概率论重点题

概率统计重难点题

1.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男

孩的概率(小孩为男为女是等可能的).

【解】设/二｛其中一个为女孩｝,后｛至少有一个男孩｝,样本点总数

为"8,故

P网A)二迹二"3

1P(A)7/87

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7・

2.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人

恰为色盲，问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一

半).

【解】设在｛此人是男人｝,庐｛此人是色盲｝,则由贝叶斯公式

p(川⑶=谩2=P(A)P(B|A)

1P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B\A)

05x0.0520

"().5x0.05+().5x0.0025-2?

3.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中

任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出

3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】设4=｛第一次取出的3个球中有［.个新球｝,7=0,1,2,3,后｛第

二次取出的3球均为新球｝

由全概率公式，有

尸(8)=fp网4)p(a)

/=0

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=0.089

4.某保险公司把被保险人分为三类「谨慎的”，“一般的”「冒失的”.

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为

0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”

占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故，

则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】设本｛该客户是“谨慎的”｝,后｛该客户是“一般的”｝,

俏｛该客户是“冒失的”｝,二｛该客户在一年内出了事故｝

则由贝叶斯公式得

P⑷。）=迺=__________P（A）P（-A）________________

P(D)P(A)P(D\A)+P(B)P(D\B)+P(C)P(D|C)

0.2x0.05

=0.05731.设随机变量

0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3

r^（o,1）,试求:

（i）片，的分布函数及密度函数;

（2）容21n才的分布函数及密度函数.

【解】(1)P(O<X<1)=1

故P(1<Y=ex<e)=1

当”1时弓(y)=P(…)=0

当l<y<e时F/y)=P(e'<y)=P(X<hiy)

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rIny

=Jdjc=Iny

当介e时K(y)=P(ex<y)=1

即分布函数

0,y<l

玛(y)=«Iny,1<y<e

y>e

故F的密度函数为

i

1<y<e

/r(.y)=j乂

0,其他

(2)由P(0<*1)=1知

P(Z>O)=1

当zWO时，%(z)=P(ZWz)=O

当Z>0时，Fz(z)=P(Z<z)=P(-21nX<z)

=P(lnX<-|)=P(X>e-2/2)

即分布函数

0,z<0

匕（z）=

l-ez/2,z>0

故Z的密度函数为

—z〉0

/z(z)=5

0,z<0

5.设随机变量X的密度函数为

2x_

—,0<X<71,

F(x)二兀，

0,其他

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试求片sinl的密度函数.

【解】p(o<r<i)=i

当Z0时，^(y)=P(Y<y)=O

当0<7<1时，^y(y)=P(Y<y)=/"(sinX<y)

=P(0<X<arcsiny)+尸(兀-arcsiny<X<7t)

/•arcsiny2x,f32x,

口+

=JO-冗74Jn-arcsiny-冗,d-V

=-y(arcsiny)2+aicsiny)2

兀-71’

2

=—arcsiny

n

当介1时,Fy（y）=l

故P的密度函数为

6.设随机变量（％D的概率密度为

1,小x,0<x<1,

f(x,y)=

0,其他

求条件概率密度好,（川x）,春"（My）.

题11图

【解】人。）=J：fQ，y）dy

[Idy=2x,0<x<1,

=<J-x

其他.

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J\dx=1+y,-1<y<0,

f(y)=\+=<f1Idr=1-y,

Y0<y<l,

J-<0Jy

0,其他.

所以

1

/(3)1)'1<犬<1,

4x（）lx）=2x

fxw

0,其他.

1

y<x<\,

i-y

-y<x<\,

源而r1+)，

0,其他

7.设二维随机变量（％n在以（0,0）,（0,1）,（1,为顶点

的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（%D,。心

【解】如图，出，故"”的概率密度为

y

o

题18图

2,(x,y)GD,

/(x,y)=<

0,其他.

E(X)=JJ#(x,y)dxdy=£x»2dy=g

D3

E(X2)=jjx2f(x,y)dvdy=£dx£2x2dy=—

D。°6

if1

22

从而D(X)=£(X)-[E(X)]=-=7?

o3>

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同理E（y）=:，D（y）=4

31o

而E(Xy)=JJxyf(x,y)dxdy=JJ2xydxdy=£dr£'2xydy=—.

I)I)oo12

所以

Cov(x,r)=E(xn-E(x).E(y)=l-lxi=-±

cov(x,r)

从而PXY~/D(X).y[D(Y)

8.某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7,假定

各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.

问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不

足而影响生产.

【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床

数目最大值”而〃要满足200部机床中同时开动的机床数目

不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15〃单位电能就可

满足要求.令X表同时开动机床数目，则『8（200,0.7）,

E(X)=140,D(X)=42,

加一140、

0.95=F[O<X<m\=F(X<tn)=①

V42;

m-140，//1-

查表知—=1.64,,2ZF15L

V42

所以供电能151X15=2265（单位）.

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9.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的

治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如

果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.

(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断

言的概率是多少？

(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断

言的概率是多少？

【解】xf,釐治愈’12双

令*=*100,.

1=1

(1)-8(100,0.8),

逮X,>75}=i{X«75}，|一丁丁70°X°.8]

M<7100x0.8x0.2J

=1-①(一1.25)=①(1.25)=0.8944.

(2)r5(100,0.7),

P优Xj>75}=JP{X«75g.a/：5700X0.7]

M^100x0.7x0.3J

=1-0(-^)=1-0(1.09)=0.1379.

10.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量,

设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分

别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会

议的家长数相与独立，且服从同一分布.

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(1)求参加会议的家长数X超过450的概率？

(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.

【解】(1)以尤2,…,400)记第，个学生来参加会议的家长数.

则尤的分布律为

易知E(X=l.1),〃(%)=0.19,7=1,2,400.

而x=£x,,由中心极限定理得

450-400x1.1

于是P{X>45O}=1-P{XW450”l—中

=1-0(1.147)=0.1357.

(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则广6(400,0.8)由拉

普拉斯中心极限定理得

P{y<340«0)f予4。-400x0.8]=①@=0.9938.

<7400x0.8x0.2>

11.设总体X服从二项分布6(〃，0)，刀已知，X,尤为来自

X的样本，求参数夕的矩法估计.

【解】石(X)=/w，E(X)=4=jF,因此斫又

所以0的矩估计量p=-

12.设总体孑的密度函数

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2

f（x,。）=5（〃—幻，0<》<仇

0,其他.

%,“，…，尤为其样本，试求参数e的矩法估计.

【解】E（X）/仙。73£吟-4等，

令E{X）=Ji=x,因此2二T

3

所以？的矩估计量为*3元

13.设总体X的密度函数为f（力。）,%,尤为其样本，求

。的极大似然估计.

0e°\

(1)fQx,B)=.x>0,

0,x<0.

。心，（）<_¥<1,

8)=.

0,其他.

【解】⑴似然函数，口n〃46)=歹Rne"=6〃-6e*V合x-

dlnL二/储=。知

啮d。D七1

n

A，

r=1

所以夕的极大似然估计量为。=L.

X

⑵似然函数L="力短,0<%<1,户1,2,…,n.

i=l

InL=〃In。+（。-1）In1［玉

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=2+In口％=0知

（7•.

0=———〃■

mmZ,nA'r

所以8的极大似然估计量为

Z1，1Xr

14.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布

M4.55,0.1082）.现在测了5炉铁水，其含碳量（％）分别为

4.284.404.424.354.37

问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（^=0.05）?

【解】

"o:〃=〃（）=4.55;H\：〃（）=4.55.

n=5,a=0.05,Z/2=Z0（P5=1.96,cr=0.108