特殊的平行四边形课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3特殊的平行四边形

特殊的平行四边形

（第1课时）

1．什么叫平行四边形？

两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．

2．平行四边形有哪些性质？

（1）边：对边平行且相等．（2）角：对角相等．（3）对角线：互相平分．

我们知道平行四边形是特殊的四边形，它具有特殊的性质．那么有没有特殊的平行四边形呢？如果有，它们又会具有什么样的特殊性质呢？探究

下面我们通过平行四边形角、边的特殊化，研究特殊的平行四边形——矩形．

我们先从角开始，观察下面动图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．探究新知

有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形．

矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．新知

如图所示，如果四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝90°，那么四边形ABCD是矩形．

如图，记作矩形ABCD．

矩形也是常见的几何图形．门窗框、书桌面、地砖等（如图）都有矩形的形象．

矩形也是常见的几何图形．门窗框、书桌面、地砖等（如图）都有矩形的形象．

矩形的一般性质（具有平行四边形的所有性质）：

（1）边：对边平行且相等．（2）角：对角相等．（3）对角线：互相平分．

矩形还有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质呢？ABCDO

思考1

有一个角是直角（90°）的平行四边形是矩形，那么矩形的其他内角都是多少度呢？

矩形ABCD中，∠A＝90°

猜想：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°ABCD

如图，在矩形ABCD中，∠A＝90°，求∠B，∠C，∠D的度数．

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵∠A＝90°，∴∠B＝90°．∴∠C＝∠D＝90°．ABCD矩形的四个角都是直角．

思考2

平行四边形的对角线互相平分，那么矩形的对角线有特殊的性质吗？

矩形ABCD

猜想：AC＝BDABCDO

如图，在矩形

ABCD中，对角线

AC，BD交于点

O．求证：AC＝BD．ABCDO

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA．∴AC＝BD．矩形的对角线相等．

思考3

观察动图并回答：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？

思考3

观察动图并回答：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？

思考3

观察动图并回答：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？

矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴，所以一般情况下矩形有两条对称轴．ABCD

矩形还有以下性质：

（1）角：矩形的四个角都是直角．（2）对角线：矩形的对角线相等．（3）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．ABCDO

例1已知四边形ABCD是矩形，其中AB＝8，BC＝6，则BD的长为________．ABCD

解析：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，∠ABC＝90°.∵AB＝8，BC＝6，∴．∴BD＝10．10思考

如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO

与AC

有什么关系？

思考

你能证明你发现的结论吗？

证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD，则四边形ABCD是矩形.

根据矩形的性质，BD=AC．∴．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．ABCD

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．∵点D是斜边AC的中点，∴

．

例2

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形对角线的长．

解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AC与BD相等且互相平分．

∴OA＝OB．又∠AOB＝60°，

∴△OAB是等边三角形．

∴OA＝AB＝4．∴AC＝BD＝2OA＝8．矩形定义边和对角线对称性角性质直角三角形斜边上的中线的性质特殊的平行四边形

（第2课时）

1．有一个角是_______的平行四边形叫作矩形，也就是长方形．

2．矩形的性质：

（1）角：矩形的四个角都是直角．（2）边：对边平行且相等．（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．（4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．直角

3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________．一半

工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？

由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，除此之外，还有没有其他判定方法呢？思考

我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形．

你能证明这个猜想吗？

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BD．求证：平行四边形ABCD是矩形．ADCB

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABC＋∠DCB＝180°．∵AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC＝∠DCB．∴∠ABC＝90°．∴平行四边形ABCD是矩形．有一个角是直角的平行四边形是矩形．ADCB矩形的判定定理

对角线相等的平行四边形是矩形．

数学语言：在平行四边形ABCD中，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．ADCB

例1如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°．求∠OAB的度数．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．

又OA＝OD，∴AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．∴∠DAB＝90°．又∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°．思考

我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？××两个角是直角一个角是直角思考ABCD

猜想：有三个角是直角的四边形是矩形四边形内角和是360°∠A＝∠B＝∠C＝90°∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．

证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．ABCD矩形的判定定理

有三个角是直角的四边形是矩形．

数学语言：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．ABCD

解析：A．∵∠A＝∠B，∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．

例2已知平行四边形ABCD，下列条件不能判定这个平行四边形是矩形的是（）．

A．∠A＝∠B

B．∠A＝∠C

C．AC＝BD

D．AB⊥BC

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

解析：C．∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．

例2已知平行四边形ABCD，下列条件不能判定这个平行四边形是矩形的是（）．

A．∠A＝∠B

B．∠A＝∠C

C．AC＝BD

D．AB⊥BC对角线相等的平行四边形是矩形．

解析：D．∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．

例2已知平行四边形ABCD，下列条件不能判定这个平行四边形是矩形的是（）．

A．∠A＝∠B

B．∠A＝∠C

C．AC＝BD

D．AB⊥BCB

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形．（3）角：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定方法

例3如图所示，BD，BE

分别平分∠ABC和它的邻补角∠ABP，AE⊥BE，AD⊥BD，点E，D为垂足．求证：四边形AEBD

是矩形．

证明：∵BD，BE

分别平分∠ABC和∠ABP，∴∠ABD＋∠ABE＝(∠ABC＋∠ABP)＝90°，即∠EBD＝90°．又AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB＝∠ADB＝90°．∴四边形AEBD

是矩形．

例4如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH

是矩形．

分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠BAD+∠ADC=180°.

又∵AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=（∠BAD+∠ADC）=90°.∴∠F=90°.

同理∠H=∠AEB=90°.∴∠FEH=∠AEB=90°.∴四边形EFGH是矩形.矩形的判定定义法对角线角特殊的平行四边形

（第3课时）

2．有一个角是_______的平行四边形叫作矩形．直角

1．两组对边分别_______的四边形叫作平行四边形．平行

3．平行四边形的性质：

（1）边：对边平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．

4．矩形的特殊性质：

（1）角：矩形的四个角都是直角．（2）对角线：矩形的对角线相等．（3）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．

观看动图，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．

有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．

符号表示：如图所示，如果四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，那么四边形ABCD是菱形．ABCD

菱形也是常见的几何图形．有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架（如图）等都有菱形的形象．

菱形的一般性质（具有平行四边形的所有性质）：

（1）边：对边平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．

菱形的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

1．观察边的特点一组邻边相等

猜想：菱形的四条边相等．菱形平行四边形

已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AB＝BC＝CD＝AD．

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD，AD＝BC．∴AB＝BC＝CD＝AD．

菱形的四条边都相等．

符号表示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．

2．观察对角线的特点

观看动图，思考：菱形的对角线有什么特点？

2．观察对角线的特点

观看动图，思考：菱形的对角线有什么特点？

猜想：对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC．

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD．∵AB＝AD，OB＝OD，OA＝OA，∴△ABO≌△ADO，

∴∠AOB＝∠AOD．

∵∠AOB＋∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，即AC⊥BD．∵在△ABD和△CBD中，AB＝CB，BD＝BD，AD＝CD，∴△ABD≌△CBD．

∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB．∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△BAC≌△DAC，

∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA．

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

符号表示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8．

比较菱形的对角线和平行四边形的对角线（如图），可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对全等的三角形．由此你还能得到菱形的什么性质？

菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴．

由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？

已知：菱形ABCD

两条对角线BD，AC

的长分别是6

cm

和8

cm．求菱形ABCD

的面积．ABCDO

解：∵四边形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD．∴S菱形ABCD＝S△ABO＋S△CBO＋S△CDO＋S△DAO（cm2）．

菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半，即

由于菱形属于平行四边形，所以可以借助平行四边形的面积公式求菱形的面积，即S菱形ABCD＝底×高＝DC·BE．．ABCDE

例1

如图，在菱形

ABCD

中，对角线

AC，BD

交于点

O，点

E

为CD

边的中点，当

OE

的长为

2

时，菱形

ABCD

的周长等于（）．

A．32

B．24

C．16

D．18E

解析：在菱形ABCD

中，AC⊥BD．在Rt△DOC中，点E是CD

边的中点，∴DC＝2OE＝4．∴菱形ABCD

的周长＝4DC＝16．C

例2如图，菱形花坛ABCD的边长为20

m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC

和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．

解：设AC，BD相交于点O.

∵花坛ABCD的形状是菱形，

∴AC⊥BD，．．

∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20（m），

BD＝2BO＝≈34.64（m）．

花坛的面积（m2）．

在Rt△ABO中，AO＝AB＝×20＝10，菱形定义性质面积公式特殊的平行四边形

（第4课时）

1．研究几何图形的一般思路:平行四边形定义性质判定矩形定义性质判定菱形定义性质

边角对角线一个角是直角一组邻边相等

2．矩形的性质：

（1）角：矩形的四个角都是直角．（2）边：对边平行且相等．（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．（4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．

3．矩形的判定：平行四边形一个角是直角矩形对角线相等四边形三个角是直角

4．矩形的性质与判定：性质定理判定定理互逆发现猜想证明

5．菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等．（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴．

由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除了此方法，还有没有其他判定方法呢？？？平行四边形四边形菱形思考

我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

你能试着给出证明吗？

已知：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD．求证：四边形ABCD是菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD．∵AC⊥BD，∴BA＝AD．∴平行四边形ABCD是菱形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

数学语言：在平行四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．

例1如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3．求证：平行四边形ABCD是菱形．

证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴AB2＝AO2＋BO2．∴△OAB是直角三角形．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．

例2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形．

分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO.

例2

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF．∴∠1=∠2.

又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴△AOE≌△COF.∴EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形.又∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形．思考

动手画出一个四边形，试判断：满足有两条边相等的四边形是菱形吗？两条边相等×三条边相等×三条边相等呢？四条边相等呢？？你能进行证明吗？

已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．求证：四边形ABCD是菱形．

证明：∵AB＝CD，BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形．ABCD有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

四条边相等的四边形是菱形．

数学语言：在四边形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形．ABCD

例3平行四边形ABCD的两对角线

AC，BD相交于点O．

（1）若AB＝AD，则平行四边形ABCD是__________．菱形

解析：（1）在平行四边形ABCD中，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．

例3平行四边形ABCD的两对角线

AC，BD相交于点O．

（2）若∠BAO＝∠DAO，则平行四边形ABCD是_______．菱形

解析：（2）在平行四边形ABCD中，OB＝OD，又∠BAO＝∠DAO，∴△ABD是等腰三角形．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．菱形的判定定义法对角线边特殊的平行四边形

（第5课时）

1．矩形的性质：

（1）角：矩形的四个角都是直角．（2）边：对边平行且相等．（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．（4）对称性：矩形是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴．

2．菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等．（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴．

准备一张矩形的纸片，按照下图方式折叠，展开之后，你能得到一个什么图形？问题

想一想：满足什么条件的矩形是正方形？正方形

准备一张矩形的纸片，按照下图方式折叠，展开之后，你能得到一个什么图形？问题

有一组邻边相等的矩形是正方形．正方形

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，你发现了什么？问题

想一想：满足什么条件的菱形是正方形？正方形

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，你发现了什么？问题正方形

有一个角是直角的菱形是正方形．有一组邻边相等矩形菱形正方形平行四边形有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角且有一组邻边相等

除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系？问题

除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系？问题平行四边形矩形菱形正方形

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．正方形（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．（2）有一个角是直角的菱形是正方形．

正方形既是矩形，又是菱形，是特殊的平行四边形．那么它都有哪些性质？

（1）具有平行四边形的性质：

边：两组对边分别平行且相等．角：两组对角相等．对角线：对角线互相平分．

正方形既是矩形，又是菱形，是特殊的平行四边形．那么它都有哪些性质？

（2）具有矩形的性质：

角：四个角都是直角．对角线：对角线相等．

正方形既是矩形，又是菱形，是特殊的平行四边形．那么它都有哪些性质？

（3）具有菱形的性质：

边：四条边相等．对角线：对角线互相垂直．

边：四条边相等．

角：四个角都是直角．

对角线：对角线相等，且互相垂直平分．你能给出证明吗？

证明：（1）∵正方形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°．又∵正方形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA．

已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．求证：（1）∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．（2）AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD．ADCBOADCBO

证明：（2）∵正方形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，又∵正方形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．求证：（1）∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．（2）AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD．

观察动图，思考正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

观察动图，思考正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

观察动图，思考正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

观察动图，思考正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

观察动图，思考正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．

例1

正方形具有而菱形不具有的性质是（

）．

A．对角线互相垂直平分

B．对角线相等

C．对角线平分一组对角

D．四边相等B

例2正方形具有而矩形不具有的性质是（

）．

A．对角互补

B．对角线相等

C．四个角相等

D．对角线互相垂直D

例3求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

分析：首先根据命题画出草图，写出已知、求证，再进行证明．

已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD．

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，

AO＝BO＝CO＝DO．

∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

正方形的每一条对角线都把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形．正方形定义性质特殊的平行四边形

（第6课时）

2．正方形的性质：

1．正方形的定义：

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．

（1）边：四条边相等．（2）角：四个角都是直角．（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分．（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．

由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？

上节课，我们学过：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．（2）有一个角是直角的菱形是正方形．你能分别给出证明吗？

已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°．又∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．ABCD

有一组邻边相等的矩形是正方形．

数学语言：在矩形ABCD中，∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．ABCD

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵∠A＝90°，∴菱形ABCD是正方形．

已知：如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．ABCD

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．

有一个角是直角的菱形是正方形．

数学语言：在菱形ABCD中，∵∠A＝90°，∴菱形ABCD是正方形．ABCD

矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？思考

对角线相等且互相平分对角线相等且互相垂直平分添加对角线互相垂直能否得到正方形？

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD．∵AC⊥BD，∴AC是线段BD的垂直平分线．∴AB＝AD．∴矩形ABCD是正方形．

已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD．求证：矩形ABCD是正方形．ABCDO有一组邻边相等的矩形是正方形．

对角线互相垂直的矩形是正方形．

数学语言：在矩形ABCD中，∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形．ABCDO思考

菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？

对角线互相垂直平分对角线相等且互相垂直平分添加对角线相等能否得到正方形？

已知：在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：四边形ABCD是正方形．

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．∵AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD．∴△AOB，△BOC是等腰直角三角形．∴∠ABO＝∠CBO＝45°．∴∠ABC＝90°．∴菱形ABCD是正方形．ABCDO有一个角是直角的菱形是正方形．

对角线相等的菱形是正方形．

数学语言：在菱形ABCD中，∵AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形．ABCDO

例1

下列命题正确的是（）．

A．四个角都相等的四边形是正方形

B．四条边都相等的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形

D．对角线相等的平行四边形是正方形矩形菱形矩形CABCDEF

例2

如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．

分析：先证明△AEB≌△AFD得到AB＝AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论．ABCDEF

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°．∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝45°．∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°．∴△AEB≌△AFD．∴AB＝AD．∴矩形ABCD是正方形．

例3如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．ABCDEF

证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，ABCDEF

∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°．∴∠EBC＝∠ECB．∴EB＝EC．∴平行四边形BECF是菱形．又∵∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°．∴菱形BECF是正方形．

例4如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是正方形．

分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA.

又∵AE=BF=CG=DH,∴EB=FC=GD=HA.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴HE=EF=FG=GH.∴四边形EFGH是菱形.

∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3.

又∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠3=90°.∴∠HEF=180°－（∠1+∠3）=90°.∴四边形EFGH是正方形.正方形的判定定义法对角线

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形对角线相等的菱形是正方形边有一组邻边相等的矩形是正方形角有一个角是直角的菱形是正方形特殊的平行四边形

（第7课时）

1．矩形的性质：

（1）角：矩形的四个角都是直角．（2）对角线：矩形的对角线相等．（3）对称性：矩形是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴，所以一般情况下矩形有两条对称轴．

2．矩形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形．（3）角：有三个角是直角的四边形是矩形．

3．菱形的性质：

（1）边：菱形的四条边都相等．（2）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）对称性：菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴，所以一般情况下菱形有两条对称轴．

4．菱形的判定：

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）边：四条边相等的四边形是菱形．

5．正方形的性质：

（1）边：四条边相等．（2）角：四个角都是直角．（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分．（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．

6．正方形的判定：

（1）定义法：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．（2）边：有一组邻边相等的矩形是正方形．（3）角：有一个角是直角的菱形是正方形．（4）对角线：对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形．平行四边形矩形菱形正方形

7．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：类型一、矩形性质与判定的综合应用

1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E．求证：AE＝CE．F

证明：如图，过点B

作BF⊥CE

于点F．

∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°．∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°．∴∠BCF＝∠D．类型一、矩形性质与判定的综合应用F

在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE，∴BF＝CE．∵CE⊥AD，BF⊥CE，∴∠AEF＝90°，∠BFE＝90°．又∵∠A＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE．归纳

几何证明有时需要综合应用矩形的判定和性质，“已知四边形的边角关系，证明四边形是矩形”是判定；反之，“已知一个四边形是矩形，证明线段或角的关系”是性质．解题时要看清条件，弄清是应用矩形的判定还是性质．

2．如图，矩形ABCD

的对角线AC，BD

相交于点O，E，F，G，H

分别是OA，OB，OC，OD

的中点．求证：四边形EFGH

是矩形．类型一、矩形性质与判定的综合应用

证明：∵E是OA的中点，G是OC的中点，

∴OE＝AO，OG＝CO．

∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO．∴OE＝OG．同理可得，OF＝OH．类型一、矩形性质与判定的综合应用

∴四边形EFGH是平行四边形．

∵OE＝AO，OG＝OC，∴EG＝OE＋OG＝AC．

同理可证，FH＝

BD．

∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∴EG＝FH．∴四边形EFGH是矩形．类型二、菱形性质与判定的综合应用

3．如图，在平行四边形ABCD

中，BC＝2AB，将AB

两端延长，并截取AE＝AB＝BF，CE

交AD

于点G，DF

交BC

于点H．试判断CG

与DH

的位置关系，并说明理由．

解：CG与DH

互相垂直．理由如下：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝DC．∴∠EAG＝∠CDG．类型二、菱形性质与判定的综合应用

∵AB＝AE，∴AE＝DC．在△AEG和△DCG中，∠EAG＝∠CDG，∠AGE＝∠DGC，AE＝DC，∴△AEG≌△DCG．

∴AG＝DG＝

AD．

同理可得，BH＝CH＝

BC．

又∵AD＝BC，∴DG＝CH．又∵DG∥CH，∴四边形CDGH是平行四边形．又∵BC＝2AB＝2CD，∴CD＝CH．∴平行四边形CDGH是菱形．∴CG与DH互相垂直．类型二、菱形性质与判定的综合应用归纳

解决此类问题时，要先利用菱形的判定证明四边形是菱形，再通过菱形的性质进行求解或证明，要注意两者的联系和区别．

4．如图，点E，F

为线段BD

的两个三等分点，四边形AECF

是菱形．（1）试判断四边形ABCD

的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF

的周长为20，BD＝18