2025年浙江温州龙湾中学自主招生试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页龙湾中学自招试卷1．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______．2．设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么取值范围是__．3．方程组的有理数解的个数为__________．4．正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，正方形的边长为2，则的面积为__________．5．如图所示，在中，，D为斜边上一动点，垂足分别为E、F，当线段最小时，的值等于__________．6．如图，正方形内接于，为劣弧上一点，交于点，交于点，记，若，则的值为__________．7．若可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为__________．8．数列的第2025项的值是__________．9．如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数__．10．设均为正整数，且，，则当的值最大时，的最小值是_________．11．如图，在平行四边形中，过点B作轴，且，D为中点，连接、、，反比例函数的图象经过D、E两点，若的面积为3，则k的值为_____．12．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，，，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若，则的值为_____．13．如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为__________．14．在中，若为三角形外一点，满足，线段与线段交于，且，则__________．15．已知正实数x、y、z满足方程组，求该方程组所有的实数解．16．已知、、均为正整数，且、、均为正整数，则的最大值和最小值之和为__________．17．在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________．18．已知为实数，若关于的不等式的解集为，求的取值范围．19．如图，已知二次函数.（1）求证:它的图象与x轴必有两个不同的交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,O)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A,B,C三点,求扇形MAC的面积S；（3）在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由.20．锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于．(1)求的值；(2)求证：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零，即，从1、2、3、4中随机选取两个不同的数作为和，考虑顺序，总共有12种可能结果，找出满足条件的有序对，计算概率即可．本题主要考查了简单概率的计算，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握“二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零”是解题的关键．【详解】解：由于选取顺序不同，和的有序对共有、、、、、、、、、、、共12种；二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式，即，解得，满足的有序对有、、、共4种，则二次函数与轴有两个不同交点的概率为；故答案为：．2．【分析】根据一元二次方程有两个不同的实数根，可得，再利用根与系数的关系列出不等式即可求出a的取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，△，解得：，，，，，，，，即，当时，解得；当时，不等式无解，∴，又，的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程判断式和根与系数的关系的应用，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键．3．2【分析】题目主要考查解三元方程组，分两种情况分析：当时，当时，分别求出有理数解即可得出结果，关键是对分析时，化简注意解的情况．【详解】解：当时，方程组为：，解得：或；当时，∵，∴①，∵，∴②，将②代入整理得：③，由①得：，代入③整理得：，当时，整理得：，∴方程无有理数根，∴即，∴由①得：，∴由②得：（不符合题意，舍去），∴方程组有两组有理数解：或，故答案为：2．4．4【分析】连接，易得，平行面积转化，推出的面积等于正方形的面积，即可得出结果．【详解】解：连接，∵正方形，正方形和正方形，∴，∴，∴，∴，∵正方形的边长为2，∴．5．##【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，求角的余弦值；连接，证四边形是矩形，可得，再由垂线段最短可得时线段的长最小，利用勾股定理求出，再求出，由余弦的定义进而解答即可．【详解】解：如图，连接，，，，四边形是矩形，，由垂线段最短可得：时，线段的长最小，在中，，，，当时，的面积，，的最小值为，此时，，的面积，，．故答案为：．6．【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形．设的半径为，分别表示出，根据得出，再化简即可求解．【详解】解：如图，连接，设的半径为，∵是直径，∴，在中，，∵正方形内接于，∴∴，∵，∴，∵∴∴∵∴∴∴．故答案为：．7．54【分析】本题考查利用公式法求解一元二次方程，此题中涉及的公式有：．设这k个连续正整数第一个正整数是n，则第个正整数是，根据题意进行分析求解即可．【详解】解：设这k个连续正整数第一个正整数是n，则第个正整数是，∵∴，整理得：∵n是正整数，即,∴，∴，即，∴，∴，当时，解得：（负值舍去），∴，∴故k的取值不超过66，∵的正约数中，小于等于66的最大约数为，验证：当时，，解得，14是正整数，符合条件，故答案为：54．8．【分析】根据数列规律，数字出现次，到数字的总项数为等差数列前项和，通过计算该和与的大小关系，确定第项所在的数字组．【详解】解：由数列规律可知，数字出现次，到数字的总项数为．当时，，．当时，，．由此可知，第项到第项均为，故第项的值是．故答案为．9．6或【分析】先确定是方程的一个根，再由有两个相等的根或有一个根是2，分别求解的值，根据等腰三角形的三边关系进行验证即可．【详解】解：方程可变形为：，即，∴，∴或，∴是方程的一个根，方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，有两个相等的根或有一个根是2，当有两个相等的根时，△，解得，此时方程的根为，三角形的三条边长分别为2，，；当有一个根是2时，，此时方程的根为或，三角形的三条边长分别为2，2，3；综上所述：的值为6或，故答案为：6或．【点睛】本题是一元二次方程的综合题，主要考查了解一元二次方程、根的判别式以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，求出是方程的一个根是解题的关键．10．9【详解】解：先证明．用反证法，若，又，则，即，于是，，，，，矛盾．由，即，，于是当，，，，，取最大值110，而取最大值20.由，得，，且当，，，，，，，，时，取最大值110，而取最小值29，取最大值20．因此的最小值是．11．##6.75【分析】过点D作轴，交于点F，交轴于点G，延长交轴于点H，连接，根据的面积为3，求出的面积，设D点坐标为，则E点坐标为，根据面积列方程即可求出k的值．【详解】解：过点D作轴，交于点F，交轴于点G，延长交轴于点H，连接，E为的四等分点（），的面积为3，的面积为9，轴，四边形是平行四边形，，，D为中点，，由平行四边形得，，，，，设D点坐标为，则E点坐标为，，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程．12．【分析】设AC，BD交与点F，过点B作，交EA的延长线于点G，利用直角三角形的边角关系得到，设，则，利用勾股定理，相交弦定理，平行线分线段成比例定理求得BF，DF，AE，利用勾股定理求得线段CE，利用矩形的判定与性质和勾股定理求得BE，则结论可得．【详解】解：设AC，BD交与点F，过点B作，交EA的延长线于点G，如图，∵，，∴，设CF=3k，则，∴，∵CA=CB，∴AC=5k，∴，∵CF·AF=DF·BF，∴DF=32k，∵AC⊥BD，AE⊥AC，∴DF∥AE，∴，∴，∴，∴AE=52k，∴，∵AC⊥BD，，，∴四边形AFBG为矩形，∴BG=AF=2k，AG=BF=4k，∴EG=AE+AG=132k，∴BE=BG2+EG2=1852k，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相交弦定理，熟练掌握圆的相关性质，利用勾股定理求得对应相等的长度是解题的关键．13．【分析】连接OP，OM，根据切线长定理可知，因为，故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，此时最大，由此得到P点，再求出OP长，在Rt△PMO中求出PM即可解答．【详解】解：连接OP，OM，∵PM、PN相切于点M、N，∴，，∴，又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直径，∴，∴故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，延长DC交直线AE于点G，∵E是BC的中点，BC=6，∴BE=EC=3,∵在矩形ABCD中，，∴，∵在矩形ABCD中，，∴，∴，∴EG=5，CG=3，∴OG=OC+CG=2+4=6，又∵OP垂直AC时，最大，∴，在Rt△PMO中，，故答案为．【点睛】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最小等知识，解题关键是切线长定理可知，然后关键在Rt△PMO中最大，此时最大，得出OP垂直AC时，最大．14．【分析】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，相似三角形的性质与判定．通过圆周角定理的逆定理证明点为外接圆的圆心，再利用平方差公式计算所求乘积，证明得出，即可求解．【详解】解：因为线段与线段交于点，所以点与点在线段的同侧（若在两侧则线段与无交点）．已知，，根据圆周角定理的逆定理（同弧所对的圆心角是圆周角的倍），可得点是外接圆的圆心，的半径为．设直线与的另一交点为，则，．∵∴∴∴∴因此．故答案为：．15．【分析】本题考查了解无理方程；根据方程组的关系可得，进而解关于的一元二次方程，即可求解．【详解】解：设函数，整理得，当时，增大则增大，因此是正实数集上的增函数．原方程组可写为：．若，由增函数性质得：，；，∴，矛盾；∴将代入方程得：，，整理得：，两边除以得：整理得：，解关于的一元二次方程，取正根得，平方得：．综上，方程组的所有实数解为．16．【分析】根据题意容易判断出、、的下限均为，此时恰好符合各式均为正整数的要求，因此的最小值为．在计算最大值时，先假设是最小的数，容易得出是的因数，是的因数，是的因数，则，从而得出、、的上限，经检验此时也符合各式均为正整数的要求，将最小值和最大值相加即可．【详解】解：由题意可得，、、均为正整数，且，，，∴，，，当时，，符合题意，∴的最小值为；下面计算的最大值，由于、、的结构对称，不妨设三个数中最小的数为，即，，∵，又∵、是正整数，∴是的正因数，∵，∴，∴，同理，是的正因数，是的正因数，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，，当，，时，，，，符合题意，∴的最大值为；综上所述，的最小值为，最大值为，最小值与最大值之和为．17．##36度【分析】本题主要考查三角形的内心和外心的性质，角平分线以及三角形内角和定理的应用，根据三角形的内心和外心得到对应的角相等，再结合角平分线得到对应角关系，结合三角形内角和定理列出方程，求解即可．【详解】解：设，如图，∵点E为的内心，∴，，∵点F为的外心，∴，，∵的内心与的外心重合，∴，∵平分，∴，∵点E为的内心，∴，则，解得，那么，，故答案为：．18．【分析】先分析的情况，此时函数为一次函数，结合一次函数的单调性，根据不等式的解集列方程组求解；再分析的情况，此时二次函数开口向上，由不等式解集确定的两根为和，利用韦达定理求出、与的关系式，再根据二次函数的对称轴求出其最小值，结合不等式恒成立的要求让最小值大于，解出此情况下的范围；接着分析的情况，此时二次函数开口向下，同理确定的两根为和，利用韦达定理得到、与的关系式，根据对称轴求出函数最大值，结合不等式恒成立的要求让最大值小于，解出此情况下的范围；最后整合三种情况的结果，即可得到的取值范围．【详解】解：设．①当时，是一次函数，∵的解集为，∴若随着的增大而增大，则直线过，两点，∴，解得，符合条件；同理若随着的增大而减小，解得，符合条件，故满足条件．②当时，二次函数开口向上，∵的解集为，的解集为，即的两根为和，∴，解得，，又当时，二次函数取得最小值，∴当时，，解得，．③当时，二次函数开口向下，∵的解集为，的解集为，即的两根为和，∴，解得，，又当时，二次函数取得最大值，∴当时，，解得，．综上，的取值范围是．19．（1）见解析；（2）；（3）（3）P为（2，-3）或（，）.【分析】(1)计算判别式△=（m+3）2>0，即可判断抛物线与x轴有两个不同的交点.（2）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（3）设PD