初中七年级数学下册（青岛版）多项式与多项式相乘教案

初中七年级数学下册（青岛版）多项式与多项式相乘教案

一、教案信息总览

项目

内容

课题名称

多项式与多项式相乘——法则的探究、理解与应用

授课学科

数学

授课学段与年级

初中七年级下学期

教材版本

青岛版

课时安排

第3课时，共1课时（45分钟）

设计理念

本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，秉持“以学生发展为本”的核心，聚焦数学核心素养的培养。通过创设真实、富有数学价值的问题情境，引导学生经历“情境抽象—探索归纳—符号表达—理解内化—迁移应用—反思升华”的完整认知过程。强调对算理的深度理解与对算法的灵活掌握，注重转化思想、数形结合思想、模型思想的渗透，并尝试建立跨学科（如几何、物理、计算机科学）的初步联系，发展学生的运算能力、推理意识、模型观念和应用意识。

核心素养指向

运算能力：理解多项式相乘的算理，掌握算法，能进行正确、简洁、合理的运算。

推理意识：通过观察、类比、归纳，推导多项式乘法的运算法则，并能用数学语言进行逻辑表达。

模型观念：从具体情境中抽象出多项式乘法模型，并运用模型解决实际问题。

应用意识：有意识地利用多项式运算解决数学内部及跨学科的简单问题。

二、教学背景深度分析

（一）教材内容分析与定位

多项式与多项式相乘是“整式的乘法”单元的第三课时，是整式乘法运算的核心与高潮。在本单元中，学生已依次学习了：

1.同底数幂的乘法（运算的基础）；

2.单项式与单项式相乘（将系数、同底数幂分别相乘）；

3.单项式与多项式相乘（转化为单项式与单项式相乘，即分配律的应用）。

本节课的法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”，本质上是两次应用单项式与多项式相乘的法则，其算理根基是乘法分配律。因此，它既是前两课时知识的自然延伸与综合应用，又是后续学习乘法公式（平方差公式、完全平方公式）、因式分解、分式运算、方程与函数等知识的基石，起着承上启下的关键作用。

青岛版教材通常通过几何图形面积（如长方形、复合图形）作为直观背景引入，这为“数形结合”理解算理提供了绝佳载体。本节课的教学质量，直接关系到学生代数运算能力的根基是否扎实，以及代数思维（从具体到抽象，从程序到结构）能否得到有效发展。

（二）学情现状精准研判

认知基础：

1.知识层面：学生已经熟练掌握了有理数的运算、合并同类项；理解了单项式、多项式、整式的概念；基本掌握了幂的运算性质、单项式乘单项式、单项式乘多项式的法则。对于分配律a(b+c)=ab+ac有较好的理解。

2.能力层面：具备一定的符号意识，能够进行简单的代数式变形和运算。初步具备观察、类比、归纳的思维能力。

3.经验层面：拥有用字母表示数、用代数式表示数量关系和图形面积的经验。

认知障碍预判：

1.算理理解障碍：学生可能机械记忆“每一项乘每一项，再相加”的程序，但对“为何要这样乘”缺乏深刻理解，尤其是难以理解为何会产生如此多的项，以及项数变化的规律。

2.运算过程易错点：

1.3.漏乘：在项数较多时，容易出现遗漏某一个多项式中的项未参与相乘的情况。

2.4.符号错误：在相乘过程中，积的符号由单项式相乘的符号法则确定，当负号较多时易出错。

3.5.未合并同类项：得到多个积之后，忽略或错误合并同类项，导致结果未化简。

4.6.排列不规范：结果未按某个字母的升幂或降幂排列，显得杂乱。

7.高阶思维挑战：如何从具体运算中抽象出普适性法则，并用精炼的数学语言表述；如何将代数运算与几何图形进行有机关联和相互验证；如何将新知识结构性地纳入已有的整式运算知识体系中。

（三）教学重难点及突破策略

教学重点

突破策略

多项式与多项式相乘的运算法则的探索、归纳与理解。

1.双路径引入：一是基于“单项式×多项式”的代数逻辑推导，强化知识的内在联系；二是利用几何图形面积的直观演示，为抽象法则提供具象支撑，数形互释。

2.结构化板演：使用箭头、框图等方式清晰展示“逐项相乘”的过程，让思维可视化。

多项式与多项式相乘法则的熟练、准确应用。

1.口诀辅助：“前前后后，里里外外”（针对二项式乘二项式），帮助记忆操作顺序，防止漏乘。

2.程序化步骤训练：明确“一乘、二加、三合并”的运算流程，并通过变式练习（符号、系数、项数、顺序）巩固。

3.错例诊断：针对性展示典型错误，引导学生辨析、纠错，深化理解。

教学难点

突破策略

理解多项式乘法法则的算理本质（两次分配律），并避免运算中的漏项和符号错误。

1.算理剖析：以(a+b)(m+n)为例，将其视为a+b这个整体（看作一个“大单项式”）去乘(m+n)，展开第一步得到a(m+n)+b(m+n)，再分别展开，揭示“两次分配”的本质。

2.表格法：引入表格法（或称“网格法”）将相乘过程网格化，确保不重不漏，尤其适用于项数较多的情况，并为后续学习矩阵等概念做铺垫。

3.符号专项训练：设计含有多重负号的练习，强调“先定符号，再算绝对值”。

实现从具体运算到抽象法则的数学化表达，以及法则的灵活逆向应用（为乘法公式铺垫）。

1.归纳引导：从2项×2项，到2项×3项，再到m项×n项，引导学生用自然语言、符号语言逐步概括法则，培养抽象概括能力。

2.设计开放性、关联性问题：如：“计算(x+2)(x+3)和(x+3)(x+2)，结果一样吗？为什么？”“你能自己写出两个二项式，使它们的乘积是三项式吗？”引导学生思考交换律、项数与结果项数的关系。

三、教学目标（素养导向）

依据课标与学情，制定以下三维融合的教学目标：

1.知识与技能：

1.2.经历探索多项式与多项式相乘法则的过程，理解其算理，并能用文字语言和符号语言准确表述该法则。

2.3.能熟练、正确地进行多项式与多项式的乘法运算，并能将结果按某一字母进行降幂（或升幂）排列。

3.4.初步了解多项式乘法在简单几何问题和实际问题中的应用。

5.过程与方法：

1.6.通过代数推导和几何验证两种方式，体会“数形结合”与“转化”的数学思想方法。

2.7.在探索法则的过程中，发展观察、类比、归纳、概括和逻辑推理的能力。

3.8.通过运用表格法等多种方法进行运算，体会解决问题策略的多样性。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在探索活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

2.11.感受数学知识之间的内在联系（数与形、法则与公式）、严谨性和普适性。

3.12.初步体会多项式运算作为数学工具在刻画和解决现实世界问题中的作用。

四、教学准备

类型

具体内容

教师准备

1.多媒体课件：包含问题情境动画、几何图形面积动态分割与拼合过程、法则探究流程图、例题与变式训练、课堂小结思维导图。

2.教具：可拼接的矩形面积模型（磁性贴或几何画板软件实时演示）。

3.学习任务单：包含探索活动记录表、分层练习卷。

4.板书设计：提前规划好主副板书区域，主板书呈现知识生成主线和核心内容。

学生准备

1.复习回顾：单项式乘单项式、单项式乘多项式的法则及运算。

2.学具：直尺、铅笔、练习本。

3.预习思考：尝试用自己的方法计算(a+b)(m+n)。

环境准备

多媒体教学设备（投影、音响）、网络畅通（备用在线工具）。

五、教学过程实施详案

阶段一：创设情境，问题导学（预计时间：5分钟）

【活动设计】

1.情境呈现（课件展示）：

1.2.情境A（生活数学）：学校计划将一块长为(a+b)米，宽为(m+n)米的长方形空地改建为劳动实践基地。请问这块空地的总面积是多少平方米？你有几种方法表示这个面积？

2.3.情境B（几何直观）：呈现一个长为(a+b)、宽为(m+n)的大长方形。提问：你能通过不同的方式划分这个长方形，来计算它的总面积吗？

4.问题驱动：

1.5.教师提问：“总面积如何表示？”“除了整体看成长乘宽得到S=(a+b)(m+n)，你还能将这个大长方形分割成几个我们熟悉的小图形来计算总面积吗？”

2.6.引导学生思考：可以沿长边a、b分段处和宽边m、n分段处画辅助线，将大长方形分割为四个小长方形。

7.学生探究与反馈：

1.8.请学生上台或在学习单上画出分割图，并标出四个小长方形的长和宽。

2.9.学生得出：四个小长方形的面积分别为：am,an,bm,bn。

3.10.因此，总面积S=am+an+bm+bn。

11.引出核心矛盾：

1.12.教师板书两种表达式：S=(a+b)(m+n)和S=am+an+bm+bn。

2.13.提问：“这两个代数式表示的是同一个量（面积），因此它们之间应该有怎样的关系？”引导学生得出：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。

3.14.进一步追问：“这个等式是如何从图形面积得到的？它揭示了多项式(a+b)与(m+n)相乘的什么规律？这就是我们今天要深入探究的核心课题。”

【设计意图】

从贴近学生经验的现实情境或直观几何图形入手，快速激发学习兴趣。将抽象的代数运算与直观的几何面积建立等价关系，为算理的理解奠定坚实的“形”的基础。通过“一题多解”引发认知冲突，自然引出本节课的核心等式，明确学习目标。

阶段二：合作探究，构建新知（预计时间：15分钟）

【活动设计】

本环节采用“代数推理”与“几何验证”双线并行的策略，深化对算理的理解。

路径一：代数逻辑推理——转化与化归

1.回顾联系：教师提问：“我们已经会计算‘单项式×多项式’，例如：p(m+n)=?”学生齐答：pm+pn。

2.关键设问：“那么，对于(a+b)(m+n)，我们可以将其中的(a+b)看作一个整体，比如令P=(a+b)，那么原式变成什么？”引导学生写出：P(m+n)。

3.第一步转化：根据单项式乘多项式法则，P(m+n)=P*m+P*n=(a+b)m+(a+b)n。

4.第二步转化：再次应用单项式乘多项式法则（或直接运用分配律）：

(a+b)m=am+bm

(a+b)n=an+bn

5.归纳结果：将两步结果相加：(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn。与几何方法所得结果一致。

6.提炼本质：教师强调：“看，我们把‘多项式×多项式’这个新问题，通过‘整体换元’，转化为了我们已经掌握的‘单项式×多项式’问题，并且连续用了两次分配律。这体现了非常重要的‘转化’数学思想。”

路径二：几何直观验证——数形结合

1.利用几何画板，动态演示将大长方形分割、移动四个小长方形的过程，直观显示总面积由四部分组成。

2.引导学生将图形中的每一部分与代数式中的每一项对应起来：长a宽m→am，长a宽n→an，长b宽m→bm，长b宽n→bn。

3.总结：图形面积的“整体求法”与“分块求和法”的一致性，就是等式(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn的几何意义。

探究升级：从特殊到一般，归纳法则

1.变式探究：如果第一个多项式有三项呢？例如计算(a+b+c)(m+n)。

1.2.代数法：看作整体P=(a+b+c)，则P(m+n)=Pm+Pn=(a+b+c)m+(a+b+c)n=am+bm+cm+an+bn+cn。

2.3.几何/表格想象：可以想象成一个长被分成三段、宽被分成两段的长方形，面积由3×2=6块组成。

4.归纳表述：

1.5.小组讨论：观察(a+b)(m+n)和(a+b+c)(m+n)的运算过程，多项式与多项式相乘，结果是如何得来的？

2.6.引导学生尝试用语言描述：用一个多项式的每一项，去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

3.7.教师呈现规范的文字语言表述，并板书。

8.符号化表达：

1.9.提问：如何用更一般的数学符号来表示这个法则呢？

2.10.设一个多项式是A=a₁+a₂+…+a_m，另一个多项式是B=b₁+b₂+…+b_n，则A×B=a₁b₁+a₁b₂+…+a₁b_n+a₂b₁+…+a_mb_n。

3.11.强调“每一项”与“每一项”相乘的完备性。

12.引入运算工具——表格法（网格法）：

1.13.以(a+b)(m+n)为例，画一个2行2列的表格，将第一个多项式(a,b)写在左侧（每行一项），将第二个多项式(m,n)写在上方（每列一项）。

2.14.表格交叉的格子内填写对应项的乘积。最后将所有格子内的乘积相加。

3.15.此方法直观、有序，能有效防止漏乘，尤其适合项数多或字母多的多项式相乘。

m

n

a

am

an

b

bm

bn

【设计意图】

此环节是本节课的“心脏”。通过“代数”与“几何”两条思维路径相互印证，使学生不仅“知其然”（算法），更“知其所以然”（算理）。从特殊（二项式乘二项式）到一般（多项式乘多项式）的探究过程，完整地再现了数学法则的发现与抽象过程，有效培养了学生的归纳概括能力和数学表达能力。引入表格法，既是对算理的另一种直观解释，也是提升运算准确率的重要策略性工具，体现了方法多样性。

阶段三：典例精析，深化理解（预计时间：10分钟）

【活动设计】

教师精讲与学生尝试相结合，着重规范步骤、揭示易错点、渗透数学思想。

例题1：基础应用，规范步骤

计算：(2x-3)(x+4)

1.教师板演，强调步骤：

1.2.步骤一（乘）：运用法则，逐项相乘。

(2x)*(x)=2x²，(2x)*(4)=8x，

(-3)*(x)=-3x，(-3)*(4)=-12。

2.3.步骤二（加）：写出所有积的和。

原式=2x²+8x+(-3x)+(-12)

3.4.步骤三（合）：合并同类项。

=2x²+(8x-3x)-12=2x²+5x-12

5.口诀辅助（针对二项式乘二项式）：可以用“前前后后，里里外外”帮助记忆相乘顺序：(2x*x,2x*4,-3*x,-3*4)。

6.学生对比：请学生同时用表格法做一遍，验证结果。

例题2：符号辨析，突破难点

计算：(-2a+1/2b)(3a-b)

1.学生先练：请两名学生上台板演，其余学生在练习本上完成。

2.对比讲评：重点讲评：

1.3.积的符号确定：(-2a)*(3a)=-6a²；(-2a)*(-b)=+2ab；(1/2b)*(3a)=+(3/2)ab；(1/2b)*(-b)=-1/2b²。

2.4.合并同类项：2ab+(3/2)ab=(4/2+3/2)ab=(7/2)ab。

3.5.最终结果：-6a²+(7/2)ab-(1/2)b²。

6.错例警示：预设学生可能出现的错误：符号错误、系数相乘出错、b²写成b等。展示并分析原因。

例题3：灵活变形，提升思维

计算：(x+y)(x²-xy+y²)

1.引导观察：第二个多项式有三项，运算项数增多，如何保证有序？

2.方法选择：推荐使用表格法（3x2网格），或按第一个多项式的项有序展开：x(x²-xy+y²)+y(x²-xy+y²)=...

3.得出结果：x³-x²y+xy²+x²y-xy²+y³=x³+y³。（此处合并后出现有趣的对消现象，可稍作停留，指出这个结果将来会作为立方和公式学习，埋下伏笔）

4.思想渗透：强调运算要有序、耐心，并注意观察结果特点。

【设计意图】

通过阶梯式例题，巩固法则应用。例题1侧重运算程序的规范；例题2聚焦易错点，特别是符号问题，进行强化训练；例题3增加项数，引导学生选择合适策略（如表格法），并初步感受多项式乘法的特殊结果，激发好奇心，建立知识前瞻性。讲练结合，及时反馈。

阶段四：分层练习，巩固拓展（预计时间：10分钟）

【活动设计】

发放分层练习任务单，学生独立完成，教师巡视指导，抓取典型做法与错误。

层次

题目

设计目的

A组：基础巩固（全体必做）

1.计算：(1)(x+2)(x-3)(2)(3a-1)(2a+5)

2.下列计算对吗？若不对，请改正：(y-4)(y+6)=y²-24

巩固基本法则和步骤，进行简单纠错练习。

B组：能力提升（多数学生选做）

1.计算：(2m-n)(3m+2n-1)

2.先化简，再求值：(x-1)(2x+1)-2(x-5)(x+2)，其中x=-1/2。

增加多项式项数，提高运算复杂度。融入化简求值，综合运用知识。

C组：拓展挑战（学有余力选做）

1.探索规律：计算(x-1)(x+1),(x-1)(x²+x+1),(x-1)(x³+x²+x+1)。观察结果，你能发现什么规律？试写出(x-1)(x^n+x^{n-1}+…+x+1)的结果。

2.跨学科联系：一个物体的运动速度v随时间t变化的规律为v=(t+2)米/秒，它受到的力F随时间t变化的规律为F=(3t-1)牛顿。已知功率P=F*v，请用含t的式子表示0到t秒内的平均功率表达式（提示：先求瞬时功率表达式）。

探究规律性问题，为后续学习“平方差”、“多项式除法”等埋伏笔，培养归纳与猜想能力。联系物理概念，体现数学的工具性，发展模型观念。

【设计意图】

分层练习满足不同层次学生的发展需求，实现“让不同的人在数学上得到不同的发展”。A组保底，确保所有学生掌握核心技能；B组促中，提升熟练度和综合能力；C组激优，引导学生进行规律探索和跨学科思考，培养高阶思维和创新能力。教师巡视能进行个性化指导。

阶段五：反思总结，体系内化（预计时间：4分钟）

【活动设计】

1.知识盘点：教师引导学生以思维导图的形式共同总结本节课内容。

1.2.中心主题：多项式与多项式相乘。

2.3.分支一：法则（文字、符号）。

3.4.分支二：算理（双重分配律、几何意义）。

4.5.分支三：方法（逐项相乘、表格法）。

5.6.分支四：注意（不重不漏、符号、合并同类项）。

6.7.分支五：联系（是单项式×多项式的一般化，是后续公式的基础）。

8.思想方法升华：提问：“回顾今天的探索之旅，我们运用了哪些重要的数学思想方法？”（转化思想——化新为旧；数形结合思想——代数与几何互释；从特殊到一般的思想——归纳法则）。

9.自我反思：给学生一分钟静思时间，回顾“我最清晰的一点是什么？”“我还有点模糊的地方是什么？”“运算中我最需要警惕的是什么？”

10.教师寄语：强调多项式乘法是代数运算的“基本功”，如同高楼大厦的基石，鼓励学生通过扎实练习达到准确、熟练的程度，并为下节课的学习做好铺垫。

【设计意图】

通过结构化的小结，帮助学生将零散的知识点系统化、网络化，纳入整式运算的知识结构中。反思数学思想方法，提升学习的思想性。引导学生进行元认知监控，培养其反思习惯和学习责任感。

阶段六：布置作业，延伸学习（预计时间：1分钟）

1.必做作业：教材对应章节练习题（基础题全部，中等题选做3道）。

2.选做作业（实践探究）：

1.3.“我是设计师”：请为你未来的小书房设计一幅地面铺设方案。假设书房是长方形，长(3x+2)米，宽(2x-1)米。你选择两种规格的正方形地砖铺设，一种边长为x米，另一种边长为0.5米。请通过多项式乘法运算，分析至少需要两种地砖各多少块（不考虑损耗，可用代数式表示）？并写出你的计算过程。

2.4.“法则可视化”：尝试用你能想到的任何创意方式（如漫画、流程图、短视频脚本等），向一位小学六年级的弟弟妹妹解释“(a+b)乘以(m+n)”为什么等于四个小东西相加。

5.预习任务：浏览下节课“乘法公式”的内容，尝试计算(x+1)²、(x-1)²、(x+1)(x-1)，看看结果有没有什么特点。

【设计意图】

作业设计体现巩固性、实践性和发展性。必做作业夯实基础；选做作业将数学与现实设计结合，提升应用能力与兴趣，或通过“教授他人”深化理解；预习任务设置悬念，激发持续学习的动力。

六、教学评价设计

评价维度

评价方式

评价要点

过程性评价

课堂观察、提问反馈、练习点评、小组讨论参与度。

1.能否积极参与情境探究和法则归纳活动。

2.能否清晰表达自己的思路和发现。

3.练习过程中的运算准确性、步骤规范性和策略选择合理性。

4.倾听、质疑和补充同伴意见的表现。

形成性评价

分层练习任务单完成情况。

1.A组题的完成准确率，反映基础目标达成度。

2.B/C组题的选做与完成情况，反映思维深度与广度。

3.出现错误的类型及自我修正能力。

总结性评价

单元测试中相关试题的得分情况。

综合运用多项式乘法法则解决各类问题的能力。

发展性评价

选做作业（实践探究）成果、预习反馈。

数学应用意识、创新表达能力和自主学习能力。

七、板书设计（主板书）

多项式与多项式相乘

一、法则探究