2025-2026年高二数学上学期期末模拟卷02（全解全析）（广东专用测试范围：人教A版选择性必修第一册~选择性必修第二册第四章）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷02

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修第一册〜选择性必修第二册第四章。

部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知等差数列｛%｝满足。2+/+%=6,则%等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质，可得答案.

【详解】因为%+为+/=%+%+%=3%=6,解得a7=2.

故选：B.

2.如图，空间四边形O/8C中，OA=a,OB=b,OC=c:,点M为8C中点，点N在侧棱上，且ON=2AM,

则加=（）

0

B

1rK、1_1rU

A.--a--b+-cB.--a^-b+-cC.-a——b——cD.—a+—b——c

232322322222

【答案】c

I/18

【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用刀=无丽=反瓦=1表示出砒.

【详解】

丽=砺+9+丽=罪-丽+宏=宏+-QB-OCyoT=-OA--OB--OC=-a--b-1.

2332322322

故选：C

3.若圆丁+/一2r-5=0与圆x2+/+2x—4y—4=0相交于力、B,则所在直线方程是()

A.4x-4"l=0B.4x-4j-1=0C.x+y-1=0D.x-y+\=0

【答案】A

【分析】将两圆方程作差，可得出直线48的方程.

【详解】因为圆V+V-2x-5=0与圆/+)J+2x-4y-4=0相交于力、B,

将这两圆方程作差可得4x-4j，+l=0,

因此，直线似的方程为4x-4y+l=0.

故选：A.

4.一动圆与圆C：(K+3)、J，2=4外切，同时与圆。:0-3)2+/=64内切，则该动圆圆心的轨迹方程为()

A.x2+y2=25B.—+—=l(x*-5)

2516v7

C.匕+二=1(尸5)D.—+^l=l(.r^-5)

2534v72534v7

【答案】B

【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用

动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于归。|,归。|和动圆半径/•的方程组，消去，•再利用椭圆的定义

写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍.

【详解】圆C的圆心为。(-3,0),半径为《二2,圆。的圆心为0(3,0),半径为弓二8,

因为|C£>|=6=8—2=&—*所以两圆相内切于点(一5,0),

设动圆的圆心为P(x,y),半径为SO),M|PC|=r+2,|PD|=8-r,

\PC\+\PD|=10>6=|CDI，

因此点尸的轨迹方程是以C,。为焦点,长轴长为10的椭圆(不含点(-5,0)),

所以该动圆的圆心的轨迹方程为二+匕=l(xH-5).

2516

故选：B

2/18

5.设抛物线/=2x的焦点为产，过抛物线上点。作其准线的垂线，设垂足为。，若NP0尸=30。，则|尸。|二

()

A.2B.正D,且

33CM2

【答案】A

【分析】由题意得NQFW=3（r,结合正切定义以及怩”|=1可得|。打，进•步即可求解.

【详解】如图所示:

M为准线与x轴的交点,

因为NR»=3O。，且归用=|P0|,所以/刊勾二30。,/0Q、120。,

因为EW//P0,所以/0足“=30,，

而师=需=军轲咚所以|。?|=孚,

所以吐1=1/切=1^LCOS30,=今乎=（.

故选：A.

6.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”,

其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数''的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个

球，再下一层6个球，…），现有1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为（）（参考公式:

C.19D.18

3/18

【答案】B

【分析】先根据三角锥垛每层球个数找出规律，然后写出第〃层球个数的通项公式，进而求出前〃项和，

代人得出结果.

【详解】解：由题意可知，当三角锥垛有〃层时，

该堆垛总共球的个数为q+%+/+―+*=)2+之吆+5+金”显

।〃2222

=小+2+3+...+沙(『+22+...+叫]=3嘤I"("+?(2"+[=可2]

经验证：当〃=20时，2叱u22=]540,当〃=21时，生竽"=1771,

66

故1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为20.

故选：B.

7.已知椭圆C：，+，=l(a>b>0)的左焦点为尸，左顶点为4,直线/过点尸，且与x轴垂直，交。于财，

N两点，已知△4WN的周长为6|/日，则椭圆。的离心率为()

A•:B.；C.yD.圣

【答案】B

【分析】根据条件求出|MN|,|M4|,M日，化简得到关于。和。的齐次式，求解即可.

【详解】

因为"MN的周长为6|力产所以|朋4+|42|+四时=6|4日,

4/18

将当移到等号右边，然后两边同时平方，化简得4/-4加=3"，

因为从=a?一，，所以4a2-4ae=3（a2-c2）,

即3c2-4ac+a2=0,因为离心率？=一,所以3/-4?+1=（）,

a

解得e=l或e=；,因为椭圆离心率的范围为（0』），所以e=g,

故椭圆C的离心率为；.

故选：B.

8.已知直线〃状-严为+1=0与圆C:（x+lY+（k2『=4相交于，％N两点，则丽.荻的最小值为（）

A.72B.2C.4D.2五

【答案】C

【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出宜线过定点尸（-2,1）,即可求出也用神，设MV的中点为。，则

COJ.MN,根据数量积的几何意义得到丽•砒二；师（，即可得解.

【详解】圆。:（工+1>+（k2）2=4的圆心为。（-1,2）,半径r=2,

苴线〃?x-y+2w+l=0,即（x+2）m+（l-歹）=0,令｛,解得《,

1-^=0[y=1

所以直线57+2m+1=0恒过点尸（-2/），又|尸[=++（1-2『=72,

所以当C尸工时，弦MN的长度取得最小值，即|“必^=2亚彳城=2折,

设MN的中点为。，则CO_LA/N,

所以丽.沆=阿•瓯卜os/CMN=.|师卜:柄|>*9^）=4.

故选：C

5/18

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求•全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”，公差为d,己知叫＜0,%+6＞0,则下列说法正确的是()

A.S.的最小值为S?B.满足S”＞。的最小〃值是14

C.满足S〃＜0的最大〃值是14D.数列产的最小项为第8项

【答案】ABD

［详解］由％＜。,%+叫可知叫

对于选项A：由…,％为负，。8，。9,…为正可知，S?最小，A正确.

时「•选项B：几=("受出=13%(0,凡=(%+?44=7(3+4)C,

则满足S,〉。的最小值为14,满足S“＜0的最大〃值是13,故B正确，C错误.

对于选项D：由%。2,…，。7为负，48M9,…为正，且…,凡为负，凡品,…为正可知:

邑、邑，…，&■为负.考虑到国〉网“〉|品|,同＜|。9k…＜|@|,故怦最大，即邑最小，正确.

6生。13|旬外

故选：ABD

10.已知直线/：x+y+l=0,点尸为。M：(x—l『+(_y—2)2=2上一点，则()

A.直线/与。M相肉

B.点P到直线/距离的最小宜为2a-1

C.与。M关于直线/对称的圆的方程为(x+3f+(y+2)2=2

D.平行于/且与。M相切的两条宜线方程为2x+2y+l=0即2x+2y-5=0

【答案】AC

【详解】。M：(x-l)2+(y-2)2=2,圆心M(l,2),半径厂=应，

圆心M(l,2)到直线/：x+y+l=0的距离为：空1=2加＞',

“一+卜

所以直线/与。时相离，故A正确；

点P到宜线/距禽的最小值为d-r=2及-及=&，故B错误；

6/18

设圆心M（1,2）关于直线I对称点为N（XQQ）,

,解得N（-3,-2）,

则与（DA1关于直线/对称的圆的方程为（x+3『+（尸2>=2,故©正确;

设平行卜/且与相切的直线方程为“+夕+。=0,

则八=,解得。=一1或。=一5,

VI2+12

平行于/且与。〃相切的两条直线方程为X+J-1=O和x+y-5=0,故D错误.

故选：AC.

11.已知动点P在抛物线/=16x上，过点P向x轴作垂线段，垂线段的中点的轨迹为曲线C44是曲线C

上的两点，则（）

A.曲线。的方程为j，二4工

B.若±3.方=-2，则直线48过定点（2,0）

C.若直线过点尸（L0）,点力的纵坐标为1,则H尸|二；

D.若直线力6过点*1,0）,连接。4。8分别交直线工=一1点Q,E,则。EF

【答案】CD

【详解】对于A,设垂线段的中点。坐标为口,力（工工0）,则尸的坐标为（x,2y）,

又点P在抛物线/=I6x上，故（2y『=16x,即/=4x,

所以曲线C的方程为/=4x（xW。），故A错误;

对于B,设力8的直线方程为x=W+〃，力（不,必）,88,外），

x=卬+〃,

联立方程｛2x，可得_/一4疗一4〃=0所以y\+y=4f，MM=-4〃，

y~=4x2

7/18

22

又y；=4x,,y]=4.r2,所以16x)x-=()\y2),所以xxx2=n,

2

又OAOB=xtx2+yiy2=n-4n=-2,所以〃=2土拒，

即直线48过定点（2±应,0b故B错误:

对于C,直线48过点b（1,0）,由抛物线方程可得b（1,0）为抛物线的焦点，

因为点力的纵坐标为1,所以点/的横坐标为x=[,所以|力用=：+1=*,故C正确;

对于D,设48的直线方程为4=夕+1,4（菁,乂）,8（/,为），

x=ty+]

联立方程〈，，可得/一4如一4=0,所以乂+必=4/,乂%=T，

y~=4x

又疗=4须，y}=4X2,所以16X1X.=(必必＞,所以xrv2=1,

令）=一1,可得。（一1,一"）,凤一1,-"），的=（-2,-"）,而（―2,一马，

X]X2X[Xy

所以布♦匠=4+五区=4+F=0,所以。尸EF,故D正确.

X,x2I

故选：CD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知点〃到尸。,0）的距离比〃的横坐标大1,点M的轨迹方程为/।/8x2yli6=0,fnij|PA/|+|PF|

最小时，△PM尸的面积为.

【答案】y

【详解】设尸（x,y）,则府可彳『+1,平方整理得V=4x（满足xN-1）,

故P在抛物线/=4x上，焦点厂（1,0）,准线方程为工=-1,

8/18

过户作准线的垂线，交准线于。，P尸1=1尸。|,

M的轨迹方程为圆/+「一口—2y+16=0,整理得(xi)?=1,圆心为仪4,1),半径为r=l,

过£作准线的垂线,交准线于E'(-lJ),则1aM+|叩=仍叫+|尸°闫阳-广+|尸@之|用1-1=5-1=4,

当P,A7,E,£'共线时取等号，则此时4=加=1,与=；,%=维-1=3,故S”w=；xlx(3-;卜

13.如图所示，在平行六面体中，jB=NDAB=W，ZA]AD=^,AB=AD=AAl=2t

向量的拆分，_tt

D^i=—AD^=/A♦—（"；♦AD）=前--—53

又_,由此可得,

AS>AA[=A3•而=2x2xes：=2而-All=2x2xcos^=2^

9/18

==4^14-4-2-4+2^2=3+272

,\|D(£|=1+V2.

故答案为：1+及

14.己知数列｛4｝前〃项和为S”，满足4=1,(〃+2)S”=〃%M，则数列、;一告一百『的前〃项和

为.

【答案】

qq

【详解】由已知得(〃+2)E,=〃1=〃(S“「S3%=S=1,所以2(〃+1)5.=，0…即七=2・^,所以

n+in

数列1区］是首项为县=1,公比为2的等比数列，所以'=1x2-,即S,,=〃X2"T,

/=S“-SI=〃X2"T-GL1)X2”-2=(〃+1)X2"”(〃N2),经检验，〃=1时也满足，故

%=(“+1)x2"2(〃eN)

a”_(〃+1)X2”2_[2(〃+2)―(〃+3)卜2:2-12n~2

，所以数列《

’(〃+2>(〃+3)(/?+2)-(/?+3)Q+2)G+3)〃+3n+2

3M司的前

in121_

〃项和为-----F-+—+-

I64j456-

故答案为：—---.

〃+36

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)己知圆C经过点力(2,1),8(0,7),并且圆心C在y轴上.

(1)求圆。的方程；

(2)记过点8的直线/与圆。的另一个交点为点。，当△48。的面积为4时，求直线/的方程.

【答案】(1)/+(；；-1)2=4：(2)x=0或x+y+l=0.

【详解】(1)方法一：因为4(2,1),8(0,-1),则3=1,且48的中点为(1,0),

WJAB的垂直平分线的方程为y=-(x-l)=-x+1,

因为圆心。在y上，令x=0,得y=l,

即点C(O,l),又r=|力。|=2,所以圆。:/+(尸1)2=4.

方法二:设圆心C(O力),圆C羟过点4(2.1),5(0.-1).

10/18

所以3C『=|8C『，即22+(1—与2=3+1)2,解得〃=1,

即点。（0,1）,又「=|4c|=2,所以圆。:/+（k1）2=4.

（2）当直线/的斜率不存在时，此时/的方程为x=0,

令x=0,得（y-l）2=4,所以y=3或T,即。（0,3）,此时忸。|=4,

而点力（2,1）到/的距高为2,△4?。的面积为:x2x4=4满足要求，

所以/:x=0满足要求：

当直线/的斜率存在时，设为4,则直线/的方程为丁=履-1.

点4（2/）到I的距离力=芈驾，圆心。（0,1）到直线/的距离为2

Jl+左-Jl+如

所以忸斗21后=瞿

1..,14kl21^-11,

所以=不囚。•"=T-i'/:=4,化简得K+1=%“一A,解得k=-1，

所以直线/的方程为尸-x-1,即x+y+l=0,

综上,直线/的方程为x=0或x+y+i=0.

16.（15分）记S.为等比数列的前〃项和，已知S.=4向T.

⑴求也｝的通项公式：

〃为奇数，

⑵设b,尸]〃为偶数，求数列也｝的前20项和七.

log；”.logy#'

【答案】（1）4=2"，

⑵4=*。+；.

11/18

【详解】（1）由题意有：当〃之2时，勺=S4-S”_]=见+]-1-（q-1）=%+1-%,

所以=2%（〃>2）,所以等比数列几｝的公比q=2.

当〃=1时，由S“=4+]-l有，％=生一1=2%-1,解得/=1.

所以4=q0i=lx2"T=2"T.

所以4=2”T.

n

（2）由题意得，当为〃奇数时，bn=an=2~\

11_]J_、

当〃偶数时,,,-l,,+l

log2«nlog2a/l+2log22-log22[-1)Q+1)2I[-1w+l>

ih-41011

所以4+A+&+…+&9=2。+22+24+-+218=x；4/=拊。_]),

的Wq=G+4+…+“20=(4+4+4+…+6)4(优+A+4+…+生)4(4'"4)V3⑷。V

叨以JZ1J/

17.（15分）已知四棱锥尸—Z8CZ）的底面“8。。是直角梯形，AD/IBC,ABA.BC,BC=2AD=2,AB=B

上为CO的中点，PB1AE.

P

（1）证明：平面尸8。L平面44c。；

⑵若PB=PZ）,PC与平面相C。所成的角为J试问在侧面PCD内是否存在一点N,使得5N1平面PCD?

4

若存在，求出点N到直线PO的距离：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）半

【详解】（1）由四边形48C。是电角梯形，AB=5BC=2AD=2,AB1.BC,

可每。C=2,NBCD.,从而△BCD是等边三角形，BD=2,BD平分/4DC.

•••£为C。的中点，:.DE=AD=\,:.BDA.AE,

12/18

又•：PB工AE,PBcBD=B,5Qu平面PB。，PBu平面PBD

.•.EE_L平面尸3。，力Eu平面力BCD,

所以平面PBD_L平面"CD.

(2)在平面P8O内作尸014。于O,连接OC,平面尸8。，

XvAEu平面ABCD,二平面PBD_L平面ABCD.

因为平而尸8。0平面力8。。=8。.0Ou平面PA力..•./¥)_L平面力次?。

Z.PCO为PC与平面48co所成的角，则Z.PCO=£,

4

二口题意得OP=OC=K•:PB=PD，POA.BD,；.0为BD的中点,：.OC1BD.

以。8,oc,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则8(1,0,0),C(0,A/3,0),0(-1,0,0),P(0,0,^),

假设在侧面PCD内存在点N，使得8N平面PCD成立,

设丽=4尸石+〃记0,/i+〃KI),

由题意得N[-葭百〃，-+〃-D)，

丽二1一1,6〃,一6(/1+〃—1)),PC=(0,A-V3),PD=(-l,0,-x/3),

网.正二04j3〃+3(2+,-1)=0

'1而.而=0(zl+l+3(zl+//-l)=0'

解得4=:，〃=],满足题意，..•必一,单,乎],o,o),

JJJJJJ

取力=丽=*乎，乎，而=(-1，0,-⑹，河="一1)2+(一可=2,

13/18

12/赤_,

au=-x---X--=-1,

5I252

求出点、N到直线PD的距离为：标-（展02=

所以N点直线心的距离为绍

18.（17分）设椭圆£+炉=1（〃〉〃＞0）的离心率为巫，过点4（0.1）且斜率为左的直线/与x轴相交于点A,

a~43

与椭圆相交于点C,。两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若而=次，求〃的值：

（3）若圆心在椭圆上，半径为］的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点O作椭圆的“卫星圆”的两条切线,

分别交椭圆于民尸两点，试问国2+|。/7『是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.

【答案】（1）三+二=1

124

（2）上=土李

（3）1。图2+|。用2是定值，定值为16.

22

【详解】（I）椭圆；■+二=1（。＞方＞0）,其中力=2.

a4

离心率e=£（c为半焦距），且e=*,又‘二二/一/，g|Jc2=fl2_4

a3

由e，=也可得c=£,将其代入/=可一心得到（£）2=44.

4333

即了=/-4,解得々2=12.

所以椭圆的方程为二十炉■二1.

124

（2）过点40,1）且斜率为左的直线/方程为＞=履+1.

令y=o,可得x=-g,所以例_，o）.

KK

设C（X”M）,0（/,为），将歹=去+1代入椭圆方程二+己=1,得到《+史土匚=1.

124124

化简得（1+35）/+6去一9=0.

14/18

由韦达定理可得』+”一,

因为8c=。4，所以(演+：,必)=(一工2，1-乃)，即X]+X2=-g.

6kI

所以一丁¥k二—；，两边同时乘以左(1+35)得-6公=-(1+3/).

1+3Kk

即一6兴=一1一3*,解得々=土且.

3

(3)由(1)知”26,则“卫星圆"半径,•=6.

二+己=1上，所以尤+或=|,即

设“卫星圆”方程为*-〃7)2+(y-〃)2=3,因为圆心(〃?,〃)在椭圆

124124

w2+3n2=12.

Itm-〃/T

设切线方程为y=K由圆心到切线的距离等于半径可得=<3

整理得（W2-3）产一2〃〃“+〃2-3=0.

设切线OE,O/的斜率分别为JG，则乙+々=/々，巾,=之3.

W-3-m~-3

将y二仆代入椭圆方程二十仁=1得(1+3片)/=12,则其=吾7，久=鲁7,所以

1241+也1+3Z)

|阳2=.$+区J2(l+«)

11£Z£1+3彳

同理|。用2=]。：勺

1+3/；

2mnn1-3,、，

因为(十b=2，八八=^—，加’+3〃2=12，

'w-3、-nr-3

所以|m2+|。「”空匕©+2=|24+汝+岁+(¥)。+3书

1+3片l+3f；(l+3/：)(l+3g)

=1?x2+4（7+幻--（8-6化》也一[2x

2

1+3（/1+/2）-（6-9/1/2）//2

277/4+12/〃'+6〃4十8〃?'〃'-12〃'

m4+\2nr+9/74+6m2n2-36，尸+36

2（12-3吗?+12（12-3叫+6/+8[2-3/J）r-i2n2

=12x

422

（12-3/丫+12（12-3〃2-9〃+612—3/）7-36n+36

432-96〃」6

=12x

324-72/r

所以|Of『+10用2是定值16

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19.(17分)若递地数列｛4｝的后一项与其前一项的差大于l(〃wN*),则称这个数列为“超1数列”.

(1)已知数列4,4〃?,〃r+4是“超