数学试题卷(创新班)+答案【黑吉辽蒙卷】吉林省吉林市一中23级(26届)2025-2026学年度高三上学期第一次质量检测(9.25左右)

吉林一中23级20252026学年度上学期第一次质量检测数学学科(创新班)1.复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一(1)班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》,有8人观看了《浪浪山小妖怪》,有14人观看了《长安的荔枝》,有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》,有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》,没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为()3.已知等差数列{a}的公差为3,且a₂,a₄,a成等比数列，则a₆=()A.16B.17C.194.如图，在几ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,m>0,n>0,则的最小值为()A.2B.95.如图，下列函数的图象和下图最接近的是()满足f(3a+2)+f(a)<1,则实数a的取值范围是()A.a+b≤1B.a+b≥1C.a9.下列论述正确的是()A.若事件M≌N,则P(M)<P(N)10.(多选)已知函数f(x)=Asin(wx+φ)+B(A>0,w>0,一π<φ<0),其部分图n∈N",令,且数列{cn}的前n项和为Sn,则()A.B.{ca}是递增数列D.四、解答题(共6小题，77分)组距a0.0050405060708090100成绩(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为(60,70)和(70,80)的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自(60,70)组的学生的概率；(3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：x₁,x₂,x₃,…,x10,已知这10个成绩的平均数x=90,标准差s=5,若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差.16.在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,c=5,VAB17.将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an},且(2)求数列{a}的前n项和Sₙ.18.设a>0,函数(1)若曲线f(x)在x=x₀处切线恒过原点，求x。的值；(2)若存在一组m,n(n>m>0),使得f(x)的定义域和值域均为[m,n](i)求a取值范围；(ii)若n≤2m,求实数m的取值范围.(2)①若恒成立，求λ的取值范围；②记f(x)的源数列为{cn},前n项和为Sₙ.证明：吉林一中23级20252026学年度上学期1.复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算得z=-2+i,进而得z在复平面对应的点为Z(-2,1),即可求解.【详解】因为所以Z在复平面对应的点为Z(-2,1),位于第二象限，2.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一(1)班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》,有8人观看了《浪浪山小妖怪》,有14人观看了《长安的荔枝》,有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》,有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》,没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为()【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解.设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安荔枝》有x人，在相应的位置填上数字，则9+3+3+(8-3-x)+x+(14-3-x)=28,解得x=3,所以只观看了《长安的荔枝》的人数为14-3-3=8人.3.已知等差数列{a}的公差为3,且a₂,a₄,a成等比数列，则a₆=()A.16B.17C.19【解析】故(a+3)(q+24)=(a+9)²,故a₆=a₁+15=16,若AB=mAM,AC=nAN,m>0,n>0,则的最小值为()A.2B.9【解析】【详解】因为0是BC的中点，所以所以即m+n=2.当且仅当时，即n=2m时等号成立.由于m+n=2,所以解得,此时最小值为9.5.如图，下列函数的图象和下图最接近的是()A.y=2*-x²-1B.y=(x²-【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域排除D,根据特殊点处的函数值的符号排除AC,故可得正确的选项.【详解】由图可得(0,+∞)为函数定义域的真子集，且当x<0时函数为正，对于D,的定义域为(0,1)U(1+∞),故D不符合；6.已知函数满足f(3a+2)+f(a)<1,则实数a的取值范围是()【解析】【分析】由题意推出f(-x)=1-f(x),利用导数判断函数的单调性，由此将f(3a+2)+【详解】∵2bcosC+2cc即2sin(B+C)=asin由正弦定理，得sinAcosC+√3sin因为A∈(0,π),所以A.a+b≤1B.a+b≥1C.ab≤b【解析】【分析】令f(b)=sin2b-e⁶+e⁻,,利用导数可讨论两者的单调性，结合,则,则取b=2,令g(a)=f(2)<0,故a>1,此时a+b=a+2>1,ab=2a>2,故AC错误.此时a+b=a-2<-1,故B错误.对于D,若b<0,则f(b)=g(a)>0,故0<a<1,故ab>b;若b>0,则f(b)=g(a)<0,故a>1,故ab>b;而b=0,则,故a=1即ab=b,故ab≥b.9.下列论述正确的是()【解析】对于D,由事件M,N相互独立，P(M)>0,P(N)>0,P(MN)=P(M)P(N)>0,因此M,N不互10.(多选)已知函数f(x)=Asin(wx+φ)+B(A>0,w>0,一π<φ<0),其部分图象如图所示，M,N分别为最高点、最低点，则下列结论正确的是()A.函数f(x)图象的对称中心为点(6k+5,0),k∈ZB.函数f(x)的单调递减区间为(12k+8,12k+14),k∈ZC.将函数f(x)的图象向左平移4个单位长度得到一个偶函数D.不等式f(x)≥4的解集为[12k+6,12k+10],k∈Z【答案】BD【解析】【分析】根据题目给出的函数解析式和图象信息，确定函数解析式中的参数A,w,④和B,再利用整体代入法求解对称中心判断A,利用周期性结合图象判断B,利用函数的平移规则判断C,利用正弦函数的性质求解不等式判断D即可.解得令k=0,得到此时而M是最高点，得到A+B=6,而f(x)过原点，得到解得A=4,B=2,因此令,k∈Z,解得x=6k+5,k∈Z,对于D,∵f(x)≥4,∴,k∈Z,n∈N",令,且数列{cn}的前n项和为Sn,则()【解析】D选项.其中n∈N,故当x≥1时，3x+¹.In3≥3²=9,所以8-3x+¹·In3≤8-9<0,所以f(x)≤f(1)=8+1-9=0,所以8x+1≤3+¹(x≥1),所以,所以(故C,D均正确.得x=1,即切点P(1,0),点P(1,0)到直线2x-y+8=0的距离为【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，利用余弦定理求出C的范围，进而求出sinC的范围.【详解】由cos2A+cos2B=2cos2C,得1-2sin²A+1-2sin²B=2-4sin²C,由正弦定理得a²+b²=2c²,则,当且仅当a=b时等号成立.又C∈(0,π),且余弦函数y=cosx在(0,π)上单调递减，而正弦函数y=sinx在(0,π)上单调递增，因此所以sinC的取值范围为故答案为： 【答案】【解析】【分析】由题可得DB·AC=AB·DC=BC·DA=0,因此DA,DB,DC两两夹角为120°,三角形为等边 三角形，点D是三角形的中心，所以建立直角坐标系，根据AP|=1,,得到P的轨迹方程为圆，得到BM的坐标，进一步可得结果.【详解】因为D4=|DB|=|Dc,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,所以DBAC=DB(DC-DA)=DBDC-DBDA=0,|DA²cos(DA,DC)=-2.所以∠ADC=∠BDC=∠ADB,因此DAAB²=(DB-DA)²=DB²-2DA·DB+DA²=DB²-2DC·DB+DC²=(DB所以AB²=CB²即AB=CB,同理AB=AC,故三角形ABC为等边三角形，点D是三角形的中心，设P(x,y),因为动点P,M满足AP|=1,PM=MC,所以P的轨迹方程为(x+√3)²+y²=1,故答案为：四、解答题(共6小题，77分)15.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”,规定按照成绩由高到低取前10%进入决赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x(单位：分，得分取正整数，40≤x≤100)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组(如图):频率频率组距a0405060708090100成绩(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为(60,70)和(70,80)的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自(60,70)组的学生的概率；(3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：x,x₂,x₃,…,x10,已知这10个成绩的平均数x=90,标准差s=5,若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差.【答案】(1)a=0.030;88分(3)平均数90,方差为27.25【解析】【分析】(1)根据频率之和为1即可求解a,再将数据由高到低排列取其前10%即可；(2)根据分层抽样比求解人数，即可列举所有可能结果，利用古典概型的概率公式即可求解；(3)根据平均数以及方差的计算公式即可求解.【小问1详解】由图可知：10×(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)=1,解得a=0.030,因0.005×10=0.05,10×(0.005+0.025)=0.3,则成绩由高到低的前10%分数线必在(80,90)之间，设分数线为m,则10×0.005+0.025(90-m)=0.1,得m=88,则进入决赛的最低分数为88分.【小问2详解】样本成绩位于(60,70)和[70,80]的比例为故所抽取的6个人中，来自(60,70)的人数为,设这两个人为1,2,来自(70,80)的人数为,设这4个人为a,b,c,d,(12),(la),(1b),(1c),(1d),(2a),(2b),(2c),(2d),(ab),(ac),(ad),(b故2人中有来自(60,70)组的学生的概率为【小问3详解】由x=90,可得x+x₂+x₃+…+x₀=90×10=900,则剔除其中的94和86两个分数，剩余8个数平均数为故则剩余的8个数的方差16.在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,c=5,VABC的面积为(1)求a,b;【答案】(1)a=7,b=8【解析】【分析】(1)利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出,根据三角形面积公式和余弦定理即可求得边a,b;(2)①利用三角形面积相等即可解方程求得线段AD的分别在△ABD和厂ACD,利用正弦定理，推得,计算即得tan∠BAD.【小问1详解】因为因为,c=5,解得b=8,【小问2详解】依题意解得②设∠BAD=θ,所以在△ABD中，由正弦定理得，,即BD因CD=2BD,sin∠ADB=sin∠ADC,代入化简得17.将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{a},且(2)求数列{a}