2024-2025学年广东深圳坪山区九年级（上）期中数学试题及答案

2024・2025学年广东省深圳市坪山区九年级（上）期中数学试卷

一、单选题（24分）

1.（3分）如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（）

2.（3分）已知两个相似三角形的面积比为4：9,则周长的比为（）

A.2：3B.4：9C.3：2D.近：

3.（3分）如果〃是一元二次方程5=0的一个根，那么代数式8-2/+6。是（）

A.—1B.2C.1D.-2

4.（3分）平面直角坐标系xQy中，A（1,0）,B（0,M）,则坐标原点。关于直线力〃对称的点。的

坐标为（）

B.耳，争

D.（3，

5.（3分）下列命题中，不正确的是（）

A.对角线垂直的平行四边形是正方形

B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.有一个角是直角的平行四边形是矩形

D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

6.（3分）已知函数^=典的图象如图，下列说法正确的是（)

A.mV0

B.在每个分支上y随x的增大而增大

C.若点/（-I,a）点夕（2,方）在图象上，则。＞6

D.若点尸（X,V）在图象上，则点Pl（-X,-y）也在图象上

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7.（3分）在平面直角坐标系中，一次函数），=依出I的图象与反比例函数y=K（其中k为常数，原0）的部

X

连接BE,BF,EF,且有

乙瓦昭=45。.将△EOF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上,则EF的长为（）

A.4.生巨虱

C203D.8-^叵

3.~33

二、填空题（12分）

9.（3分）如图，以长方形力8CQ的一边为轴，将其旋转一周得到的立体图形的表面积为

"/.（结果保留口）

10.（3分）若方程（〃?+1）x制-"+2x-3=0是关于x的一元二次方程，则加=.

11.（3分）如图，要测量一座小L丘的高度，某同学在一平面内取4、B两点，且测得与山顶。点的仰角

的角度为。、0，力、4两点的距离是过。点作CQl//交44的延长线于点Q.则。。的高度〃

=.（用含有a、0、a的式子表示）

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12.（3分）如图，AJ8C是等腰直角三角形，乙4C4=90。，AC=BC=8,D为AC边上一点、,AD=2,E

为BC边上一动点、,连接。£以。石为边并在QE的左侧作等边△。上巴连接力凡则/厂的最小值

为.（提示：直角三角形中，30c角所对的直角边等于斜边的•半〉

13.（3分）如图，已知等边三角形力8C的顶点/,8分别在反比例函数丁=工图象的两个分支上，点。在

X

反比例函数y=X（七0）的图象上，当△/8C的面积最小时，k的值为.

14.（9分）在平面直角坐标系中，函数歹=加-2ar-4。（x>0）的图象记为％,-ax2-2ax+4a

（x<0）的图象记为“2，其中。为常数，且a/0,图象,W],“2合起来得到的图象记为

（1）若图象M有最低点，且最低点到x轴距离为3,求。的值：

（2）若。=1时，点力（而，〃）在图象M上，且・19区4,求〃的取值范围：

（3）若点尸、。的坐标分别为（・5,-1）,（4,-1）,连接尸。.当线段尸0与图象M恰有三个公共

点时，请直接写出。的取值范围.

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一，I-3一22

一1

15.（9分）在正方形力4c力中，点尸是边力4上一点，连接。尸，点、E为DF中点.连接4月、CE、AE.

（I）求证：Z.DAE=Z-ADEx

（2）求证：AAEB三ADEC；

（3）当EB=BC时,求乙"'。的度数.

16.（9分）如图，已知直线^=h-4的图象经过点儿B（3,2）,且与x轴交点C.

（1）求女的值；

（2）若点口（［，3），判断点。是否在y=Ax-4的图象上；

17.（8分）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度力立小刚在。处用

高16〃的测角仪CO,测得教学楼顶端力的仰角为30。，然后向教学楼前进40〃?到达E,又测得教学楼

顶端力的仰角为60。.求这幢教学楼的高度.（己知：V2=1.4I4,V3=1.732,结果保留一位小数）

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18,（10分）某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每箱售价x（元）与每天的销售量y

（1）若水蜜桃的进价是40元/箱，该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价

是多少元？

（2）7月份1-16号每天销售水蜜桃盈利1600元.从17号开始连续阴雨，因而从7月17号开始水蜜

桃销售价格在（1）的条件下，下降了〃?％,同时水蜜桃的进货成本下降了10%,销售量也因此比原来

每天获得1600元盈利时上涨了2加%（/»<100）,7月份17-31号水蜜桃销售总盈利比7月份1-16号

销售水蜜桃总盈利少7120元，求〃?的值.

19.（14分）【项目式学习】

项目主题：学科融合一一用数学的眼光观察世界.

项目背景：学习完相似三角形呼质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸诱镜

成像规律.

项目素材：

素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射

后光线经过焦点.

素材二：设物距为〃、像距为-和焦距为/，小明在研究的过程中发现了物距〃、像距】，和焦距/之间在

成实像时存在着关系：工」=1.

UVf

【项目任务】根据项目素材解决问题：

任务一：小明先取物距〃=1呈,然后画出光路图（如图①），其中48为物体，。为凸透镜的光心,

入射光线/CII光轴，折射光线。'经过焦点C,49为力4所成的像.

（1）根据光路图①可知，当“=1学时，代丹=；

（2）当“=2/1时.请仿照图①的方法，在图②中画光路图；

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任务二：凸透镜的焦距为6°〃，蜡烛48是40〃，离透镜中心。的距离是(x>6)时，蜡烛的

成像d9的高y。〃，请你利用所学的知识求出y与x的关系式;

任务三：根据任务二的关系式得出表：

(2)当蜡烛的成像©夕的高不小于2c加时，请在坐标系中画出它的图象;

A

B

光轴

f°

N

||川||||甲1川川甲1叫川甲1川川1|11川川甲1叫1,|]|||1川|11叫川甲1叫川甲1叫川1|&

[()cm1()2()乂)405()6()7()8()9()10()、im）

A

y

14

12

M10

8

光轴6

2/O4

2

O68101214161820

20.（14分）在RtA48C中，^ACB=90°,48=10,osA=—»将△力8C绕点B顺时针旋转得到△H8C,

C5

其中点力，C的对应点分别为点4,C.

(1)如图1,当点力"落在4C的延长线上时，求的长；

(2)如图2,当点。落在的延长线上时，连接C。，交44于点M,求RW的长；

(3)如图3,连接力4,直线CV交力，于点。，点E为/C的中点，连接。Q在旋转过程中，DE是

否存在最大值？若存在，直接写出。£的最大值；若不存在，请说明理由.

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2024・2025学年广东省深圳市坪山区九年级(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

一、单选题(24分)

1.【答案】A

【解答】解：由题意知，力中主视图与左视图不相同，符合要求;

夙C、。中主视图与左视图相同，不符合要求；

故选：A.

2.【答案】A

【解答】解：♦.•两个相似三角形的面积比为4：9,

•••它们的相似比为2：3,

・••它们的周长比为2：3.

故选：A.

3.【答案】D

【解答】解：把代入d・3x・5=0得。2-3。・5=0,

所以cr-3〃=5,

所以8-2『+6。=8-2(a2-3a)=8-10=-2.

故选：D.

4.【答案】B

【解答】解：设直线力4的解析式为(n0),

-A(1,0),B(0,V3),

k+b=0

解得卜=芝,

b=v3

直线AB的解析式为y=-V3r+V3>

•.坐标原点。关丁直线月8对称的点为O',

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直线。。的解析式为）,=退心

3

xW3

_3_

X-4

解得.

V4

，直线48与直线的交点坐标为（S,返J,

44

设点。，（a,6）,则亘=&,且=退_,

2424

•••a=S,b=^-,

22

二。（S,迎）.

22

故选：从

5.【答案】A

【解答】解：A,对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，符合题意;

8、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；

C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；

。、•组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意，

故选：A.

6.【答案】D

【解答】解：/、•.•函数图象的两个分支分别位于第一三象限，

.•・〃》0,原说法错误，不符合题意；

8、由函数图象可知，在每个分支上y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意;

C、•••点4（・1,。）点8（2,b）在图象匕

'-a<0,b>0,

原说法错误，不符合题意；

•反比例函数的图象关于原点对称，

:.若点P（x,y）在图象上，则点P[（-x,-y）也在图象上，正确，符合题意.

故选：

7.【答案】B

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【解答】解：y=kx+k=k（x+1）,

当y=0,x=-1,

二一次函数经过点（-1,0）,

.3、C不符合，

当%>0时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限,

-B符合,

当％V0时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限,

•.D不符合，

故选：B.

8.【答案】D

【解答】解：过点F作尸H1BE于点H,如图：

设。E=x,DF=y,则力产=4・y,CE=4-x,

由翻折的性质可知：△EFHGEFD,

HEF=LDEF,乙FHE=CFDE=900,

“EBF=450,

••・△«〃£为等腰直角三角形，

:.HF=FD=y,BH=HE=DE=x,

:.BF=x+y,Z?E=V2V»

由勾股定理可得：BC2+CE2=BE2,

U[J42+(4-X)2=(V2X)2>

解得X=4百Y，AB2+AF2=BF2.即4?+(4-y)2=(x+y)2,

解得y=4-#纵

EF^/DE2+DF2=8-呼-

故选：D.

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二、填空题(12分)

9.【答案】80IT或487T.

【解答】解：长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱，

绕着的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为3cm,高为5c〃？的圆柱体，因此表面积为

2Ttx3x5+nx32x2=48n(cw2),

绕着3c机的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为5cm,而为3cm的圆柱体，因此表面积为

2Trx5x3+nx52x2=80n(cw2)；

故答案为：80Tl或48TT.

1().【答案】3.

【解答】解：由题意得恤7|=2,

•••〃？-1=±2,

解得m=3或〃?=-1,

•・,〃?+1押，即〃"-1，

:—3,

故答案为：3.

U［答案］ata《，tanB.

tanp-tanCI

【解答】解：•••CQL14,

••ZCD4=9O。，

在RtA4C。中，乙C4D=a,CD=h,

•••AD=———=---,

tanCltanCl

在RtZkCBO中，zCBD=p,

:.BD=—=--—,

tanBtanB

,:ADBD=AB,

•h-h

tanatanp

•,.tanp/z-tanaA=«tanatanp,

:h=atanatanB,

tanP-tanCI

・•・CD的高度h为一嘈tan8,

tanP-tana

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故答案为：atagCltanB、

tanp-tana

12.【答案】7.

【解答】解：如图1,以4。为边在力。左侧作等边三角形4GO,连接/G,EG,延长力立CB交于点、

P,

图1

-AAGD和△。七〃是等边三角形，

:.DE=D卜,L)G=AD,"DG=上卜DE=60",

:.(ADG+LGDF=乙FDE+乙GDF,即々。/=乙GDE,

:4FD三AGED(SAS),

：.AF=EGx

方法一：如图2,当点4G,£三点共线时，力厂有最小值,

图2

此时，乙EGD=^GAC=60。,

.'.^AGE+Z.GAC=Z-AGD+Z.EGD+Z.GAC=1SO0,

'.ACWEG,即EG工BC,

：./.APC=30°,

•：4C=BC=8,40=2,

.,.Ar,=2AC=16,AG=AD=2,

：.PG=AP-AG=\4,

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■"EG^PG=7>

:.AF=EG=7»

方法二：过点G作G//L1C,得矩形G〃C£,

:.GE=CII,

,:4AGD是等边三角形，

..AH=DH=\,

：.AF=EG=CH=AC-AH=8-1=7,

故答案为：7.

13.【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据题意当月、B在直线y=x上时，的面积最小,

函数),=JL图象关于原点对称，

X

；Q4=OB,

连接OC,过力作力上心轴于E,过C作CPQ轴于E

是等边三角形，

••JO1OC,

••.ZJOC=90。，^ACO=30°,

山OE+NCO/=90。，

设。力=x,PPJAC=2x,OC=百x,

•••力£山轴，CPJ_y轴，

:&EO=〃)FC=乙4OE+乙OAE=90°,

工乙COF=cOAE,

:.AAOEFOCF,

.S△gE(A0)2=(x)2=工，

^△OCF℃x3

・•・顶点A在函数y=［图象的分支上，

X

•••S/U0£=N1

22

_3

•■•^AOCF=3SfOE=—

2

•••夷u在反比例函数v=K-(泛0)的图象上.

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二因=2s△℃"=2xS=3,

2

M=±3,

“VO,

:.k=-3,

14.【答案】(1)好冬；(2)-5<w<5；(3)■或a=」■.

5544

［解答］解：(1)v；；=av2-lax-4a,

•'­y=a(x2-2x)-4a=a(x-1)2-5a,

・••图象M有最低点，最低点到x轴距离为3,

•••40,

•••最低点到x轴距离为3,

-5。|=3,

•••5。=3,解得：=—；

a5

(2)当。=1时，

两个函数Mi、加2的表达式分别为：y=(x-1)2-5、y=-(x+1)2+5,

当-13彷0时，点力在函数图象此上，且当-1稣。时，函数y=-(x+1)2+5随着x的漕大而减小,

当工=-1时，y=-(-1+1)2+5=5,

同理可得：当x=0时，歹=4,

此时4<M<5；

当0V心4时，点4在图象M上，

,•・函数尸(x-1)2-5,的对称轴为x=l,

.♦.当x=l时，n最小为-5,

第14页(共22页)

当x=0时，y=（0-1）2-5=-4,

同理可得：当x=4时，歹=4,

;此时-53?",

综上所述，〃的取值范围为-59W5；

（3）•••点/\0的坐标分别为（-5,-1）,（4,-1),

•••直线〃。为y二-1,

当”>0时，如图：

函数j，=a”-2ar-4”（x>0）的顶点为（1,-

若尸。经过图象坏的顶点（1,-5a）,

则即“二工，

5

对于图象河2,有-看乂2得乂得=-1，

解得：x^-l-VlO,x=-l+V10（舍去），

X乙2

v-1Wlo>-5,

直线与图象的交点在点P的右侧，

M2

••・线段尸。与图象M恰有三个公共点，

由题意得：必与y轴交于（0，-4a）,

-5a<-1

-4a>-1

解得：1<a<1：

54

当aVO时，如图：

第15页（共22页）

%

图2

2

函数y=-as-2"+4a(A<0)的顶点为(-1,5a),

若尸。经过图象河2的顶点（7,5a）,

则5a=-I,即a=」，

5

对于图象M，-京春冬-1时，

解得：x^l+710*X=1-V1O（舍去），

1乙?

V1W10>4,

.•・直线P0与图象的交点在点。的左侧，

••・此时线段PQ与图象〃只有一个公共点，不符合题意;

若线段00过此与y轴的交点时，有4〃=-1,

解得：a=」，

4

对于图象一^-x-**~x+l=~l,

解得：x=4或-2（舍去），

•••0（4,-1）,

••・此时线段P。与图象M有三个交点，符合题意，

综上所述，当线段P0与图象M恰有三个公共点时，。的取值范围为

544

15.【答案】（1）见解析;

（2）见解析；

（3）75°.

【解答】（I）证明：为正方形，

.•.△8/10=90。，

•:点E为DF中点、,

：.AE=EF=DE=XDF,

2

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:•乙EAD=^EDA；

(2)证明：•••四边形/出。。是正方形，

:.AB=CD,乙B4D=4DC=9。。,

■:乙E/iD=^EDA,

•:乙BAE=LBAD-LEAD,Z.CDE=Z-ADC-乙EDA,

••Z-BAE=Z-CDEi

在△/E8和△Z)£C中，

rAB=CD

'/BAE;NCDE，

AE=DE

:AAEB三ADEC(SAS)；

(3)解：••△AEBSDEC,

：.EB=EC,

•：EB=BC,

：.EB=BC=EC,

・•・△4C£是等边三角形，

:2EBC=600,

.•.乙ABE=90。-60°=30°,

•••EB=BC=AR,

工乙BAE=L(180°-30°)=75°,

2

义：AE=EF,

:.AAFD=^BAE=75°.

16,【答案】(1)2；(2)点。不在y=Ax+b的图象上；(3)2.

【解答】解：(1)把点8(3,2)代入解析式卜=米・4得：攵=2,

所以这个一次函数的解析式是y=2x-4；

(2)当x=Uf,y=2xL-4=-3#3,

22

•••点。不在y=b+6的图象上；

(3)令y=0,则x=2,

•••点C坐标为(2,0),

所以二角形OCR的面积为S^OCB=OB^OC=-Lx2x2=2.

22

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17.【答案】36.2米.

【解答】解：在RtZi"G中，tanzj/G=£

FG

:.FG=——典---=单=鱼G.

tan/AFGv33

在RtZX/lCG中，tanN/!CG=鲍，

CG

：.CG=————=V§4G.

tanNACG

又CG-EG=40,

即V§4G-®4G=40,

3

••JG=2(h/§,

:・AB=(20V3+1.6)=36.2米.

答：这幢教学楼的高度48为36.2米.

18•【答案】（1）要使顾客获得实惠，每箱售价是56元:

(2)20.

【解答】解：（1）设），与x之间的函数关系为y=b+b,

根据题意得:68k+b=40

67k+b=45

解得:k=-5

b=380

.,少与x之间的函数关系是：-5x+380,

由题意得:(x-40)(-5x4-380)=1600,

整理得：x2-H6.r+3360=0,

解得：xi=56,X2=60（不符合题意，舍去）,

答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元;

（2）在（I）的条件下，x=56时，y=10（）,

由题意得:1600x16=[56x(1-,„%)-40x(1-10%)bldOx(l+2w%)x15+7120,

第18页（共22页）

解得：叫=20,m2=-^■(不符合题意，舍去)，

答：加的值为20.

19.【答案】任务一：(I)工；(2)光路图见解答.

2

任务二：

x-6

任务三：(1)3；(2)图象见解答.

【解答】任务一：

(1)根据素材二可知!」=］，把代入得:

uvf

----1------+.1=—1•

1.5fvf

.R=".

•:ABMB,

.AB=BO一旦=1.5f=1

073f7,

故答案为：1.

2

(2)过点4作光轴的平行线交透镜MN于点C,连接CC、.4。并延长交于点X,过点"作"夕垂直光

轴于点B',4夕为蜡烛AB经过透镜MN所成的像，如图所示:

光轴

由素材二可知工」-二!，把“=x,/=6代入，则

UVfx-6

由任务一可知，研,~=—»把〃=4,i，=y代入，即&■=、■.

ABvyv

.4_x6

y6

整理得y=@.

x-6

故y与x的关系式为y=0

x