概率论与数理统计练习题集及答案

概率论与数理统计练习题集及答案

一、选择题：

1.某人射击三次，以4.表示事件“第，次击中目标”，则事件“三次

中至多击中目标一次”的正确表示为()

(A)A+4+&(B)4A,+AA+A,A?

(C)4无A+A(D)AA2A3

2.掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为()

(A)—(B)-(C)—(D)-

36363636

3.设随机事件4与3互不相容，且尸(4)>0,尸(8)>0,则()

(A)P(A)=1-P(B)(B)尸(AB)=P(A)尸(B)(C)尸(A+B)=l

(D)P(AB)=1

4,随机变量X的概率密度为/(x)"，'则EX=()

(A)-(B)1(C)2(D)-

24

5.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是()

X八

(A)F.(x)=—5—,-oo<x<+8(B)居(幻=<x>0

1+x

\+x-0x<0

x3I

(C)八(x)=e~,-co<x<-Ko(D)F(X)=—+——arctanx,-oo<x<+oo

442〃

6.已知随机变量x的概率密度为人(幻，令y=-2x,则y的概率密度

力心)为()

(A)2fx(-2y)(B)/x(-y)(C)-

(D)

乙4

7.已知二维随机向量(x,y)的分布及边缘分布如表

Y

X>i%%Pi

司a1/8bc，且x与y相互独立，则〃二()

x21/8de

P；1/6gh

(A)-(B)-(C)-(D)-

8843

8.设随机变量X〜。[1,5],随机变量丫~M2,4),且X与丫相互独立，

贝i」E(2xy-y)=()

(A)3(B)6(C)10(D)12

9.设x与y为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若

EXY=EXEY,则下列结论不正确的是()

(A)x与y相互独立(B)x与y不相关(C)cov(x,r)=o

(D)D(X+Y)=DX+DY

答案：

1.B2.A3.D4.A5.B6.D

7.D8.C9.A

1.某人射击三次，以4表示事件“第i次击中目标”，则事件“三次

中恰好击中目标一次”的正确表示为(C)

(A)4+&+A(B)可无+无4+4氐

（C）44A+AA24+AA2A（D）444

2.将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概

率为（A）

(A)；(B)4(C)4(D)-

42C；宙4!

3.设随机事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>与则(D)

(A)P(A|B)=P(A)(B)P(AB)=P(A)P(B)(C)P(A\B)=^^

(D)P(4|8)=O

4.随机变量X的概率密度为f(x)=[r则EX=(A)

0具他

5.随机变量X的分布函数小）=「1+叱：＞0）则八（B）

(A)0(B)1(C)2(D)3

6.已知随机变量X的概率密度为人。），令丫=-3X,则丫的概率密度

人⑺为（D）

(A)3fx(-3y)(B)/x(-1)(,)-；人(-])(D)

7.已知二维随机向量（x,y）的分帘边缘分布如表

Y

X>1y2%p,

为a1/8bc，且x与y相互独立，则6=（B）

当1/8def

P；1/6gh

(A)-(c)(D)-

8i3

8.设随机变量X,y相互独立，且x〜伙16,0.5）,y服从参数为9的泊

松分布，则。(X-2Y+1)=(C)

(A)-14(B)13(C)40(D)41

9.设(X,Y)为二维随机向量，则X与丫不相关的充分必要条件是(D)

(A)x与y相互独立(B)E(x+r)=EA+£r(C)DXY=DXDY

(D)EXY=EXEY

一、填空题

1.设A,8是两个随机事件，P(A)=0.5,尸(A+5)=0.8,⑴若A与3

互不相容，则P(B)=；(2)若A与3相互独立，则

P®=.

2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中

各取一球(不放回).已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的

仍是黑球的概率为.

3.设离散型随机变量X的概率分布为P{X=A}=3a",攵=1,2,…，则

常数Q=.

4.设随机变量X的分布函数为

0,x<0

F(x)=«ax2,0<x<2

1,x>2

则常数a=,P{\<X<3}=.

5.设随机变量X的暇率分布为

X-101

P0.30.5

0.2

则E(3X?+3)=.

A

6.如果随机变量X服从［6切上的均匀分布，且E(X)=3,D(X)=-,

贝必=，h=.

7.设随机变量X,丫相互独立，且都服从参数为0.6的0-1分布，则

P{X=Y}=.

8.设X,y是两个随机变量，E(X)=2,E(X2)=20,E(y)=3,

2

E(y)=34,pXY=0.5,则。(X—y)=.

答案：

1113

1.0.3,0.62.-3.-4.-,-5.

3444

4.56.1,5

7.0.528.21

1.设A,3是两个随机事件，P(A)=0.3,P{AB)=P(AB),则

P⑻=.

2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率

依次为0.8,0.7,0.6,则密码能译出的概率为.

3.设随机变量X的概率分布为P{X=%}=&,%=1,2,3,4,5,则

1

311

P{-<X<—}=.

23---------------

0,x<0

4.设随机变量X的分布函数为F(x)=sinx,0<x<-,则

2

*X|<»-------------•

5.设随机变量X服从［1,3］上的均匀分布，则,的数学期望

X

为•

6.设随机变量相互独立，其概率分布分别为

X、12x212

1212

PP

333

则P{X1=X?}=

7.设x,丫是两个随机变量，x〜N（O,32）,y~7v（i,42）,x与y相

互独立，则x+y〜.

8.设随机变量X1,X?相互独立，且都服从［0,1］上的均匀分布，则

D（3X,-X2）=.

9.设随机变量X和y的相关系数为0.5,E（X）=E（y）=0,

E（X2）=E（Y2）=2,则石（X+Y）2=.

答案：

1.0.72.0.9763.-4.0.5

3

5.-In3

2

6.-7.A^(l,52)8.-9.6

96

二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中

有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地

选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.（1）求取到的是白球的

概率；（2）若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率.

解：设事件4表示该球取自第i个箱子（，=123）,事件8表示取

到白球.

311131511

P(B)=2；P(A)P(BIA)=-x—F—X—+—X—=

<=i34363824

4-

尸(A?|B)=

P(8)一P(B)n

三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故

障的概率都是0.2.在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取

利润2万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润1万元;

若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损0.5万元.求该厂一

天可获取的平均利润.

设随机变量X表示该厂一天所获的利润（万元），则X可能取

2,1-0.5,且

P{X=2}=0.83=0.512,

P{X=1}=C；x0.2xOU=0.384,

P{X=-0.5}=1-0.512-0.384=0.104.

所以E(X)=2x0.512+1x0.384+(-0.5)x0.104=1.356(万元)

四、设随机向量(X,F)的密度函数为/(x,)，)二『盯'0<x<l,0<y<l

其它

⑴求尸{Xv丫}；

(2)求x,y的边缘密度，并判断x与y的独立性.

解：

(1)

P[X<丫}=jj/(x,y)dxdy='^ydy=£2x(1-x2)dx=0.5；

x<y

(2)

加x)=「"ay)dy平495OWE,

0,其它

加)，)=「"(*，y心=['4盯小2y,(K"l,

0,其它

由九(x)人(.v)=/G,.v)知随机变量X,y相互独立.

五、设随机变量x的密度函数为/x(x)=『；’。藁L求随机变量

y=2x+i的密度函数.

解法一：y的分布函数为

―)=P{Y<y}=P{2X+1<y]=P{X.号}=bx(子)

两边对)，求导，得

声？)2=|(y—1)2,ow?wi即

1v-1

万(>)=/(1=22o2

乙乙0,其它

解法二：因为y=2x+l是()<x<l上单调连续函数，所以

产2，"3青邮"

注：x=h(y)=上J为y=2x+l的反函数。

二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件，他们生产的零件数之比

为2:3:5.已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为

3%,4%,2%.现从三人生产的零件中任取一个.⑴求该零件是次品

的概率；(2)若已知该零件为次品，求它是由甲生产的概率.

解：设事件4,4分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产，事件

8表示取到的零件是次品.

(1)

3235

P(8)=»P(4)P(8|4)琉x3%+京x4%+总x2%=0.028；

P(A.B)_P(A,)P(B|A,)_0.2x3%3

(2)P(A|8)=

P(B)—P(B)0.02814

三、设一袋中有6个球，分别编号1,2,3,4,5,6.现从中任取2

个球，用X表示取到的两个球的最大编号.⑴求随机变量X的概率

分布；（2）求EX.

解：X可能取2,3,4,5,6,且

k一\k一\

P{x=k}=^r=^~,k=23456

所以X的概率分布表为

X|23456

P1/152/151/54/151/3

6k-\14

且EX=W>x

k=215一3

x,0<x<1,0<y<2

四、设随机向量（x,y）的密度函数为了*,），）=

0,其它

⑴求p{x+y〈i}；

（2）求x,y的边缘密度，并判断x与y的独立性.

解：

2

(1)+y<1}=jj/(x,y)dxdy=j('dx[\dy=xdx=1；

.v+y<lJ

Q)

…\^xdy=2x,0<x<l

/x(x)=J/«y)力=

o,其它

...[\^=—,0<y<2

fY(y)=L/a，y)公=y°2

、o,其它

由fxMfy(y)=/(羽y)知随机变量x上相互独立.

五、设随机变量X服从区间［0,3］上的均匀分布，求随机变量y=3X-1

的密度函数.

1/3,0<A<3,,

解法一：由题意知A（x）=廿-.丫的分布函数为U

o,其它

FY(y)=P{Y<y}=P{3X-l<y}=P{X<^}=Fx^)f

两边对y求导，得

04匕工3即-14/8

Iv+1

人（），）=在（『二93

0,其它

解法二：因为），=3/-1是0«x<3上单调连续函数，所以

,〃dh(y)-X-=—,0Wh(y)=W3,即-1WyW8

人(y)=£，〃()，))I91=3395'3.17

dy0其它

注：x=/?(y)=■为y=3%-1的反函数。

三、

已知一批产品中有90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品

被误判为次品的概率为0.05,一个次品被误判为合格品的概率是

0.04.求：

（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率;

（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.

解：设4="确实为合格品。&="确实为次品”，B=”判为合

格品”

（1）P（5）=P（A）P（8|A）+P（4）p（8|4）

=0.9x0.95+0.1x0.04=0.859

⑵尸⑷所出铲―

设二维连续型随机向量(x,y)的概率密度为

y

,"zIe~o0其<x他<y'，_求p.：

(l)边缘密度函数43)和/“)，)；

(2)判断x与y是否相互独立，并说明理由；

(3)P{x+r<1).

解：(1)f(x)=\f(x,y)dy=<J)=彳八八

xJ-。x()x<0[0xWO

「(、"['e~ydxy>0泗一'y>0

fy(y)=f(x,y)dx=Jo?=〈cc

J-"0y<0[0y<0

(2)vf(xyy^fx(x)fY(y)/.X与丫不独立

(3)P{X+y<1}=r①dy=1-2"°5+/

设二维连续型随机向量（X,y）的概率密度为

2ye-xx>0,0<y<1

/（%,），）二•

0其他

(1)边缘密度函数人")和人()，)；

(2)判断x与y是否相互独立，并说明理由;

(3)P{X<Y}.

X>()

解:⑴叱樽』

dx<0

1:2ye-xdx

4(y)=［：/(X，y)公=’0<y<12)，0<y<1

0其他0其他

(2)vf(x9y)=fx(x)fY(y)X与丫独立

(3)P{X<Y\=^2ye-xdxdy=4/一1

一、单项选择题

1.对任何二事件A和B,有尸(A-8)=(C).

A.P(A)—P(B)B.P(A)—P(B)+P(AB)

C.P(A)-P(AB)D.P(A)+P(8)-尸(AB)

2.设A、B是两个随机事件，若当B发生时A必发生，则一定有

(B).

A.P(AB)=P(A)B.P(AoB)=P(A)

C.P(B/A)=\D.P(A/B)=P(A)

3.甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为0.5,0.8,

则目标被击中的概率为(C)(甲乙至少有一个击中)

A.0.7B.0.8C.0.9D.

0.85

4.设随机变量X的概率分布为

X1234

p1/6a1/4b

则。，。可以是(D)(归一性).

A.a=-,b=—B.a=—,b=—C.a=—,b=—D.

6412121215

1,1

a=—,b=—

43

0.5,

5.设函数/(%)=,二£是某连续型随机变量x的概率密度,

0,

则区间4例可以是（B）（归一性）.

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,72]D.[1,2]

6.设二维随机变量（x,y）的分布律为

A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7

7.设随机变量X服从二项分布3（〃,p）,则有（D）（期望和方

差的性质）.

A.F(2X-1)=2npB.E(2X-l)=4/?p-l

C.D(2X-l)=4/?/?(l-/?)-1D.r>(2X-l)=4/?p(l-p)

8.已知随机变量X8(〃,〃)，且EX=4.8,DX=1.92,则〃，〃的值为(A)

A.z?=8,/?=0.6B.n=6,/?=0.8C.〃=16,〃=0.3

D.〃=12,〃=0.4

9.设随机变量X.V(l,4),则下式中不成立的是(B)

A.EX=\B.DX=2C.P{X=l}=0D.

P{X<l}=0.5

10.设X为随机变量，EX=-2,DX=1,则凤X?)的值为(A)

(方差的计算公式).

A.5B.-1C.1D.

3

11.设随机变量X的密度函数为/5）=产+4°^1,且EX=0,

0,其它

则（A）（归一性和数学期望的定义）.

A.a=-6,Z?=4B.a=-\,b=IC.a=6,b=\D.

a=\,b=5

12.设随机变量X服从参数为（）.2的指数分布，则下列各项中正确的

是（A）

A.E(X)=0.2,£)(X)=0.04B.E(X)=5,£)(X)=25

C.K(X)=().2,Z)(X)=4D.E(X)=2,Z)(X)=0.25

13.设(X,y)为二维连续型随机变量，则X与Y不相关的充分必要条

件是(D).

A.X与Y相互独立B.

E(x+y)=E(x)+E(y)

C.E(XY)=E(X)E(Y)D.(X,y)-N3，〃2b；，E，°)

二、填空题

1.已知P(A)=0.6,P(A-B)=0.3,且A与B独立，贝lJP(B)二”.

2.设AB是两个事件，P(A)=0.5,P(4u8)=0.8,当A,B互不相容时，

P(B)=

0.3：当A,B相互独立时，P(B)=-.

5

3.设在试验中事件A发生的概率为p,现进行n次重复独立试验，

那么事件A至少发生一-次的概率为1-(l-p)”.

4.一批产品共有8个正品和2个次品，不放回地抽取2次，则第2

次才抽得次品的概率P=—-.

45

5.随机变量X的分布函数尸(x)是事件P(XWx)的概率.

6.若随机变量X~帽"标乂。〉。)，则x的密度函数为.

7.设随机变量X服从参数。=2的指数分布，则X的密度函数/(x)=—

;分布函数F(x)=.

8.已知随机变量X只能取-1,0,1,三个值，其相应的概率依次为

—,则c=2(归一性).

2c3c6c

9.设随机变量X的概率密度函数为/(幻=卜"°工＜