20.1勾股定理及其应用（第1课时）人教版新教材八年级数学下册

第1课时勾股定理20.1勾股定理及其应用

第二十章

勾股定理第二十章勾股定理20.1勾股定理及其应用

20.2勾股定理及其逆定理的应用勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的应用章节导读勾股定理勾股定理的实际应用利用勾股定理作图或计算学

习

目

标123

能够运用勾股定理解决直角三角形中的边长计算问题；在探究勾股定理的几何直观模型过程中，培养观察、归纳与逻辑推理能力.章节导入

直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.

在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五.后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系——两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理.

本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识.导入新课

直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角，其余两个角互余.ABC

对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？导入新课

在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.商高所指的面积关系可以用图形表示:红色直角三角形的三边长分别为3，4，5

从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.

新知探究探究

提示：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积新知探究

同理：

类似的，任意作一个三角形，它们的三边也满足以上关系吗？新知探究

以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？

可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.

新知探究猜想

ABC

那么该如何证明这个猜想呢？

下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.新知探究

赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形可以按此方式围成一个正方形，其中黄色部分也是正方形.

如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.探究

准备四个相同的直角三角形，将它们四个拼接成一个正方形，你会以什么样的方式拼接该正方形？赵爽弦图是如何证明勾股定理的呢？下面我们探究它的证明过程.新知探究探究赵爽弦图证明勾股定理.

这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形和一个正方形将图中左、右两个三角形移到图中所示的位置

证明思路1：新知探究探究赵爽弦图证明勾股定理.证明思路2：

新知探究

赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”. “赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲. 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.

在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.新知总结勾股定理

ABC

符号语言：

典例分析例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.【分析】利用勾股定理，即可在知道两边的情况下求第三边

巩固练习

巩固练习2.如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积是多少？即正方形A的面积为25

解：如图所示：

巩固练习

巩固练习

【分析】