九年级数学下册《图形的相似》第二课时：相似多边形教案

九年级数学下册《图形的相似》第二课时：相似多边形教案

一、教学设计理念与依据

（一）指导思想与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是几何直观、空间观念、推理能力和模型观念。设计深度融合建构主义学习理论，强调学生在已有知识经验基础上的主动建构。教学过程以“问题情境—建立模型—解释应用—拓展反思”为基本脉络，引导学生经历从具体实例抽象数学概念、从直观感知到理性论证的完整思维过程，实现数学知识的再创造。

同时，本设计秉持“单元整体教学”理念，将“相似多边形”置于“图形的相似”整个单元乃至初中阶段“图形与几何”知识体系中进行定位。它既是全等图形知识的自然推广（从“形同、大小等”到“形同、大小不等”），又是后续学习相似三角形判定与性质、位似变换乃至高中三角函数等内容的认知基石。因此，教学设计注重知识的前后关联与逻辑递进。

此外，设计融入信息技术与数学教学的深度融合，预设运用动态几何软件（如GeoGebra）进行直观演示与探究，化静态为动态，化抽象为具体，助力学生突破认知难点，深化对相似本质——对应角相等、对应边成比例——的理解。

（二）教学内容分析

1.知识结构定位：本节课内容选自人教版九年级数学下册第二十七章“相似”的第一节“图形的相似”中的第二课时。第一课时已初步建立了“相似图形”的总体概念，明确了“形状相同”的直观含义。本课时则聚焦于多边形这一特定图形类别，将模糊的“形状相同”精确定义为“对应角相等，对应边成比例”，从而建立起“相似多边形”的严谨数学模型。它为第三课时“相似比”及后续“相似三角形的判定”提供了直接的理论基础。

2.知识内涵解析：

1.3.核心概念：相似多边形的定义（判定条件）与性质。需明确“对应”关系是讨论相似的前提。

2.4.核心符号：相似符号“∽”的引入与规范使用。例如，若四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，记为“四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'”。书写时应注意顶点顺序与对应关系一致。

3.5.核心量：相似比（k）。当k>1时，称为放大；当0<k<1时，称为缩小；当k=1时，即为全等。全等是相似的特例。

4.6.易混点辨析：相似与全等的区别与联系；仅凭“对应角相等”或仅凭“对应边成比例”不能判定多边形相似（矩形与正方形、菱形与正方形是典型反例）。

7.思想方法渗透：本节课蕴含了从特殊到一般（从全等到相似）、类比（类比全等三角形的学习路径学习相似多边形）、转化（将形状问题转化为角与边的数量关系问题）等重要的数学思想方法。在探究性质与应用定义的过程中，学生的归纳概括能力和逻辑推理能力将得到有效训练。

（三）学情分析

九年级学生已具备以下认知基础：

1.知识储备：熟练掌握全等图形的概念与性质；熟悉多边形（尤其是三角形、四边形）的内角、边等基本要素；具备基本的比例线段知识。

2.能力基础：拥有一定的观察、比较、归纳能力，能够进行简单的逻辑推理，初步掌握了探究几何图形性质的一般方法。

3.经验基础：在现实生活中（如地图、模型、照片缩放）对“相似”现象有丰富的感性认识。

然而，学生可能面临以下学习障碍：

1.认知跨越：从“完全重合”的全等到“形状相同”的相似，是从“等量”到“成比例”的思维跃迁，部分学生可能难以摆脱“大小相等”的思维定势。

2.概念精确性：对“对应”关系的敏感性和严谨性不足，容易忽略顶点顺序，或混淆判定条件。

3.理解深度：容易将直观感觉代替数学论证，认为“看起来像”就是相似，对必须同时满足两个条件（角等、边成比例）的必要性认识不深。

基于此，教学将通过创设认知冲突、提供正反例辨析、组织合作探究等方式，搭建学习支架，引导学生实现概念的精准建构。

二、教学目标

（一）教学目标

1.理解并掌握相似多边形的定义，能准确表述“对应角相等，对应边成比例”是判定两个多边形相似的核心条件，并能用符号“∽”正确表示相似关系。

2.理解相似比的概念，能根据定义求相似多边形的相似比及未知边长，能区分相似比与顺序的关系（k与1/k）。

3.探究并理解相似多边形的性质，明确由相似定义可以直接推出的相关结论（如周长比等于相似比）。

4.能够运用相似多边形的定义与性质，解决简单的识别、判断和计算问题，并能在具体情境中解释其几何意义。

5.经历观察、测量、猜想、验证、推理的探究过程，体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法，发展几何直观、推理能力和模型观念。

（二）教学重难点

1.教学重点：相似多边形的定义（判定）及其初步应用。

2.教学难点：

1.3.“对应”关系的理解和把握。

2.4.相似多边形定义中“两个条件必须同时具备”的必要性理解。

3.5.相似比概念的双向性（k与1/k）及其几何意义的理解。

三、教学策略与方法

1.主导策略：采用“启发-探究”式教学法。教师作为组织者、引导者和合作者，通过层层递进的问题链，启发学生思维，引领学生自主探究，完成知识的建构。

2.核心方法：

1.3.情境教学法：利用多媒体呈现地图、模型、艺术设计等生活中的相似实例，以及动态几何软件的演示，创设真实、直观、富有挑战性的学习情境。

2.4.探究发现法：围绕核心问题“如何用数学语言精确描述‘形状相同’？”，组织学生通过测量、计算、比较、猜想、验证等活动，自主发现相似多边形的本质特征。

3.5.讨论辨析法：针对易错点和认知难点，设计辨析性问题（如：“所有正方形都相似吗？”“所有矩形都相似吗？”“所有菱形都相似吗？”），组织小组讨论与全班交流，在思维碰撞中深化理解。

4.6.变式训练法：设计多层次、多角度的例题与练习，通过条件变式、图形变式、问题变式，巩固概念，灵活应用，提升思维品质。

四、教学准备

1.教师准备：精心制作的多媒体课件（内含生活实例图片、动画演示、探究问题、例题习题）；GeoGebra动态几何课件（用于演示多边形变化过程，实时显示角与边的数据）；课堂练习卷；实物教具（如一组大小不同的同款三角板、形状相同大小不同的多边形卡片）。

2.学生准备：复习全等图形的概念；准备直尺、量角器、计算器、练习本。

五、教学过程实施

第一环节：创设情境，温故引新（预计用时：8分钟）

教师活动1：展示情境，激活经验

1.播放一组图片：不同比例尺的中国地图；型号不同但款式相同的汽车模型；用手机放大和缩小的同一张照片。

2.提出问题链：

“这些图片中的图形有什么共同特征？”（形状相同）

“上节课我们将这种‘形状相同’的图形称为什么？”（相似图形）

“那么，对于最常见的多边形，我们该如何用数学的语言来精确地定义和判断它们是否‘形状相同’呢？”

设计意图：从学生熟悉的生活实例出发，迅速唤醒对“相似”的已有认知，明确本节课的研究对象——多边形，并自然引出核心探究问题：如何将直观的“形似”转化为严谨的数学定义。

教师活动2：回顾旧知，搭建桥梁

1.出示两个全等的三角形，提问：“它们相似吗？为什么？”

2.引导学生回顾全等三角形的定义（能够完全重合）和判定条件（如SSS,SAS,ASA等）。

3.将其中一个三角形利用GeoGebra进行均匀放大，得到一个新的三角形。

4.提问：“现在这两个三角形还能完全重合吗？（不能）那它们还‘形状相同’吗？（是）它们还是全等形吗？（不是）我们该如何描述它们的关系？”

设计意图：从全等到相似，是概念的推广。通过动态演示，直观展现图形从“完全重合”到“形状相同但大小不同”的变化过程，引发认知冲突，使学生清晰地意识到需要一个新的、比“全等”更一般的概念来描述这种关系，为新课学习制造心理需求。

第二环节：合作探究，建构概念（预计用时：20分钟）

探究活动一：从特例中寻找本质特征

1.分组测量，收集数据：

1.2.教师向每组发放两张大小不同、但形状相同的五边形卡片（或课件展示清晰的图形，标出顶点字母）。

2.3.布置任务：请用量角器和刻度尺，分别测量两个五边形的各内角度数及各边长度（精确到毫米和度），并记录在预设的表格中。

图形

∠A

∠B

∠C

∠D

∠E

边AB

边BC

边CD

边DE

边EA

五边形1

五边形2

4.计算比较，提出猜想：

1.5.引导学生观察数据：两个图形的对应角之间有何关系？（∠A与∠A‘，∠B与∠B’...）

2.6.引导学生计算对应边的比值：AB/A‘B’，BC/B‘C’，...这些比值有什么关系？

3.7.小组讨论后，汇报发现。

4.8.教师利用GeoGebra同步展示另一组相似四边形，动态改变图形大小，但保持形状不变，软件实时显示对应角始终相等，对应边比值恒定。强化学生的直观感知。

5.9.师生共同归纳猜想：形状相同的多边形，它们的对应角相等，对应边的比相等。

设计意图：让学生亲自动手操作，从具体数据的测量、计算、比较中，自主发现相似多边形的本质数量特征，经历数学概念的发现过程。信息技术的介入，使得规律更具一般性和说服力。

探究活动二：从猜想到定义，明确内涵

1.形成定义：

1.2.教师引导：“我们能否将刚才发现的规律，作为判断两个多边形是否相似的标准呢？”

2.3.师生共同提炼，给出相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

3.4.教师板书定义，并逐词解析：“边数相同”是前提；“对应角相等”、“对应边成比例”是两个必须同时满足的充分必要条件。

5.引入符号，规范表达：

1.6.类比“≌”表示全等，引入相似符号“∽”。

2.7.强调书写规范：在表示两个多边形相似时，必须把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例如，五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'。这本身就体现了“对应”关系。

8.辨析理解，突破难点：

1.9.问题1：“定义中的‘对应’二字至关重要。如何确定两个多边形的对应角和对应边？”（通常按顶点字母的顺序或图形的位置关系来确定）。

2.10.问题2：“能否只根据‘对应角相等’来判断相似？请举例说明。”

1.3.11.教师展示一个正方形和一个矩形（如长宽比为2:1）。引导学生发现它们的所有角都相等（都是90°），但边不成比例，所以不相似。

4.12.问题3：“能否只根据‘对应边成比例’来判断相似？请举例说明。”

1.5.13.教师展示一个正方形和一个菱形（如有一个角为60°）。引导学生计算，当菱形边长与正方形边长相等时，对应边比例均为1:1，但对应角不相等，所以不相似。

6.14.结论：判定两个多边形相似，必须两个条件同时具备，缺一不可。

设计意图：通过正反例的辨析，引导学生进行深度思考，理解定义中两个条件的独立性和必要性，攻克教学难点，使概念建构更加稳固、精确。

第三环节：深化理解，形成概念体系（预计用时：12分钟）

概念深化一：相似比

1.引出概念：在相似多边形定义中，“对应边的比相等”，这个比值称为相似比，通常用字母k表示。

2.理解内涵：

1.3.若五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，且AB:A‘B’=k，则k就是相似比。

2.4.讨论：如果写成五边形A'B'C'D'E'∽五边形ABCDE，那么相似比是多少？（1/k）

3.5.明确：相似比具有顺序性，叙述时必须指出谁与谁的相似比。

4.6.几何意义：k>1，表示将图形放大；0<k<1，表示将图形缩小；k=1，即为全等。

5.7.教师利用GeoGebra，拖动滑块改变k值，直观展示原图随着k值变化而被放大或缩小的动态过程。

概念深化二：相似多边形的性质（从定义直接推出）

1.引导推理：根据定义，相似多边形除了“对应角相等，对应边成比例”这两条最基本的性质外，我们还能推出什么？

2.探究周长比：

1.3.设五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，相似比为k。

2.4.则AB=k·A‘B’，BC=k·B‘C’，CD=k·C‘D’，DE=k·D‘E’，EA=k·E’A‘。

3.5.计算周长：P_ABCDE=AB+BC+CD+DE+EA=k(A’B‘+B’C‘+C’D‘+D’E‘+E’A‘)=k·P_A’B‘C’D‘E’。

4.6.结论：相似多边形的周长比等于相似比。

7.类比思考，为后续铺垫：“那么，相似多边形的面积比与相似比有什么关系呢？”（留下悬念，为相似三角形及后续学习做铺垫）。

设计意图：从定义出发，通过逻辑推理得出相似多边形的其他性质（如周长比），不仅深化了对定义的理解，也展示了数学知识的逻辑连贯性，培养了学生的推理能力。同时，设置悬念，激发学生持续探究的兴趣。

第四环节：典例精析，应用新知（预计用时：15分钟）

例1：（基础识别与简单计算）

如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，EF=15，FG=20，GH=25，HE=10，AB=12。

(1)求∠E、∠F的度数。

(2)求边BC、CD的长度。

教学流程：

1.学生独立思考，尝试解答。

2.教师巡视，关注学生是否找准对应关系（根据字母顺序，A对E，B对F，C对G，D对H）。

3.学生板演，讲解思路。

4.教师强调解题关键：利用对应角相等求角；先由已知对应边求出相似比k=AB/EF=12/15=0.8，再利用对应边成比例求未知边：BC=k·FG=0.8×20=16，CD=k·GH=0.8×25=20。

设计意图：巩固相似多边形定义的最直接应用，训练学生准确寻找对应元素和进行简单计算的能力。

例2：（判定与说理）

判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1)所有的等边三角形都相似。

(2)所有的等腰三角形都相似。

(3)所有的矩形都相似。

(4)所有的正方形都相似。

教学流程：

1.小组讨论，要求不仅给出结论，还必须用相似多边形的定义进行严谨说理。

2.小组代表发言。

3.师生共同总结：

1.4.(1)正确。等边三角形角均为60°，满足对应角相等；三边均等长，任意两个等边三角形对应边比值为常数，满足对应边成比例。

2.5.(2)错误。仅满足“两边成比例”，角不一定相等（顶角可能不同）。

3.6.(3)错误。仅满足“所有角相等（90°）”，但长宽比不同的矩形，对应边不成比例。

4.7.(4)正确。所有角均为90°相等，且所有边相等，故对应边必成比例。

8.提炼升华：判定特殊多边形是否全部相似，要紧扣定义，检验两个条件是否对所有个体都成立。

设计意图：通过一组高辨析度的判断题，引导学生运用定义对一类图形进行整体判断，深化对定义的理解，特别是明确“两个条件必须同时满足”且“必须对任意两个图形都成立”。这是概念从具体实例到一般类别理解的关键一步。

例3：（综合应用与建模）

某公园有一个矩形花坛ABCD，其长AB=20米，宽BC=12米。现计划在其旁边修建一个形状相同的矩形花坛A‘B’C‘D’，使它的周长是原花坛周长的1.5倍。求新花坛的长A‘B’和宽B‘C’。

教学流程：

1.引导学生分析：“形状相同”意味着什么？（两个矩形相似）

2.已知条件转化：原周长P=2×(20+12)=64米，新周长P‘=64×1.5=96米。由相似性质，周长比等于相似比，故相似比k=P’/P=96/64=1.5。

3.设新花坛长为x米，宽为y米。有两种思路：

1.4.思路一：利用相似比，x/20=1.5,y/12=1.5。

2.5.思路二：利用周长和相似比，x+y=48，且x/y=20/12=5/3。

6.求解并作答。

7.拓展思考：“如果题目改为‘新花坛的面积是原花坛的1.5倍’，还能用相似多边形的知识直接解决吗？”（不能，因为面积比是相似比的平方，这超出了本节课范围，但可引发思考）

设计意图：将数学问题置于实际情境中，考查学生从实际问题中抽象出相似模型、灵活运用相似比和周长比性质的能力，体现数学的应用价值，培养模型观念。

第五环节：分层训练，巩固提升（预计用时：10分钟）

A组：巩固基础（全体必做）

1.已知五边形ABCDE∽五边形A‘B’C‘D’E‘，且相似比k=3/4。若DE=12cm，则D’E‘=____cm。

2.两个相似六边形的最大边长分别为8cm和6cm，它们的相似比是____。若较小六边形的周长是30cm，则较大六边形的周长是____cm。

3.下列说法正确的是（）。

A.对应角相等的多边形是相似多边形

B.对应边成比例的多边形是相似多边形

C.两个等腰梯形一定是相似形

D.两个菱形不一定相似

B组：能力提升（学有余力选做）

4.如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC的中点。矩形ABFE与矩形ABCD相似吗？矩形EFCD与矩形ABCD相似吗？请说明理由。

（此题涉及“对应”的多种可能性考量，需要分类讨论）

5.一个多边形经过放大后，面积变为原来的9倍，则它的周长变为原来的____倍。

设计意图：设计分层练习，满足不同层次学生的需求。A组题紧扣基础，确保全体学生掌握核心概念和简单应用。B组题更具挑战性，第4题考察对“对应”关系的灵活理解与分类讨论思想；第5题为后续学习埋下伏笔，激励学生深入探究。

第六环节：课堂小结，反思升华（预计用时：5分钟）

学生自主总结：

1.知识层面：今天我学习了什么？相似多边形的定义、符号、相似比、性质是什么？

2.方法层面：我是如何学习这个概念的？（从生活实例→观察测量→猜想归纳→定义辨析→应用推理）

3.思想层面：本节课体现了哪些数学思想？（从特殊到一般、类比、转化、数形结合）

4.疑问与联系：我还有哪些疑惑？相似多边形和全等多边形是什么关系？它和我们今后要学的知识有什么联系？

教师总结升华：

1.用知识结构图（板书或课件）回顾本节课核心内容，构建清晰的知识网络。

2.强调相似多边形定义是“根”，一切性质与应用皆源于此。

3.指出全等是相似当相似比k=1时的特例，体现了数学知识的统一性与发展性。

4.预告下节课将深入探讨更简单、应用更广泛的图形——相似三角形。

第七环节：布置作业，延伸拓展

1.必做题：教材课后练习相应章节；完成练习卷A组题目。

2.选做题：

1.3.（实践探究）寻找生活中2-3个相似多边形的实例，拍下照片，并尝试估算它们的相似比。

2.4.（思维拓展）研究题：两个相似五边形的对应对角线的比与相似比有什么关系？对应高的比呢？你能证明你的猜想吗？

5.预习作业：预习下一课时“相似三角形”，思考相似三角形的定义是什么？它比相似多边形的定义是否有简化？

六、板书设计

主板书（左侧）：

27.1.2相似多边形

一、定义

两个边数相同的多边形，

对应角相等，

对应边成比例，

则这两个多边形相似。

记作：多边形ABCD…∽多边形A‘B’C‘D’…

（对应顶点写在对应位置）

二、相似比（k）

k=对应边之比(A对A‘)

k>1：放大；0<k<1：缩小；k=1：全等。

注意顺序性。

三、性质（由定义推出）

1.对应角相等；对应边成比例。

2.周长比=相似比k。

（若A∽A‘，则P_A/P_A’=k）

副板书（右侧）：

1.用于例题的关键步骤演算。

2.用于学生课堂练习的展示。

3.用于记录课堂生成的重要问题或结论。

七、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、合作交流情况、测量与计算的规范性。

2.3.提问与回答