概念及线性运算.2023届高考数学一轮复习-第1讲-平面向量、复数

第五章

第1讲平面向量的概念及线性运算

考向预测核心素养

主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘

向量)及其几何意义、向量共线定理，有时也会有

数学抽象、直观想象

创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，

中低档难度.偶尔会在解答题中作为工具出现.

1基础知识三国园、j

［学生用书P129］

<走材

一、知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量：方向相同或省反的非零向量，又叫共线向最，规定：0与任意

向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

［注意］(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向.

(2)任意向量。的模都是非负实数，即同2().

2.向量的线性运算

向量法则(或几

定义

、—运算律

运算dcdr何意义)

交换律：a+b=b

求两个向量和的运a+。;

加法三角形法则

算结合律:(a+b)+c

平行四边形法则-a+(b+c)

求两个向量差的运

减法〃一力=。+（一万）

算a

三角形法则

Ra\=U\\a\,当2>0

时，几〃与。的方

向相同;X(H。)=(2〃)。；

求实数4与向量Q

数乘当2Vo时，与a(7+4)。=；

的积的运算

的方向相反;4(a+b)=ia+劝

当2=0时、

14

3.向量共线定理

向量Q（〃WO）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数八，使力=痴.

©常用结论

1.若P为线段4B的中点，。为平面内任一点，则5>=夕苏+励）.

2.若G为△ABC的重心，则有

（1）GA+GB+GC=O；（2）AG=|（AB+AC）.

3.为=丸加+〃沆（九〃为实数），若点A,B,C共线，则2+M=1.

二、教材衍化

1.（人A必修第二册P4练习Ti改编）给出下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时

间.其中不是向量的有（）

A.3个B.4个

C.5个D.6个

解析：选C.质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数

量，不是向量.

2.（人A必修第二册Pi4例6改编）已知口ABCD的对角线AC和BD相交于

点0,且OB=b,则比=，BC=.（用。，力表示）

解析：

如图，DC=AB=OB-OA=h-afBC=6c-OB=-OA-OB=-a-b.

答案：b~a—a-b

Ar5.

3.（人A必修第二册Pi5练习T2）点C在线段AB上，且而贝必C=

AB,BC=AB.

52

答案：1v

走［出I误］区

一、思考辨析

判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.（）

（2）若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.（）

（3）若向最花与向量⑦是共线向量，则A,B,C,D四点在•条直线上.（）

（4）当两个非零向量用力共线时，一定有b=加，反之成立.（）

答案：（1）X（2）X（3）X（4）V

二、易错纠偏

1.（多选）（向量概念理解不准确致误）下列命题错误的是（）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若4,B,C,。是不共线的四点，且锯=反，则四边形A8C。为平行

四边形

C.相反向量就是方向相反的向量

D.。与〃同向，且|°|>|臼，则a>b

答案：ACD

2.（向量运算法则运用易错）点。是△ABC的边上的中点，则向量亦=

2.设°,力都是非零向量，则下列四个条件中，使育端成立的充分条件是

A.a=~bB.a//b

C.a=2bD.a〃b且⑷=步|

解析：选C.因为向量合的方向与向量〃相同，向量微的方向与向量b相同，

且奇=jti，所以向量。与向量力方向相同，故可排除选项A,B,D.

当a=2b时,含=洸=言故"a=2b"是喂=旨'成立的充分条件.

l«l\2b\\b\回\b\

3.给出下列命题：

①若向量。〃从h//c,则a〃。；

②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；

③在菱形A5CQ中，一定有前=方乙

其中是真命题的为.（填序号）

解析：若力=0,则向量〃不一定与。平行，故①不正确.单位向量的长度

为1,当所有单位向量的起点在同一点。时，终点都在以。为圆心，1为半径的

圆上，故②正确.

在菱形ABC。中，|福|=|庆1，魂与比方向相同，故施=反，故③正确.

答案：②③

ADB

如图，在△A8C中，ZACB的平分线CD交AB于点D若病的模为2,比的

模为3,屐）的模为1,则踮的模为.

解析：

如图，过点A作6c的平行线交CO的延长线于点E

因为ZACD=/BCD=NE,

所以|屐1=|函|.

因为8C〃AE,所以△AOEsaBDC,

3

-

2

3

答案：

缀后感悟-------------------------------

平面向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它

与函数图象的移动混淆.

(4)非零向量〃与言的关系：言是与〃同方向的单位向量.

考点二平面向量的线性运算(综合研析)

复习指导：1.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.

2.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.

僭Hl(1)(梃接常用结论1)(一题多解)(2022•合肥市第二次质斑检测)在△△8c

中，BZ)=|BC,若筋=〃，AC=h,则病=()

2112

B.ga+赳

二2,八21

C.'ja-jb

⑵

AD

R

（2022・芜湖第一中学高三月考汝I图所示，在等腰梯形A8CO中，AB=BC=

CD=3AD,点E为线段C。上靠近C的三等分点，点户为线段月。的中点，则位

=()

A.一《通+2AdB.—

1O1O1OV

c.—Y^Afe+yicD.—

【解析】

（1）通解：如图，过点。分别作AC,43的平行线交AB,4c于点E,F,则

1C

四边形AEQ/为平行四边形，所以病=屐:+#.因为筋=g心，所以施=掷,

»1»2—I»21

AF=-^AC,所以屐)=亍巾+3公=于7+3从故进A.

优解一：AD=AB-^Bb=AB+^BC=AB+^(AC—AB)=^Ab，-^^AC=^a^b,

故选A.

优解二：由前=凝,得病一筋=!（危一丽），所以病=筋+3（病一筋）

2f]f?|

=?彳&+§比=1。+]从故选A.

(2)FE=FC+CE=|BC+|cb

=；(危一筋)+耒无+旗)

=|AC-1AB4-1(,4B-Ac)

=—7^Afi4-^7AC,故选A.

1o1o

【答案】(1)A(2)A

因题技巧

向量线性运算的解题策略

(1)向量的加减常月的法则是平行四边形法贝!和三角形法则，一般共起点的

向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角

形法则.

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一

个平行四边形或三角形中求解.

I跟踪训练I

1.

I)______E

如图，在正六边形ABCOE/7中，丽+&)+前=()

A.0B.BE

C.ADD.CF

解析：选D由于应=无，故丽+济+前=⑦+方

2.

(2022•安徽省宣城市郎溪县模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利

用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个

全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦

图"中，若就=°,BA=bfBE=3EF.则脐=()

12,9.n16,12,

AB.行〃+行。

DR+3

C•尹+学

3

就-

解析：选8.而=反＞+次=册+［或=反*+*而+或）十

4

（一浙+同，

即济=反：+义—油+对解得济=n反:+1|或

即济=票°+呆0.

D一、，

3.己知。为的边BC的中点，点尸满足中+旃+前=0,AP=XPD,

则实数入的值为.

解析：因为D为边BC的中点、,所以加+亚=2济，又戌+济+及=0.

所以戌=而+无=2①，

所以办=一2而，所以兀=一2.

答案：一2

考点三向量共线定理的应用（多维探究）

复习指导：理解两个向量共线的含义，了解向量的线性运算性质及其几何意

义.

角度1判定向量共线、点共线

侧②已知O,4,M,区为平面上四点，且而=入协+（1—九）以（入£区4

#0,且2#1）.

（1）求证：A,B,M三点共线；

（2）若点B在线段AM上，求实数2的取值范围.

【解】（1）证明：因为m=4。方+（1—/1）为，

所以而=2为+近一2万~

所以瓶=/翔（2£R,A#=0,且/IW1）.

又翁;与赢有公共点A,所以A,B,M三点共线.

(2)由(1)知，AM=XAB,

若点B在线段AM上，则病与油同向，且AWO,人手1,所以|俞|>|篇|>0,

所以2>1.故实数2的取值范围为（1,4-oo）.

角度2利用向量共线定理求参数

侧⑶（链接常用结论3）（1）（一题多解）在△ABC中，若病=2访，C£>=|cA4-

XCB,则2=

12

（2）如图所示，在AAAC中，俞=伸7,〃是8N上的一点，若A>=〃?浦+JY

危，则实数〃2的值为

【解析】（1）方法一：由45=2踮，知A,B,。三点共线.所以Q+7=1,

从而2=|.

方法二：由题意知⑦=m+能①,

CD=CB^-BD②,

且病+2眇=0.①+②X2,得3&）=己+2京.所以①所

2

以入=].

（2）注意到N,P,B三点共线，因此有讣=ma+jYXt=mAfe+yp^Kl,从

65

所

-以I

H=1-

lr

MJ5

2

答I%)TT

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