2026年整式的乘除难测试题及答案

2026年整式的乘除难测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若(x²+ax+1)(x²−3x+b)展开后x³项系数为−5，则a+b的值为A.−2B.−1C.0D.12.已知(2xⁿ−3)(x²+5x−4)的乘积中xⁿ⁺²项系数为−15，则n等于A.1B.2C.3D.43.若(x−1)⁶展开式中x⁴系数为k，则k÷15的余数是A.0B.1C.2D.34.设P(x)=x⁵−1，Q(x)=x²+x+1，则P(x)÷Q(x)的余式为A.x+1B.−x−1C.x−1D.−x+15.若(3x²−5x+2)²展开后常数项为m，则m被7除的余数为A.2B.3C.4D.56.已知(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)展开后x³系数为a，则a²−10a+1的值是A.−24B.−23C.23D.247.若(x²+px+q)(x²−px+q)=x⁴+8x²+16，则p²−q的值为A.0B.4C.−4D.88.设(ax³+bx²+cx+d)÷(x²−1)余式为2x+3，则a+c的值为A.0B.2C.3D.59.若(x−2)⁵展开式中x²系数为k，则k被5除的余数为A.0B.1C.2D.310.已知(x+1)ⁿ展开式中x³与x⁵系数之比为5∶1，则n的值为A.8B.9C.10D.11二、填空题（每题2分，共20分）11.若(x²−x+1)(x²+mx+2)展开后x²系数为0，则m=＿＿12.已知(2x−1)⁶展开式中x⁴系数为a，则a=＿＿13.若(x³−2x²+3x−4)÷(x−1)余数为＿＿14.设(x+√2)⁵+(x−√2)⁵展开后x³系数为k，则k=＿＿15.若(x²+1)(x²+2)(x²+3)展开后x⁴系数为＿＿16.已知(x−1)⁷展开式中x⁵系数为m，则m=＿＿17.若(x²−3x+5)²展开后x系数为＿＿18.设P(x)=x⁴−5x²+4，则P(x)÷(x²−1)的商式为＿＿19.若(x+1)(x+2)⋯(x+10)展开后x⁹系数为a，则a=＿＿20.已知(x²+px+q)²展开后x²系数为10，常数项为4，则p²+q²=＿＿三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.(x−1)⁸展开式中x⁴系数为70。22.若(x²+1)⁵展开后x⁶系数为10，则x⁸系数也为10。23.(x³−1)÷(x−1)的商式为x²+x+1。24.若(x+1)ⁿ展开式中所有系数和为2ⁿ，则n=0时也成立。25.(x²−x+1)(x²+x+1)=x⁴+x²+1。26.若(ax²+bx+c)²展开后x³系数为0，则b=0。27.(x−2)⁵展开后常数项为−32。28.若(x+1)⁴展开后x²系数为6，则x³系数为4。29.设P(x)=x⁵−x，则P(x)能被x²−1整除。30.若(x²+px+q)(x²−px+q)展开后x²系数为0，则q=−p²。四、简答题（每题5分，共20分）31.利用二项式定理求(2x−3)⁵展开式中x³项系数，并说明计算过程。32.已知多项式f(x)=x⁴−6x³+13x²−12x+4有重根，请用整式除法验证x=1是否为二重根。33.设P(x)=x³−2x²−5x+6，Q(x)=x−3，求P(x)÷Q(x)的商式与余式，并写出分解式。34.证明：对任意正整数n，(x+1)²ⁿ展开式中xⁿ系数等于(2n)!/(n!)²。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论多项式(x²+ax+b)²展开后各项系数与a,b的关系，并给出使x³系数为零的充要条件。36.比较(x+1)ⁿ与(x−1)ⁿ展开式中xᵏ系数绝对值的大小关系，并说明当n,k满足何种条件时两者相等。37.设P(x)=x⁵−1，试分析P(x)在实数范围内能否分解为两个二次因式与一个一次因式的乘积，并给出理由。38.探究：若(ax²+bx+c)(dx²+ex+f)展开后x⁴系数为0，则系数a,b,c,d,e,f需满足怎样的线性关系？请给出一般结论并举例验证。答案与解析一、单项选择1.B2.C3.A4.B5.A6.B7.C8.D9.C10.C二、填空11.−312.24013.−214.015.1116.2117.−3018.x²−419.5520.20三、判断21.√22.×23.√24.√25.√26.√27.√28.√29.√30.×四、简答31.由二项式定理，(2x−3)⁵=ΣC(5,k)(2x)ᵏ(−3)⁵⁻ᵏ，k=3时系数为C(5,3)·2³·(−3)²=10·8·9=720。32.用x=1试除，f(1)=0；再用综合除法得商x³−5x²+8x−4，再对商以x=1试除得x²−4x+4，余0，故x=1为二重根。33.长除得商x²+x−2，余0，故P(x)=(x−3)(x²+x−2)=(x−3)(x−1)(x+2)。34.展开式通项C(2n,k)xᵏ，令k=n，系数C(2n,n)=(2n)!/(n!·n!)得证。五、讨论35.展开得x⁴+2ax³+(a²+2b)x²+2abx+b²，x³系数为2a，为零当且仅当a=0，此时b任意。36.系数分别为C(n,k)与(−1)ⁿ⁻ᵏC(n,k)，绝对值相等当且仅当n−k为偶数，即k与n同奇偶。37.x⁵−1=(x−1)(x⁴+x³+x²+x+