山西省大同市2026届高三年级第一次模拟考试质量监测数学试卷（含答案）

2026届高三年级第一次模拟考试质量监测试卷

数学

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色

笔迹签字笔写在答题卡上.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

5.本试题共5页，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合P={-1,0,1,3},Q={x∈Z|-1≤x<3},则下列结论正确的是

A.PnQ={-1,0,1}B.P∩Q={-1,0,1,3}

C.PUQ={-1,0,1,2}D.PUQ={-1,0,1,3}

2.在复平面内，复数对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某校为了解学生的体育锻炼情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自体育锻

炼所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均

每人的锻炼时间为

人数(人)

20

15-

10

5

00.51.01.52.0时间(h)

A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h

高三数学第1页共5页

4.若(x-2y)”的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则n=

A.9B.8C.7D.6

5.若e=2,e=50,则

A.a+b=100B.b-a=25

C.ab=2ln5D.

6.已知则

C

A.-3BD.-7

7.已知双曲线的左右焦点分别是F₁,F₂,Q是双曲线右支上的动点，过F₁作

∠FQF₂平分线的垂线，垂足为M,则点M的轨迹方程为

A.x²+y²=9(-1<x≤3)B.x²+y²=9(-1≤x≤3)

C.x²+y²=3(-1<x≤3)D.x²+y²=3(-1≤x≤3)

8.已知函数f(x)的定义域为(0,+o);若对于定义域内给定的任意x₁,x₂(x≠x2),都有

,则不等式的解集为

A.B.(√3,+∞)C.(0,3)D.(3,+o)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分

9.下列关于函数的说法正确的是

A.直线是函数y=f(x)图象的一条对称轴

B.f(x)在区间上单调递增

C.f(x)的图象可通过y=4sin2x的图象上所有点向右平移个单位长度得到

D.若x≠x₂,且f(x₁)=f(x₂)=2,则!

高三数学第2页共5页

10.已知单位向量a,b,c满足a+b+c=0,则下列结论正确的是

A.

B.|b+c|=1

c.a.(b+c)=1

D.a在b+c上的投影向量为a

11.如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，棱AE⊥底面ABCD,

CF//AE,且AE=CF=a,则下列表述一定正确的是.

A.EF//平面ABCD

B.几何体ABCDEF外接球表面积是2a²π

C.几何体ABCDEF的体积是

D.当a=1时，几何体ABCDEF一定有内切球

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线y=x³+2x在点(-1,a)处的切线方程为.

13.已知△ABC内角A,B,C所对边分别为a,b,c,该三角形外接圆半径为R,面积为S.

若a²sin2B+b²sin2A=4R²,S=4,则R=·

14.抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点(其中点A位

于第一象限),AF=3FB,M是线段AB的中点，且点M纵坐标为2,则P=

四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn,a₁=1,3Sn=an+1-1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{Sn}的前n项和Tₙ.

高三数学第3页共.5页

16.(15分)

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C中，AB=AC=1,∠CAB=90°,D,E,F分别为楼AA,

BB₁,C₁B₁的中点.

(1)证明：平面EFD⊥平面ACC₁A₁;

(2)过C₁作平面EFD的平行平面α,平面α将直三棱柱ABC-A₁B₁C₁截成两部分，其中

较大部分体积为求直线A₁C与平面EFD所成角的正弦值。

17.(15分)

已知椭圆的长轴长为4,左、右顶点分别为A,B,经过点·P(1,0)的动直线

与椭圆相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合).

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)求四边形ACBD面积的最大值.

18.(17分)

某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N:)份血液样本，有以

下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k(k∈N,k≥2)份

血液样本分别取样混合在一起检验。若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因而这

k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪

几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k.份血液的检验次数总共为k+1次.假

高三数学第4页共5页

设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份

样本是阳性结果的概率为p(0<p<1).

(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰

好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

(2)现取其中k(k∈N°,k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次

数为ち,采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为52·

①记E(5)为随机变量5的数学期望，若E(5)=E(52),运用概率统计的知识，

求出P关于k的函数关系式p=f(k),并写出定义域；

②若,且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值

比逐份检验的总次数期望值小，求k的最大值.

参考数据：1n2≈0.6931,1n3≈1.0986.

19.(17分)

已知函

(1)当时，求f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)有两个极值点x₁,x(x<x₂)

①求a的取值范围；

②证明：

高三数学第5页共5页

2026届高三年级第一次模拟考试质量监测试卷

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.答案：A

解析：因为P={-1,0,1,3},Q={x∈Z|-1≤x<3}={-1,0,1,2},

所以PnQ={-1,0,1},PUQ={-1,0,1,2,3}.故选A.

2.答案：B

解析：.故选B.

3.答案：B

解析：.故选B.

4.答案：C

解析：(x-2y)”的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为C²,C⁵,由题意得C²=C⁵,所以

n=2+5=7.故选C.

5.答案：D

解析：因为ea=2,e=50,所以a=ln2,b=1n50,

所以a+b=ln2+1n50=1n100,b-a=In50-In2=In25,ab=In2·In50,

6.答案：C

解析：因为所以所以tana=2,所

.故选C.

7.答案：A

解析：设点M的坐标为(x,y),延长QF₂与F₁M交于点T,连接OM,

因为QM平分∠FQF₂,且QM⊥F₁M,所以|QF|=|QT|,|FM|=|MT|,

1

又因点Q是双曲线右支上的动点，

所以Q|F|-|QF₂|=|QT|-|QF₂|=2a,

所以|F₂T|=2a,所以O|M|=a,

即点M在以O为圆心，a为半径的圆上，

因为当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线，

所以点M的轨迹是圆弧CBD,除去点C和D,所以方程为x²+y²=9(-1<x≤3).故选A.

8.答案：A

解析：因为函数f(x)满足对任意的x₁,x₂∈(0,+∞),x₁≠x₂,都有

设x₁>x₂>0,则x₁-x₂>0,所以x₂f(x₁)-xf(x₂)>0,即x₂f(x₁)>x₁f(x₂),

,因为当x₁>x₂>0时，都有g(x₁)>g(x₂),

所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又不等两边同乘以x²,

得x²f(2x)>2xf(x²-3)+3f(2x),即(x²-3)f(2x)>2xf(x²-3),

即所以g(2x)>g(x²-3),

故,解得√3<x<3.故选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

9.答案：BD

解析：对于A,,0不是函数的最值，所以函数不关于对称，故A错误；

对于B,,k∈Z,解,k∈Z,,所以函数

f(x)的单调递增区间为(k∈Z),令k=0,得函数f(x)在

2

上单调递增，,所以函数f(x)在上单调

递增，故B正确；

对于C,将函数y=4sin2x的图象上所有点向右平移个单位长度得到

,故C错误；

对于D,

,故D正确.故选BD.

10.答案：ABD

解析：因为a+b=-c,所以(a+b)²=(-=)²,即1+2a-b+1=1,所,故A正确；

因为b+c=-a,所以b+c=-al=1,故B正确；

因为a·(b+c)=a·b+a-c=1×1×cos<ab>+1×1×cos<a,c>=-1,故C错误；

因为a在b+c上的投影向量故D正确.

(说明：本题还可以直接将a,b,c的有向线段画出，用几何法处理.)

11.答案：AC

解析：因为CF//AE且CF=AE,所以四边形ACFE为平行四边形，所以EF//AC,根据线面平行的

判定定理可知EF//平面ABCD,故A正确；几何体ABCDEF外

接球即为长方体ABCD-EGFH的外接球，所以

所以外接球表面积是S=4πR²=(2+a²)π,故B错误；对于C选项，

可以将几何体ABCDEF补成长方体ABCD-EGFH,如图，几何体

ABCDEF的体积故C正确；当a=1时，假设几何体

ABCDEF有内切球，则根据等体积法,即

,因为平面ADE上的点与平面BCF上的点的最短距离是1,即内切球半径最

3

小为,故几何体ABCDEF没有内切球，故D错误.故选AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.答案：5x-y+2=0

解析：因为y=f(x)=x³+2x,所以f'(x)=3x²+2,所以f'(-1)=5,

又当x=-1时，a=x³+2x=-3,

所以y=x³+2x在点(-1,a)处的切线方程为5x-y+2=0.

13.答案：2

解析：由a²sin2B+b²sin2A=4R²得sin²Asin2B+sin²Bsin2A=1,

所以,所以,又因为所以R=2.

14.答案：2√3

解析：方法一：由题知AF|=3|FB,设|AF|=3m,则F|B|=m,|AB|=4m,

延长AB交准线I于点D,过A作AA⊥I,过B作BB'⊥1,

则|AA'|=|AF|=3m,|BB'=|BF|=m,显然△AA'D~△BB'D,

所以即,所以D|B|=2m,所以D|A|=6m,

,所以∠A'AF=60°,

所以直线AB的斜率为kAB=√3,

设A(x₁,y₁),B(x₂,Y₂),则

得y²-y₂²=2p(x-x₂),所以

所以kᴀB·YM=P

又因为yu=2,所以p=2√3.

方法二：依题得|AFl=3|FB|,

4

设直线l的倾斜角为α,则

解得，,即直线l的斜率是kAB=√3,

根据点差法有抛物线的中点弦公式kAB·y中=p,

所以p=2√3.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)解析：更多试题与答案，关注微信公众号：三晋高中指南

(1)因为3S,=an+1-1,故3Sn₋1=an-1,………2分

所以3a=an+1-a(n≥2)即4a,=a+,故(n≥2),…………4分

当n=1时，3a₁=a₂-1故a₂=4,满足

故a,=4”⁻¹(n∈N⁴).………6分

(2)由(1)…………9分

所以数列{S}的前n项和

………11分

………13分

16.(15分)解析：

(1)证明：因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AA⊥AB,

因为∠CAB=90°,所以AC⊥AB,

又AA∩AC=A且AA,ACc平面ACC₁A₁,

所以AB⊥平面ACC₁A₁,……2分

又D,E分别为棱AA,BB的中点，所以DE//AB,

所以DE⊥平面ACC₁A₁,………4分

5

又DEc平面EFD,所以平面EFD⊥平面ACCA₁.………6分

(2)根据面面平行的判定定理作出平面α,如图所示，

平面α与直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的截面即为平面ABC₁,

显然，平面ABC₁将直三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成体积比为1:2的两部分，

设AA₁=h,则

所以h=2.…………10分

以点A为坐标原点，棱AC,AB,AA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A₁(0,0,2),C(1,0,0),D(0,0,1),E(0,1,1),

所以A₁C=(1,0,-2),DE=(0,1,0),

设平面EFD的法向量为n=(x,y,2),则

,令x=2,

得n=(2,0,-1),………13分

设直线A₁C与平面EFD所成角为θ,

………15分

17.(15分)解析：

(1)由题意得a²=4m=4,解得m=1,所以椭圆方程………2分

故a=2,b=1,c=√a²-b²=√3,所以椭圆的离心率………5分

(2)当直线CD的斜率k不存在时，由题意得CD的方程为x=1,

代入椭圆的方程得,又因为|AB|=2a=4,AB⊥CD,

所以四边形ACBD的面…………8分

当直线CD的斜率k(k≠0)存在时，设CD的方程为y=k(x-1)(k≠0),C(x,y;),D(x₂,y₂),

6

联立方程消去V,得(4k²+1)x²-8k²x+4k²-4=0,

由题意可知△>0恒成立，」

四边形ACBD的面

,…………11分

设4k²+1=t(t>1),则四边形ACBD的面积，……13分

所以

综上，四边形ACBD面积的最大值为2√3.……15分

18.(17分)解析：

(1)记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，

………4分

(2)①根据题意，可知E(ξ)=k,ξ2的可能值为1、k+1,

则P(5₂=1)=(1-p)“,P(S₂=k+1)=1-(1-p),…………6分

…………8分

所以E(5)=(1-p)*+(k+1)(1-(1-p)*)=k+1-k(1-p),

由E(5)=E(5₂),得k=k+1-k(1-p)",

…………10分

②由,所以

由题意得,即

…………13分

当x∈(0,4)时，f'(x)>0,f(x)在(0,4)上单调递增，

当x∈(4,+o)时，f'(x)<0,f(x)在(4,+∞)上单调递减，…………15分

7

f(8)=In8-2=3ln2-2>0,

所