4.2.2等差数列的前n项和 教学设计

《等差数列的前n项和》教学设计一、教学设计思想本节课是以个性化教学思想为指导进行设计的，是对教材部分内容进行了有意识的选择和改组。为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。二、教材分析1、教材分析《等差数列的前n项和》选自高中选修第二册，第四章第二节第二课时的内容。数列是高中数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用，如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣，因此设计好这节课的教学是至关重要的，为后面学习等比数列的前n项和做铺垫，提供理论基础。2、教学法分析学生在前面已经学习了等差数列，还有相关的性质。能够解决一些基本题型，掌握了数列的一些常用的数学思想方法。但是因为间隔时间比较长，所以有些知识有些淡忘，特别对某些题型该注意的问题比较模糊。另外对知识的掌握上还是不够熟练，规律方法的总结上缺乏系统性。在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。为了体现学生的主体地位，充分发挥学生在学习活动中的作用，调动学生的积极性，很好的达到本节课的教学目标，制定以下的教学法：教师精心设计、合理安排、组织活动，变教师传统的教为引，学生自主学习、合作交流、知识迁移，从而变学生传统的学为探，使学生成为学习的主人，让学习真正发生。三、教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。四、教学重难点1、教学重点等差数列n项和公式的理解、推导及应2、教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题五、教学过程（一）创设问题情境拨开课改大门1、展示问题一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是（板书）“”2、引入高斯故事及解法这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。（二）问题层层深入让学习发生100991009911011001nn-11如果堆放铅笔的V形架的最上面一层放的是101支、102支…n支，这个V形架上共放着多少支铅笔？用高斯的思路来求下列类似的问题：1+2+3+…+100+101=？1+2+3+…+100+102=？……1+2+3+…+100+n=？2、学生探究活动学生探究1：（1+101）+（2+100）+（3+99）+…+(50+52)+51学生探究2：s=1+2+3+…+99+100+101——①s=101+100+99+…+3+2+1——②+②得2s=(1+101)+（2+100）+（3+99）+…+（99+3）+（100+2）+（101+1）所以2s=101×102这种方法实际上是用了化归思想，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬。（三）分成学习小组探讨公式数列｛an数列｛an｝：a1，a2,a3，…，an,…我们把a1＋a2＋a3＋…＋an叫做数列｛an｝的前n项和记作Sn。求等差数列前n项和倒序相加法证明：①②①+②：∵∴由此得：公式1：（2）用基本量表示等差数列前n项和公式2：要求必须具备三个条件：已知代入公式1即得：此公式要求必须已知三个条件：（3）函数的思想表示等差数列前n项和将n看成自变量，整理成关于n的函数，可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式。公式3：3、图形另释方法用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式有这样一个梯形，上底长为，下底长为，高为，求这个梯形的面积为多少平方米？面积公式：利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式，让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。4、等差数列求和的历史（1）展示故事我国数列求和的概念起源很早，到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？（2）提出问题，让学生思考如何用我们所学知识转化求共织布问题？给出古书答案原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得”（四）应用公式，巩固新知1、根据下列各题中的条件,求相应的等差数列｛an｝的前n项和Sn2、例题2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001年该市用于”校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在”校校通”工程中的总投入是多少?解:设从2001年起第n年投入的资金为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其中那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为答:从2001年起的未来10年内,该市在”校校通”工程中的总投入是7250万元。3、课堂练习为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己制定了7天的训练计划:第一天跑5000m,以后每天比前一天多跑500m。这个同学7天一共将跑多长的距离?4、走进高考（2011·湖北·高考真题）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，求第五节的容积。（2021·山东·高考真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员。（五）归纳提升课外延伸播放数学王子高斯的故事，让学生了解高斯背后的故事，感受不是每个人都能随随便便成功。潜移默化的培养学生的对数学的美好情感。从特殊到一般的公式推导倒序相加算法的数学思想从特殊到一般的公式推导倒序相加算法的数学思想等差数列的基本量表示法三个求和公式及简单应用实际问题转化为数学问题（六）作业布置和板书设计作业布置必做题：（1）课后78-79页（2）练习册92页A组题选做题：（1）练习册93页B组题（2）写两个生活中等差数列求和的列子设计意图：分层次的作业安排，突显教学的层次性，必做题重在巩固本课所学；选做题重在引出后继内容。所选练习，树立学生“生活中处处有数学”的意识，培养学生建模能力。板书设计等差数列前n项和等差数列的定义及性质教学目标：1、an＝a1＋(n－1)d(n≥1)1、掌握等差数列前n项和公式。2、an＝am＋(n－m)d2、会用等差数列的前n项和公式解决一3、an＝pn＋q(p、q是常数)些简单的生活问题。二、等差数列求和公式3、通过公式推导的过程教学，发展学生的思维水平。三、等差数列求和实际应用六、教学反思本节课研究了等差数列求和的三个公式及其应用。以学生为中心，坚持进行生成性教学,教学过程设计关注学生情感的发展和数学学科素养的落实。重视体验和实践探究，让学生感受到学数学有用有趣。注重分