五年级奥数多次相遇与追及专题讲义

五年级奥数多次相遇与追及专题讲义同学们，大家好！在我们的数学世界里，行程问题就像一场精彩的追逐游戏，充满了变化和挑战。之前我们已经学习了简单的相遇与追及问题，知道了“路程=速度×时间”这个核心公式，也掌握了相遇时路程和与速度和的关系，追及时路程差与速度差的关系。今天，我们要更进一步，探索更复杂也更有趣的“多次相遇与追及”问题。这类问题中，两个运动的物体不再是简单地相遇一次或追及一次，而是在运动过程中会相遇多次或者追及多次。这需要我们有更清晰的思路，更敏锐的观察力，去发现其中隐藏的规律。一、核心概念与规律梳理在开始之前，我们先来明确几个基本前提，这对于解决多次相遇与追及问题非常重要：1.运动物体：通常是两个物体，我们暂且称它们为甲、乙。2.运动方向：可能是同向（追及），也可能是相向（相遇），或者在环形轨道上运动。3.运动轨迹：常见的有“直线型”和“环形（封闭图形）型”两种。我们今天主要讨论这两种。4.出发地点：可能是同地出发，也可能是异地出发。5.出发时间：可能是同时出发，也可能是不同时出发（但我们今天重点讨论同时出发的情况，不同时出发可以转化为同时出发的问题）。（一）直线型多次相遇直线型问题，顾名思义，就是甲、乙两人在一条直线上往返运动。我们先从最典型的“异地出发，相向而行”开始。模型一：异地出发，相向而行，多次迎面相遇想象一下，甲从A地出发，乙从B地出发，两人同时相向而行。*第一次相遇：两人合走了1个全程（AB之间的距离）。所用时间设为t。此时，甲走了路程S甲，乙走了路程S乙，S甲+S乙=AB。*相遇后，两人继续前进，分别到达对方的出发点（B地和A地）后，立即掉头返回。*第二次相遇：两人再次迎面相遇。这次相遇，从第一次相遇后到第二次相遇，两人又合走了2个全程（因为甲从相遇点到B再返回一部分，乙从相遇点到A再返回一部分，合起来正好是2个AB）。所以，从出发到第二次相遇，两人合走的总路程是1+2=3个全程。*第三次相遇：以此类推，从第二次相遇后到第三次相遇，两人又合走了2个全程。从出发到第三次相遇，总路程是3+2=5个全程。规律总结：*从出发开始，第1次迎面相遇，两人合走1个全程。*从出发开始，第2次迎面相遇，两人合走3个全程。*从出发开始，第3次迎面相遇，两人合走5个全程。*……*从出发开始，第n次迎面相遇，两人合走(2n-1)个全程。*并且，相邻两次迎面相遇之间，两人合走2个全程。知道了合走的总路程，我们就可以根据两人的速度比，求出各自在相应时间段内所走的路程，进而解决问题。例如，甲在第一次相遇时走了S甲，那么到第二次相遇时，因为总路程是第一次的3倍（时间也是3倍，假设速度不变），所以甲一共走了3S甲。到第三次相遇时，甲一共走了5S甲，以此类推。模型二：同地出发，同向而行，多次迎面相遇（较少见，通常转为追及）这种情况比较复杂，因为同向出发，一开始是追及问题。如果速度不同，快的会在前，慢的在后。要想迎面相遇，快的需要跑到终点再返回，慢的也在前进，然后才可能迎面相遇。这类问题规律不如异地相向出发明显，解题时需要具体分析，我们暂不作为重点。（二）直线型多次追及直线型追及，通常是指两人同向而行，快的追慢的。模型：异地出发，同向而行，多次追及例如，甲、乙两人都从A地出发同向而行，但甲先出发一段时间，或者甲从A地，乙从B地（B在A前方）同时同向出发。我们这里主要讨论两人从同一地点出发，或者虽然异地但方向相同，快的能追上慢的情况。*第一次追及：快的比慢的多走了1个“追及路程差”（可能是初始相距的距离，或者是慢的先出发走的距离）。*第二次追及：快的在追上慢的之后，继续前进，然后可能因为某种原因（比如到达终点返回，或者题目设定可以循环）再次追上慢的。这种情况下，第二次追及，快的需要比慢的再多走2个全程（往返一次）。这个模型在直线上不如环形跑道上清晰，我们重点看环形跑道。（三）环形跑道型多次相遇与追及环形跑道是一个封闭图形，这使得相遇和追及问题的规律更加明显和简洁。我们通常假设跑道一圈的长度为“1个全程”。模型一：环形跑道，相向而行（或背向而行），多次相遇两人在环形跑道上，同时从同一地点出发，相向而行（或背向而行，效果类似，都是“相遇”）。*第一次相遇：两人合走了1个全程（一圈）。*第二次相遇：相遇后继续前进，再次相遇时，两人又合走了1个全程。所以从出发到第二次相遇，共合走了2个全程。*第n次相遇：从出发到第n次相遇，两人共合走了n个全程。*相邻两次相遇之间，合走1个全程。模型二：环形跑道，同向而行，多次追及两人在环形跑道上，同时从同一地点出发，同向而行。*第一次追及：快的比慢的多跑了1个全程（一圈）。*第二次追及：快的在追上慢的之后，继续前进，再次追上慢的时，快的又比慢的多跑了1个全程。所以从出发到第二次追及，快的比慢的共多跑了2个全程。*第n次追及：从出发到第n次追及，快的比慢的共多跑了n个全程。*相邻两次追及之间，快的比慢的多跑1个全程。重要提示：在环形跑道问题中，无论是相遇还是追及，我们首先要确定是“同向”还是“相向/背向”。相向/背向考虑“合走路程”和“相遇次数”的关系；同向考虑“路程差”和“追及次数”的关系。二、典型例题解析例1（直线型异地相向多次相遇）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时60千米，A、B两地相距100千米。问：（1）两车第一次相遇需要多长时间？相遇点距离A地多远？（2）第一次相遇后，两车继续前进，到达对方出发点后立即返回，第二次相遇时，距离A地多远？分析与解：（1）这是基础的相遇问题。两车相向而行，速度和为40+60=100(千米/小时)。A、B两地相距100千米，即全程为100千米。第一次相遇时间=总路程÷速度和=100÷100=1(小时)。此时甲车行驶的路程（即相遇点距A地距离）=甲车速度×时间=40×1=40(千米)。（2）方法一：从出发到第二次相遇，两车合走了(2×2-1)=3个全程。总路程=3×100=300(千米)。所用总时间=总路程÷速度和=300÷100=3(小时)。甲车从出发到第二次相遇共行驶了：40×3=120(千米)。甲车从A地出发，走到B地是100千米，再返回行驶了120-100=20(千米)。所以，第二次相遇点距离A地为100-20=80(千米)。（或者：120千米是甲车走的总路程，相当于走了一个全程多20千米，所以此时距离A地是100-20=80千米。）方法二：第一次相遇时，甲走了40千米，乙走了60千米（____）。从第一次相遇点到第二次相遇，两车合走了2个全程（200千米），所用时间是第一次相遇时间的2倍，即2小时。所以，甲车在这段时间又走了40×2=80千米。因此，从出发到第二次相遇，甲车共走了40+80=120千米。后续分析同方法一，得距离A地80千米。答：（1）第一次相遇需要1小时，相遇点距A地40千米。（2）第二次相遇时，距离A地80千米。例2（环形跑道多次追及）甲、乙两人在一个周长为200米的环形跑道上跑步。甲的速度是每分钟120米，乙的速度是每分钟80米。两人同时同地同向出发，问：（1）经过多长时间甲第一次追上乙？（2）甲第一次追上乙后，再过多长时间甲第二次追上乙？（3）从出发开始，甲追上乙5次，一共用了多长时间？分析与解：这是环形跑道上的追及问题。同向出发，甲速度快，乙速度慢，甲要追上乙，就必须比乙多跑一圈（200米）。（1）第一次追及：路程差=跑道周长=200米。速度差=120-80=40(米/分钟)。追及时间=路程差÷速度差=200÷40=5(分钟)。（2）甲第一次追上乙后，两人又在同一起跑线（相遇点）同时同向出发了。所以，第二次追上乙，甲依然需要比乙多跑一圈（200米）。因此，所用时间与第一次追及相同，也是5分钟。（3）由（1）（2）可知，每追上一次，都需要5分钟。那么追上5次，一共用时5×5=25(分钟)。答：（1）经过5分钟甲第一次追上乙。（2）再过5分钟甲第二次追上乙。（3）甲追上乙5次，一共用了25分钟。例3（环形跑道多次相遇）在一个圆形池塘边，甲、乙两人从同一地点同时背向而行。甲每分钟走70米，乙每分钟走50米，经过2分钟两人第一次相遇。（1）这个池塘的周长是多少米？（2）如果两人相遇后继续按原方向行走，从出发开始，经过多少分钟两人第5次相遇？分析与解：（1）两人背向而行，属于相遇问题。第一次相遇时，两人合走的路程就是池塘的周长。速度和=70+50=120(米/分钟)。相遇时间为2分钟。所以，周长=速度和×相遇时间=120×2=240(米)。（2）环形跑道上，背向而行，每相遇一次，两人合走一圈（一个周长）。第一次相遇用了2分钟（合走1圈）。从第一次相遇到第二次相遇，又合走1圈，还是2分钟。所以，每次相遇的时间间隔都是2分钟。第5次相遇，总共合走了5圈，总时间=5×2=10(分钟)。答：（1）池塘周长是240米。（2）经过10分钟两人第5次相遇。三、巩固练习1.直线型异地相向多次相遇：甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，A、B两地相距150千米。甲车速度是30千米/小时，乙车速度是20千米/小时。（1）两车第一次相遇需要几小时？相遇点距A地多少千米？（2）两车第一次相遇后继续前进，到达对方出发点后立即返回，第二次相遇时，共行驶了多少小时？相遇点距B地多少千米？2.环形跑道多次相遇：一个环形跑道长400米，小明和小红同时从同一地点出发，沿相反方向跑步。小明每秒跑4米，小红每秒跑6米。（1）两人多少秒后第一次相遇？（2）从出发开始，经过多少秒两人第3次相遇？3.环形跑道多次追及：甲、乙两人在300米的环形跑道上跑步，甲速度为5米/秒，乙速度为3米/秒，两人同时同地同向出发。（1）甲第一次追上乙需要多少秒？（2）甲追上乙时，甲跑了多少米？乙跑了多少米？（3）从出发到甲第3次追上乙，甲一共跑了多少圈？四、总结与提示解决多次相遇与追及问题，关键在于：1.辨明类型：是直线型还是环形跑道型？是相遇问题还是追及问题？是同向还是相向（背向）？是同地出发还是异地出发？2.抓住核心：*相遇问题：核心是“合走的路程”。明确每次相遇或第n次相遇时，合走的路程是几个全程（直线）或几圈（环形）。*追及问题：核心是“路程差”。明确每次追及或第n次追及时，快的比慢的多走了几个全程（直线）或几圈（环形）。3.发现规律：例如直线异地相向多次相遇，合走全程数为1,3,5,...(2n-1)；环形同向追及，每次追及路程差为1圈，时间间隔相同。4.画示意图：这是解决行程问题的“万能钥匙”！动手画出运动过程的草图，能帮助我们清晰地理解题意，找到数