概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案2012-2013-1

概率统计模拟题一

一、填空题本题满分18分，每题3分

1、设P(A)=().7,P(A-B)=().3,贝ljP(AB)=;

2、设随机变量X~B(2.p).Y~B(3,p),若〃(X>1)=|,则p(K>l)=:

3、设X与丫相互独立，OX=2,DY=1,则O(3X-4y+5)=;

4、设随机变量X的方差为2,则根据契比雪夫不等式有尸｛区-封22｝工

5、设区，2,…,X。)为来自总体/(⑼的样本，则统计量Y=fX|服从

1=1

____________分布；

6、设正态总体，未知，则〃的置信度为J。的置信区间的长度

L=；按下侧分位数

二、选择题本题满分15分,每题3分

1、若4与自身独立，则

AP(A)=O；BP(A)=1；C0<P(A)<1；DP(A)=O或P(A)=1

2、下列数列中，是概率分布的是

rS—X~

Ap(x)=—,x=0,1,2,3,4；Bp(x)=:——:—,x=0,1,23

156

C〃(x)=—,x=3,4,5,6；D〃(x)=±^,x=1,2,3,4,5

425

3、设*~5(小〃)，则有

AE(2X-i)=2npBD(2X-1)=4/?p(l-p)

CE(2X+\)=4np+\DO(2X+1)=4〃〃(1一〃)+1

4、设随机变量X〜N(g,则随着<7的增大,概率用X-4v0)

A单调增大B单调减小C保持不变D增减不定

5、设(X,Xz，…,X")是来自总体X~N(〃Q2)的一个样本,5与52分别为样本均值

与样本方差,则下列结果母堡的是；

AEX=A：BDX=O-2；d'T〜/QB；；----------/2(H)；

(yc

三、本题满分12分试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有1个

答案是正确的;任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道

题，则不妨任选1个答案;设考生会解这道题的概率为0.8,求：1考生选出正确

答案的概率

2已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率

0x<0

四、本题满分12分设随机变量X的分布函数为F(x)=Ad试求常数A

1x>\

及X的概率密度函数/。)；

五、本题满分10分设随机变量X的概率密度为川，(-8<]<+8),试求数

学期望E(X)和方差0(X);

2

1

六、本题满分13分设总体X的密度函数为/(幻=厂xe2，北()，其中o>0

0x<0

试求。的矩估计量和极大似然估计量；

七、本题满分12分某批矿砂的5个样品中的银含量,经测定为％

设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在。=0.01下能否接受假设：这批矿

砂的银含量的均值为；已矢").995(4)=4.6041

八、本题满分8分设区工,…,X]。)为来自总体NQO.32)的一个样本，求

[10

尸Zx；＞1.44；z^(IO)=15.987

Ii=l

概率试统计模拟一解答

一、填空题本题满分18分，每题3分

1Q1OV

1、；2、一；3、34；4、一；5、z2(10n)；6、-=t

272VH.

二、选择题本题满分15分，每题3分

1、D；2、C；3、B；4、C；5、B

三、本题满分12分解：设B一考生会解这道题，A一考生解出正确答案

1由题意知：P(B)=0.8,P(B)=1-0.8=0.2,P(^B)=1,尸(平)=：=0.25,

所以P(A)=P(3)P(A忸)+P(B)P(^B)=().85,2P(B|A)=工0.941

P(A)

四、本题满分12分解：F(l+0)=/(l)=Axl2=A,WF(l+0)=/(l)=lim(l)=l,A=1

X-M+O

lx0<x<l

对尸(x)求导，得＜

0其它

五、本题满分10分解：E(X)=()；DX=2

六、本题满分13分矩估计："W

(1丫W

极大似然估计：似然函数3/2…Z，

dInL(xf,0)一n"X--1->

="+自行=仇。"五

七、本题满分12分解：欲检验假设“()：〃=〃()=3.25,储：〃工〃0

因/未知,故采用f检验,取检验统计量i=三比五，今

7=5,1=3.252,5=0.013,a=0.01,心力2(〃-1)=d笫(4)=4.6041,拒绝域为

3.252-3.25

>=4.6041,因W的观察值，==0.344<4.6041,

s0.013/V5

未落入拒绝域内，故在a=0.01下接受原假设；

1()(y

八、本题满分8分因X「N(0,0.32),故回上

；=1k0.3

概率统计模拟题二

本试卷中可能用到的分位数:

/095(8)=1.8595,/095(9)=1.8331,/0975(8)=2.306,/0975(9)=2.2662；

一、填空题本题满分15分,每小题3分

1、设事件A8互不相容,且P(A)=p,P(B)=q,则P(AB)=.

0x<-\

2、设随机变量X的分布函数为：F(x)=

0.61<x<2

1x>2

则随机变量X的分布列为；

3、设两个相互独立的随机变量X和y分别服从正态分布N(l,2)和N(0,l),则

p(x+r<i)=；

4、若随机变量X服从［-1,加上的均匀分布,且有切匕雪夫不等式P(|X一U<£)之(则

b=>£=；

5、设总体X服从正态分布N(〃,l),(X/Xz，…,X")为来自该总体的一个样本，则

士(Xj-〃)2服从分布

二、选择题本题满分15分,每小题3分

1、设尸(人3)=0,则有；

AA和区互不相容BA和3相互独立；CP(A)=0或P(8)=0；DP(A-3)=P(A);

2、设离散型随机变量X的分布律为：P(X=k)=bAka=l,2)，且〃>0,则X

为

A—；B—；C〃+1；D大于零的任意实数；

b+\b-\

3、设随机变量X和y相互独立，方差分别为6和3,则。(2X-y)=；

A9：R15；C21：D27;

4、对于给定的正数a,Ova<l,设〃q,/(〃)，〃(〃)，乙(四,%)分别是

mi),/(〃)，«〃)，尸(外,%)分布的下a分位数，则下面结论中不无碉的是

A%=-/_。；B/L(〃)=一二(〃)；Cj(〃)=F_a。?)；“(6〃,)=_!_

工(〃2，〃1)

5、设(X1,X2,…,X“)〃之3为来自总体X的一简单随机样本,则下列估计量中不是

总体期望〃的无偏估计量有；

AX；BX1+X?+…+X“；C0.1X(6X,+4X2)；DX,4-X2-X3;

三、本题满分12分

假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水

灾；设某时期内甲河流泛滥的概率为；乙河流泛滥的概率为；当甲河流泛滥时，乙

河流泛滥的概率为,试求：

1该时期内这个地区遭受水灾的概率；

2当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率；

/—,kl<1

四、本题满分12分设随机变量X的分布密度函数为/(x)=11

0,|x|>l

试求：1常数4；2X落在(-LL内的概率；3X的分布函数尸⑴；

22

五、本题满分12分

设随机变量x与y相互独立，下表给出了二维随机变量(x,y)的联合分布律及

关于X和y边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出;

六、本题满分io分设一工厂生产某种设备,其寿命无乐十的概率密度函数为：

工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换;若工厂售出一台设备赢

利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学

1

期望:

七、本题满分12分

设（X，X2,…,X”）为来自总体X的一个样本，X服从指数分布，其密度函数为

fM=\及一:*20,其中义〉0为未知参数,试求A的矩估计量和极大似然估计

0,x<0

量；

八、本题满分12分

设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布,今随机抽取9名罪犯,其年龄如

下：22,17,19,25,25,18,16,23,24,试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为

18岁；

模拟二参考答案及评分标准基本要求：①卷面整洁,写出解题过程，否则可视情

况酌情减分；

②答案仅供参考,对于其它解法,应讨论并统一评分标准；

一、填空题本题满分15分,每小题3分

/_1]2）

1、1一p-q;2、；3、0（0）=1/2；4、〃=3,£=2；5、/（〃）

注：第4小题每对一空给2分；

二、单项选择题本题满分15分,每小题3分1、D；2、A；3、D；4、B；5、B

三、本题满分12分解：设A二｛甲河流泛滥｝,B二｛乙河流泛

滥｝......................1分

(1)由题意,该地区遭受水灾可表示为AUB,于是所求概率为:

P(AU8)=P(4)+P(B)-P(AB)........................2分

=P(A)+尸(3)-P(A)P(B/A)........................2分

=0.1+0.2-0.1x0.3=0.27.............................2分

23二瑞・.」分=%潸2分

2分

四、本题满分12分解：1由规范性l=ff(x)dx.............1分

J-8

=f.Adx

1分=yAarcsinA=A乃…1分

•・A=\/TT...............................................1分

2片一g<Xv

2分

2

=­arcsine(=1/3...............................2分

3x<-M,F(x)=f'0^v=0......................................1分

J-00

-1<x<IFht>F(x)=f/dx=—(arcsinx+-).............1分

Ji_r2乃2

工＞1时，尸。)=，-.dx=\1分

J-1加

0x<-l

1.4、

/.X的分布函数为F(x)=—(zarcsmx+—)-1<X<11分

712

x>l

五、本题满分12分

11

解：a+-=—=>a=—1分

8668~24

3

1分

44

111

=2分

84424-812

11,

,2分

84''82

1113

—+C=J=>C=-------=—2分

8288

,1-I

b=—•g=g=----4=—,2分

466123

,,,111

b+d=g=>d=--------=—2分

3124

六、本题满分10分

解：设一台机器的净赢利为y,x表示一台机器的寿命,................1分

100x>\

y=]100-300=-200OvXVl.......................................................................................................3分

0X<0

P{X>1月’8*==，；.........................................2分

]1----

p(o<X<\}=^-e~4dx=l-e~^..........................................................................2分

£(77)=100/5-200l-e^=33.64..............................................................................2分

七、本题满分12分

解：1由题意可知E(X)=「/(x；/l)公二;..........................2分

令班=4,即;=T，...............................................................................................2分

A

可得义二/，故2的矩估计量为2=1................................................................2分

2・.•总体X的密度函数为“x;4)=X-°

1分

0,x<()

二.似然函数LQ)=,,2y7^*

0其它

当%N0(i=1,2,…〃)时，取对数得InL(2)=〃In♦-江茗,1分

令^^2=〃]一£W=0,得4="1.................................1分

2的极大似然估计量为A=j........................................1分

八、本题满分12分

解：由题意，要检验假设%:〃=18;仪：〃工18........................2分

因为方差未知，所以选取统计量7二由半..........................2分

S/y/n

又为=[8,〃=9,x=2\,5=7125,rO975(8)=2.306.................2分

得统计量7的观测值为年罕二上42.55...............................2分

7127/3

%⑻，即落入拒绝域内，...................................2分

能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁；................2分

2009-2010学年第一学期末考试试题3A卷概率论与数理统计

本试卷中可能用到的分位数：

%975(8)=2.3060,(9)=2.2622,w()975=1.96,9=1.282

一、填空题本题满分15分，每空3分

1、设P(4)=；,P⑻A)=g,P(A|8)=[,则P(B尸；

2、设随机变量X~N(O,1),①(幻为其分布函数，则①。)+①(t)=；

3、设随机变量X、£(5)指数分布，其概率密度函数为〃x)=卜用切比

0,x<()

雪夫不等式估计P\\X-EX\>2]<；

4、设总体X在+上服从均匀分布，则参数〃的矩估计量为；

若X£[0,1]

2

5、设随机变量X的概率密度函数为/(%)=-,若工日3,6]

0,其他

若女使得P{XN%}=2/3,则上的取值范围是；

二、单项选择题本题满分15分，每题3分

1、A、B、C三个事件不•都•发生的正确表示法是

AABCBABCCAuBuCDAuBuC

2、下列各函数中是随机变量分布函数的为；

0x<0

AF(x)=------,-co<x<+coB七(幻=

1-X

1+x11+Xx>0

3

C月(x)=e-^,-oo<x<+ooD&。)=一+——arctanx,-cc<x<+x

42乃

3、设E(X)=1,D(X)=2,则E(X+2)2=

AllB9CIODI

4、设XL，…,X』是来自总体X〜N(0,9)的一部分样本，则/3XI服从；

'收+…

AN(O,1)B©C«9)D/(l,9)

5、设总体X〜N(4，/),其中4己知，①⑶为N(0,1)的分布函数,现进行n次独

立实验得到样本均值为二对应于置信水平的〃的置信区间为4-£1+£),

则£由确定；

三、本题满分12分某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年内甲向银行申请贷款

的概率为，乙申请贷款的概率为,当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为；

求：1在一年内甲和乙都申请贷款的概率

2若在一年内乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率

四、本题满分12分设随机变量X的概率密度函数为“幻=［阳］幻其

［0具匕

中常数%>(),

试求：14；24--<X<-L3分布函数RX).

22J

五、本题满分12分设随机变量x与y相互独立，其分布律分别为

123

2/52/5

1/512

求：l(X,y)的联合分布律；1/32/3

2Z哮的分布律；3七圉.

六、本题满分12分设(X,Y)的联合概率密度为

、(A(l-x)y0<A:<1,()<y<\

r0其他，

(1)求系数A；

(2)求x的边缘概率密度，(X),丫的边缘密度人.()，)；

(3)判断x与y是否互相独立；

(4)求p{x+ywi}.

七、本题满分12分

正常人的脉搏平均72次/每分钟,现在测得10例酉也剂中毒患者的脉搏,算得平

均次数为次,样本方差为5.9292;已知人的脉搏次数服从正态分布,试问：中毒患者

与正常人脉搏有无显着差异。=0.05

八、本题满分10分1.已知事件A与B相互独立，求证入与》也相互独立.

2.设总体X服从参数为％的泊松分布，是X的简单随机样本，已知样本

方差S?是总体方差的无偏估计,试证：g伉+S2)是几的无偏估计.

2009-2010学年第二学期期末考试试题答案及评分标准3A卷概率论与数理统

计

一、填空题本题满分15分,每小题3分

1—；2、1；3、---；4、X；5、[113]

6100L」

二、单项选择题本题满分15分,每小题3分

1、D；2、B；3、A；4、C；5、A

三、本题满分12分

解：｛甲向银行申请贷款｝8二｛乙向银行申请贷款｝

1P(AB)=P(A)P(B/A)=P(A)(1-P(B/M).......3分

=03x(1-0.1)=0.27

.......3分

2—3分

…尻P(4)P(例A)。刀=

四、本题满分12分解1由1=J=f心(17)公="*-/)必:=%/6.

得k=6........3分

2P{-g<X<g}=£6MDdx=g

3F(.r)=-------2分，当xWO时FU)=01分

当0＜大＜1时,F(x)=£6x(1-x)dx=3x2-2x

分

当X>1时F(x)=1

•1分

0,x<0

F(x)=-3x2-2x3,0<x<11分

1,x>1

五、本题满分12分IX,Y的联合分布为：

X\Y12

11/152/15

22/154/15

32/154/15

••4分

2的分布律为：

Z1/213/223

P2/155/154/152/152/15

.......4分

3E(斗.

{Y)15

分

六、本题满分12分解：1由于「「/(x,y)d)必•=1.......2分

所以：Ab-gx2ngy2]；=],4xgxg=l,A=41分

I1

2当0<x<l时，/；G)=j4(17)M，=4(l-x)[”，2]；)=2(l-x)

[2(1-x)0<x<1

所以:fx(x)=•••2分

0其他

当()<y<1时，/；()，)=卜(1―幻)心=4y[x-1x2]；=2y

所以：/y(X)=«?0<y<1

......1.......2分

其他

3/所有的x,y£(-oo,+oo),对于/(x,)，)=<(/)/；()，)都成立

.•.X与Y互相独立••2

分

1-X+1

4P{X+r<l}=4|(l-x)tZrJydy2分

00

，

=2cr[x—1x''-X2H—2X3'H—1X3'—1x4M]=c2x-1=—11分

2334042

七、本题满分12分解：由题意得，X~N(%/)

Ho：〃=〃()=72%：〃工=72......・・2分

T=—~/(/?—1)...............3

S/yjn

儿的拒绝域为W={|r|>^/2(9)}...............3分

其中〃=10,5=67.4,5=5.929代入

67.4-72

=2.453>r(9)=2.2622,2分

5.929/90975

所以，拒绝H认为有显着差异

2分

八、本题满分10分

1、;A与3相互独立:.P(AB)=P(A)P(B)……——1分

从而P(AB)=P(AjB)=1-P(AUB)

=1-[P(A)+P(S)-P(AS)]•2分

因此：A与3相互独立…・.——2分

2、X服从参数为兄的泊松分布，则E(X)=2,Z)(X)=Z

E(X)=^D(X)=-...............2分

n

£,(S2)=2,E(X-2)=/l+A2,故Ei(X+S2)j=^,...............2分

因此g伉+S?)是4的无偏估计

1分

期末考试试题4

试卷中可能用到的分位数：

roy75(25)=2.0595,，也(24)=2.0639，〃也加=1・96(),〃9”=1.645

一、单项选择题每题3分，共15分

1、设P(A)=0.3,P(4u8)=0.51,当A与5相互独立时，，P(B)=

A.0.21B.0.3C.D.

2、下列函数中可作为随机变量分布函数的是

—1,x<0,

十、ME，

A.耳⑴/其它B.5(x)=«x,0<x<1,

1,x>1.

0,x<0,0,x<0,

C.K(x)=<x,0<x<1,D.居(x)=«x,0<x<1,

1,1.2,x>\.

3、设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E(X)=.

A.-B.-C.2D.4

42

4、设随机变量X与＞相互独立，且X~N(0,9),9~N(0,l).令Z=X-2Y,则

D(Z)=

A.5B.7C.11D.13

1〃

5、设X，X2,…,X”是来自正态总体X-MO,/)的一个样本，则统计量」7t"服从

b1=1

分布.

2

A.N(O,1)B.Z(I)C./(〃)D.t(n)

二、填空题每题3分，共15分

1、若P(A)>0,P(5)>0,则当A与5互不相容时,A与3.填“独立”或“不

独立”

2、设随机变量X~N(1J2),则P{-2«X«4}=.附：0(1)=0.8413

元，样本方差S?=3(匕则职工每天医疗费均值〃的置信水平为的置信区间

为.保留到小数点后一位

三、计算题每小题10分，共60分

1、设某工厂有A,8,C三个车间，生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占总产量的

25%,35%和4。%各个车间成品中次品的百分比分别为5嘱4%,2%,现从该厂产品中抽

取一件，求：1取到次品的概率；2若取到的是次品，则它是A车间生产的概率.

2、设连续型随机变量X的分布函数为/(》)=卜一‘口’”>0，

0,x<0.

试求：1A的值；2P{-1<X<1}；3概率密度函数/(x).

3、设二维随机变量（x,y）的分布律为:

1求X与y的联合概率密度函数/.*,））；2^P{（XX<1l<r<i}.

24

0<x<l,

5、设总体X的概率密度函数为：

0,其它

其中，夕>0为未知参数.X，X?,…,x”为来自总体x的一个简单随机样本，求参数

。的矩估计和极大似然估计.

6、己知某摩托车厂生产某种型号摩托车的寿命X单位：万公里服从N（10,。/）,在

采用新材料后，估计其寿命方差没有改变.现从一批新摩托车中随机抽取5辆,测

得其平均寿命为万公里,试在检验水平a=（）.05下,检验这批摩托车的平均寿命〃是

否仍为10万公里

四、证明题10分设X1,X?是来自总体未知的一个样本，试证明下面三个估

计量都是〃的无偏估计,并确定哪一个最有效

A21A13A11

M=§X]+5X2,“2=[X[+]乂2,=/X]+/X?.

X学年第二^学期末考试试题5概率论与数理统计

本试卷中可能用到的分位数：

h9c(15)=1.3406,r090(16)=1.3368,r095(15)=1.7531,r095(16)=1.7459

0(1)=0.8413,0(0.5)=0.6915，①(0)=0.5

一、填空题每小题3分,本题共15分

1、设A8为两个相互独立的事件，且P(AB)=-,P(AB)=P(AB),则

P(A)=；

0x<0

2、设随机变量X的分布函数为F(_r)=]sinx0W”£,则P{|X|<刍=_________；

26

,乃

1x>—

2

3、若随机变量X〜8(2,p),丫~8(3,〃)，若P{X21}=5,则P{Y21}=；

4、设X「X2，…"是〃个相互独立且同分布的随机变量，矶Xj)=〃，

Q(Xj=8a=l,2,..・,〃)，对于X=^Zx,，根据切比雪夫不等式有

ni=\

P{|X-//|<4!>；

5、设X1,X?为来自正态总体X〜Ng/)的样本，若CX,+2X?为〃的一个无偏估计,

则c=；

二、单项选择题每小题3分,本题共15分

1、对于任意两个事件A和3,有P(A-8)等于

AP(A)—P(B)B尸(A)-P(AB)

CP(A)-P(B)+P(AB)DP(A)+P曲-P(AB)

2、下列Rx)中，可以作为某随机变量的分布函数的是；

0x<——

0.5/x<02

AF(x)=•0.80<x<1BF(x)=siiix--<x<0

2

1x>\1x>0

0x<00x<0

().30<x<IO.Lr0<x<5

C"(x)=WDF(x)=

0.21<x<20.45<JC<6

1x>21x>6

3、设离散型随机变量X的分布律为P{X=A}="：优=1,2,…)，且b>0,则尤为

A大于零的任意实数BA=/?+1C2=—!—D4=—!—

Z?+lb-\

4、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望为

AlB2C3D4

5、设随机变量X与丫相互独立，都服从正态分布N(O,32),(乂|/2，--,乂9)和

(匕名,・、匕)是分别来自总体*和丫的样本，则丁二：='¥2：一—乂9服从

g+理+…宁

AUT⑻BU-F(9,9)CU~«9)Dt/­72(8)

三、本题满分12分某工厂有三部制螺钉的机器4、E、C,它们的产品分别占全部

产品的25%、35%.40%,并且它们的废品率分别是5%、4%、2%;今从全部产品中任

取一个，试求：1抽出的是废品的概率；2已知抽出的是废品，问它是由A制造的概

玄；

四、本题满分12分设随机变量X的概率密度函数为/*)=4/叫(-oovxvy),求：

1常数A;2P{(XX<1)；3X的分布函数；

五、本题满分12分设(X%)的联合概率密度函数为

〃心)=[2-：-，。—/I试求：ix,y的边缘概率密度函数/⑴/⑴；

[。具匕

2判断Xd是否相互独立，是否相关；

六、本题满分10分设随机变量X服从正态分布m22),试求：

1P{2<X<5};2求常数C,使P{X>c}=P{XWc};

3若X与y相互独立，y服从正态分布N(2,4),求D(3X-2y+l);

七、本题满分12分设总体X〜碎O,p),其中0<”1为未知参数;设以,工.../“)

为来自总体X的样本,求未知参数P的矩估计与极大似然估计；

八、本题满分12分1从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度单位：cm的均值

二=2.125,标准差s=JF=0.01713；假设钉子的长度求总体均值〃的

置信水平为0.90的置信区间；

2设x~N(4/：),㈤),x与y相互独立，而(XpX2,…,X,”)和

（XM，…，匕）分别是来自总体x和y的样本，若x-y~N5㈤，求

工学年第二学期期末考试试题5答案及评分标准概率论与数理统计

一、填空题本题满分15分,每小题3分

2IIQI

1、-；2、，3、—；4、1-—；5、-1

32272〃

二、单项选择题本题满分15分,每小题3分

2、B；2、A；3^C；4、D；5、C

三、本题满分12分

解：设A;｛抽出的产品由A制造｝,4=｛抽出的产品由B制造｝,

A：「｛抽出的产品由C制造｝,B二｛抽出的产品是废品｝..............1分

由全概率公式：P（B）=yp（A）P（B|A）4分

i=\

=25%x5%+35%x4%+40%x2%=-^-(0.