中取两次球，每次取一个，则

第二次取球取到白球的概率是.

【答案】0.625

4.从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从中任取一个数，记为匕则

P{Y=2}=___________

解用全概率公式P{Y=2}=P{X=}}P{Y=2\X=\}+P{X=2}P[Y=2\X=2]

+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{y=2|X=4}

1m11113

=-x(0+—I—H—)=—.

423448

5.设工厂A和工厂3的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和加勺产品

分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品

属4生产的概率是.

【答案】贝叶斯公式P(A|C)=--------p,)p(0m=3

P(A)P(C\A)+P(B)P(C\B)7

三、解答题

1.五卷文集任意摆放在1喋上，求下列概率:

⑴第一卷出现在两边；

(2)第一卷及第五卷出现硒边；

⑶第一卷或第五卷出现硼边；

(4)第一卷或第五卷不出现在两边。

2

解：⑴P(A)=：；

(2)P(AB)=—=—；

5-410

2-4+2-4-27

⑶产(ADB)=

5-410

或P(AuB)=P(A)+P(8)-P(AB)=5.

__9

(4)与第二问互为逆事件P(AB)=l-P(AB)=4,

2.有一根长为的木棒，任意折成三段求恰好能构成一个三用形的概率。

解:

设折得的三段长度为乂)，和/-x-X

Q={(%,>)［。<x</,()<y</,()<x+</,),

而随机事件A-三段构成三角形

相应的区域G应满足”两边之和大于第三边的原则:

l-x-y<x+y

x<(l-x-y)+y

y<(/_x_y)+x

即6={(另))|0<不<不,0<y<5,不<x+y</}.

相应的几何概率:P(A)=l/4

3.设P(A)=a,P(B)=0.3,P(A\JB)=0.7.

⑴若事件A与3互不相容，求a;

(2)若事件A与3相互独立，求a

解：

P(A(JB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-[P(B)-P(AB)]=1-P(A)+P(AB)

0.1=]-a+P(AB)

⑴若事件A与8互不相容，贝ljA8=0，P(A3)=(),

代入上式得a=0.3;

⑵若事件A与3相互独立，则有P(A8)=尸(A)/(3)

可得0.7=1—a+0.3〃解得〃二二.

4.已知P(A)=L⑴若A8互斥，求P(4百);(2)若P(/W)=L求P(A月).

28

解P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

⑴产(丽=PMP(AB)=P(A)4

一3

⑵P(A8)=P(A)-P(AB)=-

8

5.已知事件A,A仅发生一个的概率为0.3,P(4)+P(A)=0.7,求至少有一个

发生的概率.

【解析】由题意得P(鼐)+P(M)=0.3,即PU)-P(⑶・P⑻-仅/8)