2025-2026学年山东省济南市历下区九年级数学第一学期期末考试试题(含答案)

历下区九年级上学期数学期末学情调研（2026.1）考试时间120分钟满分150分第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.“月壤砖”是我国科学家为月球基地研制而成的，可用于未来的月球基地建设。下面是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（）2.抛物线y=−2(x−1)2+3的顶点坐标是（）A.(−1,−3)B.(−1,3)C.(1,−3)D.(1,3)3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A.35B.43C.344.如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64∘，那么∠ACB的度数为（）A.26∘B.30∘C.32∘D.64∘5.已知反比例函数y=k−6x的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而增大。那么k的取值范围是（A.k<0B.k>0C.k<6D.k>66.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，连接OC，则∠OCD的度数是（）A.54∘B.60∘C.66∘D.72∘7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.ac<0B.b<0C.b2−4ac<0D.a+b+c<08.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90∘，OA=2，若以点B为圆心，OB为半径画弧，交AB于点C，连接BC，则图中阴影部分的面积是（）A.π3B.π4C.π69.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，动点D从点A开始沿边AB向点B运动（点D不与点B重合），点E在边BC上，连接CD，DE，且∠CDE=60∘，设AD=x，CE=y，则y的最小值为（）A.1.5B.3C.2D.310.已知当−3<x<1时，二次函数y=−x2−x+c的图象与正比例函数y=3x的图象有交点，则c的取值范围是（）A.−4≤c<5B.−3<c<5C.−4≤c<−3D.−1≤c≤4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.已知⊙O的半径为5，点P是⊙O外一点，连结OP，则OP的长度可以是________（写出一个即可）。12在△ABC中，已知∠A为锐角，sinA=3213.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A=100∘，则∠C的度数为________°。14.如图，二次函数y=ax2+2ax+c（a≠0）的部分图象与x轴的一个交点的坐标为(−3,0)，则该二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为________。15.如图，在等腰三角形纸片ABC中，∠A=120∘，AB=AC=5，D是AC上一点，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在边AB上的点F处，折痕DE交BC于点E。若已知sin∠BEF=33三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：sin45∘−2cos60∘−3tan30∘+tan60∘。17.（本小题满分7分）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，DE∥BC，△ABC的角平分线AF交DE于点G。(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DEBC=418.（本小题满分7分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，sinA=35(1)求AD的长；(2)求cosC的值。19.（本小题满分8分）2025年9月3日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队这4支战略兵种首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅。为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，确定了A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队4个主题。(1)若小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是________；(2)若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到C：信息支援部队的概率。20.（本小题满分8分）为方便乘客进出，地铁公司计划将某出入口的楼梯通道改造成无障碍通道。如图，在地铁出入口P处，原楼梯通道的长度PA为2m，倾斜角为20∘，调整后的无障碍通道的倾斜角为4.5∘。(1)求地铁出入口P处距离水平地面的高度；(2)求调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离AB。（结果精确到0.001m。参考数据：sin20∘≈0.342，cos20∘≈0.940，tan20∘≈0.364，sin4.5∘≈0.078，cos4.5∘≈0.997，tan4.5∘≈0.079）21.（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，D是斜边AB上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E。(1)求证：BE平分∠ABC；(2)若BE=5，BC=4，求⊙O半径的长。22.（本小题满分10分）在某次消防实战演练中，从水枪喷水口O处喷出的水流呈抛物线形状，落到高楼外墙上的点A处，已知喷出水花的高度y（m）与水流到喷水口的水平距离x（m）之间的关系如图所示，当水流到喷水口的水平距离为3m时，达到最高点，此时喷出水花的高度为18m。(1)求y关于x的函数表达式；(2)已知水枪喷水口O处到高楼外墙的水平距离为4m，高楼外墙上的点B处距离地面的高度是17.5m，假设将水枪喷水口平移，喷出的水流所在抛物线的形状保持不变。①若将水枪喷水口沿竖直方向向上平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点B处，求平移的距离；②若将水枪喷水口沿水平方向平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点B处，直接写出平移的方向和距离。23.（本小题满分10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为3，其顶点A，D均在x轴上，顶点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，D(−5(1)求反比例函数的表达式；(2)将正方形ABCD向右平移m个单位长度得到正方形A′B′C′D′（0<m<3），其边B′C′，A′B′分别与反比例函数的图象交于点E，F。①如图2，当点D′与点O重合时，连接OE，OF，EF，求△OEF的面积；②如图3，当tan∠B′EF=3424.（本小题满分12分）二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，连结BC。(1)求二次函数的表达式和直线BC的表达式；(2)如图，点D是该二次函数在第一象限内图象上的一点，过点D作x轴的垂线l，交BC于点E，DE=2BE。①求点D的坐标；②点M是该二次函数图象上的一点，点N为点M关于直线BC的对称点，当点N落在直线l上时，求点N的纵坐标。25.（本小题满分12分）如图1，在矩形ABCD中，CD=2AD，点E在边BC的延长线上（点E不与点C重合），连接DE，点F在线段DE上，且∠DAF=∠EDC，AF与边CD交于点G。(1)求证：CE=2DG；(2)如图2，连接GE，点H为GE的中点，连接CH，若CD=4，求CH的最小值；(3)如图3，点M为边AB的中点，连接DM交AF于点N，若NG=m，GF=n，求AN的长（用含m和n的式子表示）。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.“月壤砖”是我国科学家为月球基地研制而成的，可用于未来的月球基地建设。下面是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（A）2.抛物线y=−2(x−1)2+3的顶点坐标是（D）A.(−1,−3)B.(−1,3)C.(1,−3)D.(1,3)3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（B）A.35B.43C.344.如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64∘，那么∠ACB的度数为（C）A.26∘B.30∘C.32∘D.64∘5.已知反比例函数y=k−6x的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而增大。那么k的取值范围是（CA.k<0B.k>0C.k<6D.k>66.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，连接OC，则∠OCD的度数是（A）A.54∘B.60∘C.66∘D.72∘7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（B）A.ac<0B.b<0C.b2−4ac<0D.a+b+c<08.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90∘，OA=2，若以点B为圆心，OB为半径画弧，交AB于点C，连接BC，则图中阴影部分的面积是（A）A.π3B.π4C.π69.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，动点D从点A开始沿边AB向点B运动（点D不与点B重合），点E在边BC上，连接CD，DE，且∠CDE=60∘，设AD=x，CE=y，则y的最小值为（D）A.1.5B.3C.2D.310.已知当−3<x<1时，二次函数y=−x2−x+c的图象与正比例函数y=3x的图象有交点，则c的取值范围是（A）A.−4≤c<5B.−3<c<5C.−4≤c<−3D.−1≤c≤4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.已知⊙O的半径为5，点P是⊙O外一点，连结OP，则OP的长度可以是____6____（写出一个即可）。12在△ABC中，已知∠A为锐角，sinA=32，则∠A的度数是____6013.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A=100∘，则∠C的度数为____80____°。14.如图，二次函数y=ax2+2ax+c（a≠0）的部分图象与x轴的一个交点的坐标为(−3,0)，则该二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为____(1,0)____。15.如图，在等腰三角形纸片ABC中，∠A=120∘，AB=AC=5，D是AC上一点，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在边AB上的点F处，折痕DE交BC于点E。若已知sin∠BEF=33，则AF=____6－1三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：sin45∘−2cos60∘−3tan30∘+tan60∘。=22－1－3+=2217.（本小题满分7分）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，DE∥BC，△ABC的角平分线AF交DE于点G。(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DEBC=4（1）∵DE∥BC∴∠ADE=∠B又∠A=∠A∴△ADE∼△ABC（2）∵△ADE∼△ABC∴ADAB=DEBC∵DE∥BC∴ADAB=AGAF∴2AF=∴AF=3.5∴FG=AF－AG=1.518.（本小题满分7分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，sinA=35(1)求AD的长；(2)求cosC的值。(1)在Rt△ABD中sinA=BDAB=BD5∴BD=3∴AD=4（2）CD=AC－AD=5－4=1在Rt△BDC中BC=10∴cosC=CDBC=19.（本小题满分8分）2025年9月3日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队这4支战略兵种首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅。为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，确定了A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队4个主题。(1)若小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是________；(2)若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到C：信息支援部队的概率。(1)1(2)720.（本小题满分8分）为方便乘客进出，地铁公司计划将某出入口的楼梯通道改造成无障碍通道。如图，在地铁出入口P处，原楼梯通道的长度PA为2m，倾斜角为20∘，调整后的无障碍通道的倾斜角为4.5∘。(1)求地铁出入口P处距离水平地面的高度；(2)求调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离AB。（结果精确到0.001m。参考数据：sin20∘≈0.342，cos20∘≈0.940，tan20∘≈0.364，sin4.5∘≈0.078，cos4.5∘≈0.997，tan4.5∘≈0.079）(1)过点P作PH⊥AB在Rt△APH中，sin∠PAH=PHAP=PH∴PH=0.684m∴地铁出入口P处距离水平地面的高度为0.684m（2）在Rt△APH中cos∠PAH=AHAP=AH∴AH=1.88m在Rt△PHB中tan∠PBH=PHBH=0.684∴BH=8.6582m∴AB=BH－AH=6.778m21.（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，D是斜边AB上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E。(1)求证：BE平分∠ABC；(2)若BE=5，BC=4，求⊙O半径的长。（1）连接OE∵AC是⊙O切线∴OE⊥AC∴∠OEA=90°∴∠OEA=∠C∴OE∥BC∴∠OEB=∠CBE∵OE=OB∴∠OEB=∠OBE∴∠CBE=∠OBE∴BE平分∠ABC（2）连接ED∵DE是⊙O切线∴∠DEB=90°在Rt△CBE中，cos∠CBE=BCBE=∵∠OBE=∠CBE∴cos∠OBE=4在Rt△DEB中cos∠OBE=BEBD=5BD∴BD=25∴⊙O半径的长为2522.（本小题满分10分）在某次消防实战演练中，从水枪喷水口O处喷出的水流呈抛物线形状，落到高楼外墙上的点A处，已知喷出水花的高度y（m）与水流到喷水口的水平距离x（m）之间的关系如图所示，当水流到喷水口的水平距离为3m时，达到最高点，此时喷出水花的高度为18m。(1)求y关于x的函数表达式；(2)已知水枪喷水口O处到高楼外墙的水平距离为4m，高楼外墙上的点B处距离地面的高度是17.5m，假设将水枪喷水口平移，喷出的水流所在抛物线的形状保持不变。①若将水枪喷水口沿竖直方向向上平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点B处，求平移的距离；②若将水枪喷水口沿水平方向平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点B处，直接写出平移的方向和距离。（1）抛物线的顶点（3，18）设抛物线表达式为y=a（x－3）2+18将（0，0）代入y=a（x－3）2+18得a=－2∴y=－2（x－3）2+18（2）①1.5②12或23.（本小题满分10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为3，其顶点A，D均在x轴上，顶点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，D(−5(1)求反比例函数的表达式；(2)将正方形ABCD向右平移m个单位长度得到正方形A′B′C′D′（0<m<3），其边B′C′，A′B′分别与反比例函数的图象交于点E，F。①如图2，当点D′与点O重合时，连接OE，OF，EF，求△OEF的面积；②如图3，当tan∠B′EF=34（1）∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB=3