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Ch5留数---复习指南内容小结留数定理(1)留数的定义;(2)留数的计算方法;分可去奇点,极点和本性奇点三种情况；(3)留数定理.留数定理的应用利用留数定理计算沿闭曲线的复积分；应用留数定理计算某些定积分和反常积分.应用Rouche定理求方程根的个数.儒歇定理:(1)若在上解析;(2)在上,,则在内,与的零点个数相同.典型例题例1、计算下列积分：(1)；(2)；(3).解：(1)显然被积函数有一个2阶极点和一个1阶极点，且它们都在圆内，于是由留数定理得.（2）显然被积函数有一个3阶极点，且它在圆内，于是由柯西积分公式得。（3）显然被积函数有二个简单极点和，且它们都在圆内，于是由留数定理得。例2、利用留数定理计算实积分：,其中.解：.因为被积函数是偶函数,所以.令,则.且当从增加到时,将沿逆时针方向绕单位圆周一周,于是.记,显然只有两个奇点,且都是的一阶极点,只有在内,以及,所以由留数定理得.例3、计算下列反常积分：(1)；(2).解：(1)由得，其中，在上半平面，且都为的一阶极点，于是设,令,则由留数定理得令,根据引理5.2.1得。(2)由得，，其中在上半平面上，且为的一阶极点，于是.设,令,则由留数定理得令,根据引理5.2.1得.例4、证明方程在圆内有3个根。证明：令,,，则显然与处处解析，且当时，，于是根据儒歇定理得，所以方程在圆内有3个根。例5、求方程在圆环内根的个数。解:令,,，则显然与处处解析，且当时，，于是根据儒歇定理得，所以方程在圆内有5个根。因为当时,有,所以方程在闭圆内无根,因此所以方程在圆环内有5个根。例6、证明方程的全部根都在单位圆内。证明：首先根据代数基本定理得，方程在平面上共有8个根。令，，，则显然它们处处解析，且当时，，于是根据儒歇定理得，故方程的全部8个根都在单位圆内。三、基础知识问题1、什么叫留数？2、对解析函数的可去奇点,极点和本性奇点，如何计算它的留数？3、留数定理的内容是什

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