数理方程分离变量法

第二章分离变量法一、有界弦自由振动二、有限长杆上热传导三、拉普拉斯方程定解问题四、非齐次方程解法五、非齐次边界条件处理六、关于二阶常微分方程特性值问题一些结论10/10/1第1页第1页基本思想：首先求出含有变量分离形式且满足边界条件特解，然后由叠加原理作出这些解线性组合，最后由其余定解条件拟定叠加系数。合用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作确保，数学上由解唯一性作确保；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简朴化。一、有界弦自由振动10/10/2第2页第2页令代入方程：令代入边界条件1、求两端固定弦自由振动规律10/10/3第3页第3页特性（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下求非零解问题特性（固有）值：使方程有非零解常数值特性（固有）函数：和特性值相相应非零解分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数10/10/4第4页第4页10/10/5第5页第5页10/10/6第6页第6页10/10/7第7页第7页▪分离变量▪求特性值和特性函数▪求另一个函数▪求通解▪拟定常数分离变量法能够求解含有齐次边界条件齐次偏微分方程。10/10/8第8页第8页2解性质

x=x0时：其中：驻波法t=t0时：10/10/9第9页第9页例1：设有一根长为10个单位弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时位移。解：10/10/10第10页第10页10/10/11第11页第11页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/12第12页第12页10/10/13第13页第13页解：例2求下列定解问题10/10/14第14页第14页10/10/15第15页第15页10/10/16第16页第16页初始条件10/10/17第17页第17页例3求下列定解问题解：由例1中办法知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为10/10/18第18页第18页这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为于是得到一系列分离变量形式特解这些特故原问题解为10/10/19第19页第19页例4求下列定解问题令代入方程：解：10/10/20第20页第20页10/10/21第21页第21页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/22第22页第22页10/10/23第23页第23页10/10/24第24页第24页二有限长杆上热传导令带入方程：解：10/10/25第25页第25页由例4知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为满足方程于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/26第26页第26页令代入方程：令例5求下列定解问题解：由例1中办法知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为10/10/27第27页第27页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/28第28页第28页例6求下列定解问题解：令10/10/29第29页第29页10/10/30第30页第30页于是得到一系列分离变量形式特解10/10/31第31页第31页若则u为多少？为何会出现这样现象？思考这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为若10/10/32第32页第32页分离变量流程图10/10/33第33页第33页三拉普拉斯方程定解问题1直角坐标系下拉普拉斯问题解：由例1中办法知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为10/10/34第34页第34页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/35第35页第35页10/10/36第36页第36页例7求下列定解问题解：由例6中办法知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为10/10/37第37页第37页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/38第38页第38页10/10/39第39页第39页例8求下列定解问题解：由例1中办法知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为10/10/40第40页第40页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/41第41页第41页2圆域内拉普拉斯问题10/10/42第42页第42页例9求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特性值问题10/10/43第43页第43页(欧拉方程)令周期特性值问题故以上周期特性值问题特性值和特性函数分别为10/10/44第44页第44页（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/45第45页第45页例10求下列定解问题解：（周期性边界条件）周期特性值问题10/10/46第46页第46页欧拉方程这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/47第47页第47页其它为零10/10/48第48页第48页例11求下列定解问题解：由例1中办法知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为（自然边界条件）10/10/49第49页第49页（由自然边界条件）10/10/50第50页第50页例11求解下列二维热传导方程定解问题解：由例1中办法知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为10/10/51第51页第51页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/52第52页第52页例12求下列热传导方程定解问题解法一：令10/10/53第53页第53页解法二：令由例1中办法知，以上特性值问题特性值和特性函数分别为10/10/54第54页第54页于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/55第55页第55页惯用特性值问题周期特性值问题10/10/56第56页第56页四非齐次方程解法求下列定解问题方程是非齐次，是否能够用分离变量法？思考10/10/57第57页第57页由线性方程叠加原理，令：10/10/58第58页第58页令：为何？非齐次方程特性函数展开法10/10/59第59页第59页用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程初值问题10/10/60第60页第60页例13求下列定解问题解：先解相应齐次问题其特性值和特性函数为10/10/61第61页第61页10/10/62第62页第62页例14求下列定解问题解：令其特性值和特性函数为10/10/63第63页第63页10/10/64第64页第64页用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程初值问题10/10/65第65页第65页例15求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：周期特性值问题10/10/66第66页第66页非齐次方程特性函数展开法10/10/67第67页第67页10/10/68第68页第68页例16求定解问题周期特性值问题10/10/69第69页第69页非齐次方程特性函数展开法10/10/70第70页第70页10/10/71第71页第71页五非齐次边界条件处理解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令取其中辅助函数满足10/10/72第72页第72页10/10/73第73页第73页常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数以上办法适合用于波动方程、热传导方程和位势方程。10/10/74第74页第74页例17求下列定解问题解：令能够用非齐次方程特性函数展开法求解以上问题。10/10/75第75页第75页若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x函数W(x)此办法在使得非齐次边界条件齐次化同时将造成方程非齐次化。能否做到两者同时齐次化？若能从中求出W(x,t)，就能够实现两者同时齐次化。但普通很难求出!10/10/76第76页第76页例18求下列定解问题解：令请与例17比较，研究其优缺点。10/10/77第77页第77页例19求定解问题解：令能够用分离变量法求解以上问题。10/10/78第78页第78页例20求定解问题解：令能够用分离变量法求解以上问题。10/10/79第79页第79页例21求定解问题解：令10/10/80第80页第80页定解问题选择适当坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法非齐次方