2024浙教版八年级下册数学期末复习：全册重点知识点讲义

浙教版（2024）八年级下册数学期末复习：全册重点知识点讲义

第一章三角形

1.1认识三角形

一、三角形的概念与表示

1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

2.表示方法：用符号表示，如^ABC（顶点字母顺序可任意调换，如SCB）。

3.基本兀素：

。边：组成三角形的三条线段（如AB、BC、AC）。

。顶点：相邻两边的公共端点（如A、B、C）。

。角：相邻两边组成的内角（简称三角形的角,如NA、NB、ZC）。

二、三角形的内角和与分类

1.内角和：三角形三个内角的和等于180。。

2.按内角分类：

。锐角三角形：三个内角都是锐角。

。直角三角形：有一个内角是直角（最大角为直角）。

。钝角三角形：有一个内角是钝角（最大角为钝角）。

。注意：一个三角形至少有两个锐角，至多有一个直角或钝角。

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3.按边分类:

。等腰三角形：有两条边相等。

。等边三角形（特殊等腰三角形）：三条边都相等。

。一般三角形（不等边三角形）：三条边都不相等。

三、三角形的三边关系

1.基本性质：

°任意两边之和大于第三边（如）。

a+b>cNa+c>bxb+c>a

°任意两边之差小于第三边（如、）

|a-b|<c|a-c|<bx|b-c|<a0

2.第三边取值范围：两边之差<第三边<两边之和。

3.易错点：判断三条线段能否构成三角形，只需比较最长线段与另外两条线段的和，若最长

线段<另外两条线段之和，则能构成。

四、三角形的重要线段

线段类型定义性质

三角形一个内角的平1.三条角平分线交于一点（内心），且在

角平分线分线与对边相交，顶三角形内部；<br/>2.角平分线上的点到

点与交点间的线段角两边的距离相等。

1.三条中线交于一点；<br/>2.一条中

连结三角形一个顶点线将三角形分成面积相等的两部分；

中线

与对边中点的线段<br/>3.中线分三角形所得两部分的周

长差等十另外两边的差的绝对值。

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线段类型定义性质

1.锐角二角形：二条高都在内部，交于内

从三角形一个顶点向

部一点；<br/>2.直角二角形：两条图与

对边所在直线作垂

高线（高）直角边重合,交于直角顶点；<br/>3.钝

线，顶点与垂足间的

角三角形：两条高在外部，一条在内部，

线段

二条局所在直线父于外部一点。

角平分线、中线、高

注意线均为线段，而非直

线或射线。

1.2定义与命题

一、定义

1.概念：能明确说明某一名称或术语意义的句子，叫做该名称或术语的定义。

2.特点：表述严密，无含糊词语（如〃大概〃"可能〃），属于陈述句。

二、命题

1.概念：判断某一件事情的句子叫做命题。

2.组成：由条件和结论两部分组成，可改写为“如果……那么……”的形式（"如果"后为条

件，"那么〃后为结论）。

3.分类：

。真命题：正确的命题（需通过推理验证）。

。假命题：不正确的命题（可通过举反例说明，反例需具备命题条件但不具备结论）。

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三、基本事实与定理

1.基本事实：长期实践公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据（无需证明）。

2.定理：用推理方法判断为正确的命题，可作为判断其他命题真假的依据。

1.3证明

一、证明的概念

1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，逐步推得结论成立的推理

过程。

2.常用方法：分析法（执果索因）、综合法（由因导其）o

二、三角形的外角

1.定义：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

2.随：

。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和（如/ACD=NA+NB）。

。三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

。三角形的外角和等于360°。

3.易错点：注意"不相邻”的限定，避免误将相邻内角计入和中。

1.4全等三角形

一、全等图形与全等三角形

1.全等图形：能够完全重合的两个图形，其形状和大小都相同。

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2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形。

3.对应元素：重合的顶点（对应顶点）、边（对应边）、角（对应角）。

4.表示方法：用0"表示，如388小8'（：’（对应顶点字母需对应）。

5.性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等（周长、面积也相等，但周长/面积相等的

三角形不一定全等）。

二、全等三角形的常见模型

•平移型：沿同一直线平移后重合。

•翻折型：沿公共边或直缰斤叠后重合。

•旋转型：绕某一点旋转后重合。

1.5三角形全等的判定

一、判定定理（5种）

判定方法条件适用场景

SSS（边边边）三边分别相等已知三边关系时

已知两边及夹角时（注意"夹

SAS（边角边）两边及具夹角分别相等

角〃不可替换为"对角〃）

ASA（角边角）两角及具夹边分别相等已知两角及夹边时

两角及其中一组等角的对

AAS（角角边）已知两角及非夹边时

边分别相等

HL（斜边、直角斜边和一条直角边分别相仅适用于直角二角形

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适用场景

二、判定思路

已知条件寻找条件选择判定方法

两角夹边或一组等角的对边ASA或AAS

一角及其对边任一角AAS

一角及其邻边角的另一邻边/边的另一邻角/边的对角SAS/ASA/AAS

两边夹角或另一边SAS或SSS

三、构造全等的常用方法

1.彳音长中线法：延长中线至f，构造全等三角形（适用于中线相关问题）。

2.截长补短法：截长（在长线段截取一段等于已知线段）、补短（延长短线段至等于已知线

段），适用于线段和差问题。

1.6线段垂直平分线的性质

一、概念

1.定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，简称中垂线（是直线，非线段/射线）。

二、性质定理

1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（如CD是AB的中垂线，则CA二CB、

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DA=DB）。

三、作法（尺规）

1.分别以A、B为圆心,大于AB长度一半的长为半径作弧，两弧交于C、D两点。

2.作直线CD,即为AB的亘直平分线。

1.7角平分线的性质

一、性质定理

1.角平分线上的点到角两边的距离相等（"距离〃指亘线段长度）。

2.应用条件：①点在角平分线上；②过点向角两边作亘线。

二、作法（尺规）

1.以角的顶点0为圆心，适当长为半径作弧，交OA、0B于D、E两点。

2.分别以D、E为圆心，大于;0E的长为半径作弧，两弧在角内部交于C点。

3.作射线0C,即为/AOB的平分线。

1.8轴对称图形

一、基本概念

1.轴对称图形:沿一条直线折叠后，直线两侧部分能够互相重合的图形，这条直线叫对称轴，

折叠后重合的点叫对称点。

2.轴对称：两个图形沿某条直线折叠后能够互相重合，这条直线叫对称轴（两个图形形状、

大小完全相同）°

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二、性质

1.对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。

2.轴对称图形的对应线段相等、对应角相等。

三、区别与联系

类轴对称轴对称图形

别

区针对两个图形的位置关系，只有一条对称轴针对一个图形的性质，

别至少有一条对称轴

联沿对称轴折叠后均重合;将成轴对称的两图形

系视为整体，即为轴对称图形

第二章特殊三角形

2.1等腰三角形的概念

一、基本概念

1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2.相关兀素：

。腰：相等的两条边（如AB、AC）。

。底边：第三条边（如BC）。

°顶角：两腰的夹角（如NA）0

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。底角：腰与底边的夹角（如NB、ZC）。

3.等边三角形：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形），有三条对称轴（三个内角平

分线所在直线）。

2.2等腰三角形的性质定理

一、核心性质

1.性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等（如AB=AC,则/B=/C）。

2.性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合

（需满足"底边〃条件，腰上的中线/高与顶角平分线不重合）。

二、等边三角形的性质

1.三个内角都等于60。。

2.每条边上的中线、高线、所对角的平分线互相重合（三线合一的推广）。

三、拓展性质

1.等腰三角形两腰上的中线、高线分别相等。

2.等腰三角形两底角的平分线相等。

3.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等。

4.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

2.3等腰三角形的判定定理

一.等腰三角形的判定

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1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2.判定定理（等角对等边）:有两个角相等的三角形是等腰三角形（如NB=NC,则AB=AC）。

二、等边三角形的判定

1.定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

2.判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

3.判定定理2:有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

三、易错点

1.区分”等边对等角〃（性质）与"等角对等边"（判定），避免混淆。

2.等腰三角形边长问题需分类讨论（已知边为腰或底边），且需满足三边关系。

2.4逆命题和逆定理

一、逆命题

1.概念：两个命题中，若第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第

二个命题的条件，则这两个命题互为逆命题（任1可命题都有逆命题，但真假性无关）。

2.写法：先确定原命题的条件和结论，再交换两者位置。

二、逆定理

1.概念：若一个定理的逆命题被证明为真命题，则这个逆命题就是原定理的逆定理，两者互

为逆定理。

三、线段垂直平分线性质定理的逆定理

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1.内容：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（可用于证明点在中垂线上）。

2.5直角三角形

一、概念与表示

1.定义：有一个角是直角的三角形，用符号"由△〃表示（如RfABC）。

2.相关兀素：

。斜边：直角所对的边（最长边，如AB）。

。直角边：夹直角的两条边（如AC、BC）。

二、性质定理

1.性质1：直角三角形的两个锐角互余（zA+zB=90°）。

2.性质2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一米如CD是斜边AB的中线则CD=1AB\

。拓展：斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形，且面积相等。

三、判定定理

1.定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

2.6探索勾股定理

一、勾股定理

1.内容：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。

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2.符号语言：若a、b为直角边，c为斜边，则a?+济=C2o

3.适用条件：仅适用于直角三角形，非直角三角形需构造直角三角形再应用。

二、勾股定理的逆定理

1.内容：若三角形的两边长的平方和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形（最

长边所对的角为直角）。

2.应用：用于判定直角三角形（从边长关系判断）。

三、常见应用

1.求直角三角形的边长（已知两边求第三边）。

2.解决立体图形中的最短路径问题（将立体图形侧面展开为平面图形，再用勾股定理）。

3.解决实际问题（如航海、测量、折叠问题）。

2.7直角三角形全等的判定

一、HL判定定理

1.内容:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记〃斜边、直角边〃或〃HL〃）。

2.适用范围：仅针对直角三角形。

3.直角三角形全等的所有方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（共5种）。

二、角平分线性质定理的逆定理

1.内容：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的三分线上（可用于证明角平分线）。

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核心考点总结（必背必掌握）

1.三角形的三边关系、内角和定理、外角性质（计算与证明高频考点）。

2.全等三角形的5种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及构造技巧（倍长中线、截

长补短）。

3.等腰三角形的，性质（等遨寸等角、三线合一）与判定（等角对等边）。

4.勾股定理及其逆定理（边长计算、直角三角形判定、最短路径问题）。

5.线段垂直平分线、角平分线的性质与逆定理（证明线段/角相等、点的位置关系）。

第3章一元一次不等式

3.1认识不等式

一、核心知识点

2.不等式的定义：用符号（或""）、（或"2"）、"工”连接而成的数学

式子，叫作不等式。

3.不等号：上述用于连接的符号统称不等号，包括。

4.用不等式表示不等关系:将问题中的数量关系用不等式（含不等号的数学式子）表示出来。

。在数轴上表示不等式：

不等式意义数轴表示要求

x>a大于a的全体实数方问问右，边界点a㈣仝心圆圈（不含a）

x<a小于a的全体实数方IRJIRJ左，边界点a回空心圆圈（不含a）

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不等式意义数轴表示要求

x>a大于或等于a的全体实数方向1日右，边界点a国实心圆点（含a）

x<a小于或等于a的全体头数方1可1可左，边界点a㈣头心圆点（含a）

b<x<a方向介于b和a之间，b、a均㈣仝心圆圈（不含b、

大于b且小于a的全体实数

(b<a)a）

b<x<a大于或等于b且小于或等于

月1可介于b和a之间,b、a均回头心圆点（含b、a）

(b<a)a的全体实数

b<x<a大于或等于b且小于a的全方向介于b和a之间，b㈣头心圆点（含b）,all）

(b<a)休实数空心圆圈（不含a）

b<x<a大于b且小十或等十a的全方向介于b和a之间，b画空心圆圈（不含b）,a画

(b<a)体实数实心圆点（含a）

二、关键方法与注意事项

。判断不等式的方法：式子中含"了"工‘"""工"之一即为不等式。

。数轴表示不等式的注意事项：

2.边界点：有等号（2、W）画实心圆点，无等号（＞、＜）画空心圆圈；

3.方向："大于（N）〃向右画，“小于（W）〃向左画。

3.2不等式的基本性质

一、核心知识点

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基内容符号表示（以a、b、C为实数）

木

性

质

性若a<b,b<c,则a<c（传递性）a<b,b<c一a<c

质1

性不等式的两边都加上（或减去）同一个a>b一a±c>b±c；a<

质2数,所得不等式仍成立b-a±c<b±c

性不等式的两边都乘（或除以）同一个正a>b>0—ac>bc（或

ab、iv-

质3数,所得不等式仍成立；＜br＞不等式的-c>-c）;<br>a>b£<0-

两边都乘（或除以）同一个负数，必须ac<be（或:<g）

改变不等号的方|可，所得不等式成立

二、关键注意事项

。必须对不等式两边同时进行变形，且变形的数是同一个数；

。两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变，否则不等式不成立。

3.3一元一次不等式及其解法

一、核心知识点

。一元一次不等式的定义：

。不等号两边都是整式；

4.只含有一个未知数;

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。未知数的最高次数是1;

。未知数的系数不等于0。

。一元一次不等式与一元一次方程的异同：

相同点（①两边为整式；②单未知数；③最

名称不同点

高次数1）

-7L-4%^用不等号连

是

式接

一元一次方程是用等号连接

2.不等式的解与解集：

。解：使不等式成立的未知数的值;

。解集：所有解的全体；

3.解不等式：求不等式解集的过程。

4.解一元一次不等式的一般步骤及依据、易错点：

步骤依据易错点

去分母不等式基本性质3漏乘不含分母的项

括号前是“，‘，去括号时部分项未变

去括号单项式乘多项式法则号

移项不等式基本性质2移项未改变符号

合并同类项合并同类项法则合并时出现符号错误

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步骤依据易错点

未知数系数为负数时，未改变不等号方

系数化为1不等式基本性质3

向

2.列一元一次不等式解决实际问题的步骤：

3.审题：找出数量关系（相等或不等）；

2.设元：设适当未知数（如"）；

3.列不等式：根据不等关系列不等式；

4.解不等式：求未知数取值范围；

。检验：验证取值范围的正确性与实际意义，得出答案。

二、关键注意事项

。列不等式时需准确理解关键词：〃超过"〃不足""大于〃"小于〃"至多"〃至少"等；

2.解不等式的步骤与解一寸次方程基本一致，核心区别在“系数化为r时的不等号方向

处理。

3.4一元一次不等式组

一、核心知识点

3.一元一次不等式组的定义：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式。

2.不等式组的解集:组成不等式组的各个不等式解集的公共部分（无公共部分则为"无解"）。

3.两元一次不等式组的解集四种基本情况（设Qvb）:

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不等式组解集口诀

rx>a

x>b同大取大

lx>b

[x<a

x<a同小取小

lx<b

fx>a

a<x<b大小小大中间找

lx<b

ex<a

lx>b无解大大小小无处找

2.解一元一次不等式组的步骤：

3.分别求出每个不等式的解集；

。将所有解集表示在同一数轴上，找出公共部分；

。写出不等式组的解集。

二、关键注意事项

。数轴是确定不等式组解集的重要工具，需规范表示边界点（实心/空心）和方向；

4.特殊情况：{j}:的解集为x=@；沈:无解。

Vx<aix<a

第4章图形与坐标

4.1平面直角坐标系+4.2用方向和距离确定物体的位置

一、核心知识点

2.有序数对：

3.定义：有顺序的两个数Q与b组成的数对，记作（a，b）；

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4.特点：顺序不可随意交换，（。小）与（b，a）表示不同位置；

5.作用：在一定范围内，有序数对与位置一一对应。

6.平面直角坐标系的三要素：

•两条互相垂直的数轴；

•有公共原点（。）；

•通常x轴（横轴）水平向右为正方向，湃由（纵轴）竖直向上为正方向，两轴单位长度

相同。

2.点的坐标：

3.定义：过平面内任一点M作MMi1x轴、MM21y轴，垂足％在x轴表示的数为横坐标

（x）,%在y轴表示的数为纵坐标（y）,有序实数对3y）为点M的坐标；

2.象限特征（x轴、y轴上的点不属于任何象限）：

象限坐标符号（x，y）

2.坐标轴上点的特征：

2.x轴上的点：纵坐标y=0（坐标形式（x，0））；

3.y轴上的点：横坐标％=0（坐标形式（0，y））0

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2.建立平面直角坐标系的步骤：

3.选原点：根据题意选取合适的点作为坐标原点；

2.定坐标轴：过原点作互相垂直的x轴（水平）和y轴（竖直）；

3.定单位长度：根据实际情况确定两轴的单位长度。

4.用方向和距离确定物体的位置：

2.要素：方向（方位角）和距离，二者缺一不可；

3.方法：选定参照物和固定方向，用一个方向（如北偏东30°）和一个距离（如30米）

表示物体位置。

二、拓展知识点

2.第一、三象限角平分线上的点：横坐标二纵坐标（％=y）；

3.第二、四象限角平分线上的点：横坐标+纵坐标=0（x+y=0）；

2.平行于坐标轴的线段上的点：

3.平行于x轴（垂直于y轴）：所有点纵坐标相等；

。平行于y轴（垂直于x轴）：所有点横坐标相等。

4.3坐标平面内图形的轴对称和平移

一、核心知识点

。关于坐标轴对称的点的坐标特征：

。关于%轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数（点（a，b）的对称点为（Q，-b））;

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关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数（点（。，力）的对称点为（-a，b））。

4.图形的轴对称变换：

2.沿x轴翻折：各对应点横坐标相同,纵坐标互为相反数；

3.沿y轴翻折：各对应点纵坐标相同，横坐标互为相反数。

2.点的平移规律（设平移距离为|因）：

平移方向坐标变化（点（a，b））

向左平移问个单位（a-|h|>b）

1可右平移|h|个单位（a+|h|，b）

向上平移|h|个单位（a，b+|h|）

向下平移|h|个单位（a，b-|h|）

3.图形的平移规律：

2.图形的平移实质是点的平移，需找准关键点的平移变化；

3.向左（右）平移㈤个单位：所有点横坐标减（加）|阳，纵坐标不变；

4.向上（下）平移㈤个单位：所有点纵坐标加（减）|力|,横坐标不变。

二、拓展知识点

5.关于坐标原点对称的点：横、纵坐标均互为相反数（点3匕）的对称点为（-。，-切）;

2.平移口诀：〃左右平移纵不变，向右加来向左减；上下平移横不变，向上加来向下减"。

第5章一次函数

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5.1常量与变量+5.2认识函数

一、核心知识点

3.常量与变量：

2.常量：在一个变化过程中，固定不变的量；

3.变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量；

4.相对性：同一量在不同变化过程中可能是常量或变量（如s="中,s固定时以t为变

量,u固定时s、t为变量）。

2.函数的概念：

3.定义：在某个变化过程中，有两个变量入y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一确

定的值与之对应，则y是%的函数，x是自变量；

2.函数表达式（函数式）：用等式表示函数与自变量关系的式子。

3.自变量与函数值：

2.自变量的取值范围：①使含自变量的式子有意义；②使实际问题有意义；

2.函数值：自变量％=Q（Q在取值范围内）时,对应的y的值。

2.函数的三种表示方法：

3.解析法：用函数表达式表示（如y=2%+1）;

。列表法：列出自变量取值与对应函数值的表格；

。图象法：在直角坐标系中，用所有对应点组成的图形表示。

2.函数的图象：

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3.定义：将自变量工的值作为横坐标,对应的函数y的值作为纵坐标，在坐标系中描点，

所有点组成的图形；

。作用：直观反映函数的性质和变化趋势。

二、关键方法

2.识别常量与变量：判断该量在变化过程中是否发生改变；

3.判断函数关系：①有两个变量；②一个变量的每一个确定值，另一个变量有唯一确定值对

应。

5.3一次函数的意义

一、核心知识点

2.一次函数与正比例函数的定义：

函数类型表达式关键条关系

件

一次函数y=kx+b（k、b为常k=0正比例函数是一次函数的特

数）殊形式(b=0)

正比例函y=kx（k为常数）kA0b=0,图象过原点

数

3.比例系数：正比例函数中的常数上

4.用待定系数法求一次函数表达式的步骤：

2.设：设表达式为y=kx+b(k^O),正比例函数设为y=kx(k0);

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