人教A版（2019）高中数学必修第一册 4.4.3 不同函数增长的差异 教案（表格式）

课题4.4.3不同函数增长的差异教学目标1.通过具体列表作图，对比指数函数、对数函数与一次函数增长的差异，感受其不同的增长速度与趋势，体会数形结合思想。2.通过控制，，的连续变化的探究，让学生直观感受对应的函数，和的图象的增长变化情况，进一步理解“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的含义，培养学生的理性思维。教学重点：对比探究指数函数、对数函数与一次函数的增长差异。

教学难点：1.对不同函数增长差异的理解，尤其对大范围数据图象变化的观察发现；2.运用符号语语言准确表达增长情况。课时教材分析本节课内容是不同函数增长差异的比较，是对“幂指对函数”图象与性质的理解与提升，重在运用信息技术让学生观察发现、总结归纳不同函数增长的差异，对学生的思维要求更高。本课不仅是“幂指对函数”图象的延伸探究，也是后面应用函数模型解决实际问题的基础。课时学情分析学生已经学习了函数概念、图象与性质，积累了利用函数图象解决代数问题的经验，也初步感知了一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异，但对于不同函数增长的差异认识还不够系统完整，还不能用严谨的数学语言对其进行描述，所以，需要借助函数图象的对比来继续深入探究，加强学生对不同函数增长差异的认识和理解。开放性学习环境给学生规范的表格和格点图，引导学生注重函数作图，培养学生规范的作图习惯，充分发挥信息技术的计算、作图、列表等功能，通过改变一些数据的设置呈现动图变化。教学过程教师导语：1.请你列举在上单调递增的函数；2.请你选取指数函数、一次函数、对数函数，列表画出它们在上的函数图象。设计意图：帮助学生复习回顾前面学过的几类在上的单调递增函数，点明本节课的研究重点是指数函数、对数函数和一次函数的增长差异。通过投影学生的三个函数图象，让他们在具体列表画图和对比观察的过程中直观感受这三类函数的增长方式的差异，引导他们将两类函数或三类函数放在同一个坐标系上进行对比研究。一、复习回顾请你选取适当的指数函数、一次函数、对数函数，列表画出它们在上的函数图象。列表1作图1________···列表2作图2________···列表3作图3________···预设学生画图情况：选取、（或）、（或）等。二、探究活动任务1：指数函数与一次函数在上的增长差异。任务2：对数函数与一次函数在上的增长差异。请同学上台分享探究成果（教师逐步提问方式如下问题1-3，最后总结问题4）。问题1.你选取的是哪两个函数？你能画出这两个函数的大致图象吗？问题2.你能用自己的语言描述一下它们的增长情况吗？问题3.可以尝试用数学符号语言描述一下它们的最终趋势吗？问题4.如果通过改变和的值，结论会发生改变吗？请你根据探究过程中观察到的图象的增长特点，结合自己的理解描述它们的增长差异。预设学生分享1：选择与进行研究，发现虽然与在上都单调递增，但增长速度不同。的增长速度越来越快，而增长速度保持不变，从图象上看，一直在上方（如图1.1）。图1.2图1.1教师提问：很好，还有选取了其他指数函数和一次函数的吗图1.2图1.1预设学生分享2：选择与进行研究，发现随着的增大，的增长速度越来越快，而的增长速度一直保持不变。最后，的增长速度会超过的增长速度，图象处于的上方。教师追问：你能用数学符号语言来表述吗？预设回答：最后，总会有（如图1.2）。教师追问：从什么时候开始会有？是不是一定会有？预设回答：在第二个交点之后，一定会有。教师总结：所以，我们可以说总会存在一个，当时，恒有(这个可以是第二个交点的横坐标，也可以是比它大的任何一个数）。教师追问：如果把它的底数设置为很小的数（比1大），同时把设置为很大的数呢？也会得到类似结论吗？预设回答：我们不妨选取与进行研究，虽然在小范围内，我们看到几乎与轴保持平行，而图象很陡（说明增长速度比较快），但当我们不断调整，我们仔细观察大范围的增长数据会发现，随着的增大，从某一个数开始，会与再次相交，之后就始终在图象的上方。教师追问：所以它们的图像增长趋势也同样符合前面的哪一类增长情况？预设回答：和图1.2一样。教师演示：下面，我们通过表格数据来观察一下老师选取的这两个函数的增长情况，你发现了什么？11.00101000021.00202000031.00303000041.00404000051.00505000061.006060000101.01001000001001.1051100000010002.7169100000001000021916.6813100000000150003244607.664715000000020000480340920.91772000000003000010527478897860.100030000000040000230727400308018000.0000400000000预设回答：当到达20000时，对应的函数值越来越大，尤其当取40000时，对应函数值非常大，呈现“爆炸式”增长。教师总结问题4：所以同学们刚刚通过改变和的值，结论会发生改变吗？请你根据探究过程中观察到的图象的增长特点，结合自己的理解描述它们的增长差异。预设回答1：无论的值有多小，的值有多大（即使的值远远大于的值），（）的增长速度最终都会超过（）的增长速度。预设回答2：一般地，总存在一个，当时，指数函数（）恒在一次函数（）的上方，即。教师追问：几位同学分别用自然语言和符号语言进行了准确的描述，那么你能具体描述指数函数和一次函数的增长特征吗？预设回答：指数函数增长速度越来越快，呈爆炸性增长；一次函数保持匀速增长。设计意图：通过探究任务1让学生对自己选择的两个函数的增长情况进行对比研究（如图1.1和图1.2），感知指数函数的爆炸增长；另外，引导学生通过信息技术改变底数和系数，让学生观察指数函数（）与一次函数（）的增长差异（使得结论一般化）；最后教师以表格的形式呈现两类函数的数据变化，引导学生用自己的语言总结两类函数的增长特征，得出“指数函数的增长速度一定会超过一次函数的增长速度”等相关结论，并能用数学符号语言表述，提升学生的数学表达素养。教师：下面请完成探究任务2的同学上台来分享探究成果。预设学生分享3：选择与进行研究，发现的增长速度越来越缓慢，最后几乎与轴保持平行，而增长速度保持不变，从图象上看，一直在下方（如图2.1）。教师提问：很好，还有选取了其他对数函数和一次函数的吗？请你来进行补充。预设学生分享4：选择与进行研究，发现的增长速度一开始比较快，但后面越来越慢，而增长速度保持不变（如图2.2）。图2.2图2.2图2.1教师追问：随着的增大，与的图象会保持怎样的增长趋势呢？预设回答：通过操作演示观察，对数函数增长速度越来越慢，最终会慢于一次函数的增长速度，处于的图象下方。教师追问：我们把对数函数扩大1000倍，或者改变和的值，结论会发生改变吗？预设学生分享5：选择与进行研究，发现函数图象最终会呈现和图2.2一样的趋势（如图2.3）。图2.图2.3教师总结问题4：通过探究我们发现，无论我们怎么调整和的值，结论会发生改变吗？请你根据探究过程中观察到的图象的增长特点，结合自己的理解描述它们的增长差异。预设回答：观察发现，即使的值很小，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长速度越来越慢，最终会慢于的增长速度，因此总会存在一个，当时，恒有。教师追问：你能具体描述对数函数的增长特征吗？预设回答：对数函数增长逐渐趋缓。设计意图：通过探究任务2让学生充分感受到两类函数的不同增长特征（如图2.1和图2.2），尤其是通过减小系数降低一次函数的增长速度或将对数函数（）扩大倍（）来增加对数函数的增长速度的图象变化呈现（如图2.3），让学生直观感受，并用自己的语言总结两类函数的增长特征，得出“对数函数的增长速度一定会从某一个数开始慢于一次函数的增长速度”等相关结论，并能用数学符号语言表述，帮助学生建立数学表达的信心，增加学习成就感。任务3：指数函数、对数函数与一次函数在上的增长差异。问题5.请试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异。预设学生分享6：通过拖动滑动条控制，，的连续变化，观察发现不管我们怎么选择，，的值，我们都会发现一次函数始终保持直线上升，指数函数爆炸增长，对数函数缓慢增长。有时候可能小范围内指数函数的图象处在最下方，但最终都会出现在最上方。同样的，一次函数或对数函数就算一开始增长速度可能很快，但它们的增长速度最终都会慢于指数函数，而且对数函数会慢于一次函数（如图3）。图图3教师追问：你能用数学语言来描述一下它们的最终趋势吗？预设回答：总存在一个数，当时，总有。教师追问：请你描述指数函数（或对数函数、一次函数）的增长特征。预设回答：一次函数直线上升，指数函数爆炸增长，对数函数缓慢增长。设计意图：通过前面的两两组合，学生已经对这三类函数的增长特点具有一定的感知和认识，设置探究任务3是为了让学生更加直观感知三类函数的不同增长速度，以及当足够大之后三类函数增长的必然趋势（如图3），能用数学符号语言对其进行表达，进一步理解“指数爆炸”、“直线上升”、“