2025北京市八年级数学期末分类专练：轴对称（原卷版）

2025.1北京市八年级期末数学分类一一轴对称

一.角平分线的性质（共1小题）

1.（2024秋•平谷区期末）如图，△48C中，NZ8C和N4C8的平分线交于点。，过点。作8c的平行线

交于点、E,交AC于点、F.

①EF=BE+CF；

②点。到三边的距离相等：

③当N84C=60°时，NBDC=2/BAC；

④若如升力尸=机，点。到力C的距离为〃，^iS^AEF=^mn-.

上述结论正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

二.线段垂直平分线的性质（共1小题）

2.（2024秋•通州区期末）如图，在△48。中，4C=4,线段46的垂直平分线分别交48,4c于点。,E,

若8£=3,则EC的长为.

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三.等腰三角形的性质（共13小题）

3.（2024秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，△48C为等腰三角形，AB=AC.轴,

若力（2,5）,8（-1,1）,则点C的坐标为（）

A.（2,3）B.（3,1）C.（5,1）D.（1,5）

4.（2024秋•门头沟区期末）如果等腰三角形的三边长分别是x,2,6,那么x的值是（）

A.2B.6C.2或6D.4或8

5.（2024秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xQy中，点4的坐标为（・2,0）,点8的坐标为（0,2旧）,

点C在y轴上.若△/BC为等腰三角形时，N49c=30。，则点C的坐标为（）

y，

5-

4-

3-

2-

IIIJ1II[II»

-5-4-3-2-1O12345x

-1-

-2-

-3-

—4-

-5-

A.(0,-2V3),(0,—),(0,2V3-4)

B.(0,-2V3),(0,空),(0,4+2V3)

C.(0,-2V3),(0,竽)，(0,学)

D.(0,-2V3),(0,1),(0,4-2V3)

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6.（2024秋•海淀区期末）如图，在△力8c中，AB=AC,。是8C的中点，/B=70：则NC4。的大小

为（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

7.（2024秋•丰台区期末）等腰三角形的一个内角为50°,则它的一个底角的度数为（）

A.80°B.65°C.50°或80°D.50°或65°

8.（2024秋•昌平区期末）如果等腰三角形的一个内角是80°,那么这个等腰三角形的顶角度数

是.

9.（2024秋•昌平区期末）如图，在△力8C中，AB=AC,已知力〃=10,的垂直平分线交48于点。，

交/C于点应△8CE的周长等于16,则8c的长为.

1（）.（2024秋♦房山区期末）如果等腰三角形的两边长分别是3c〃?和7°〃，那么它的周长为cm.

II.（2024秋•门头沟区期末）如图，在△力4c中，QE垂直平分力4,垂足为。，交BC于点、E,连接力£如

果4E=4C,NB=25°,那么/C的度数是.

12.（2024秋•怀柔区期末）已知等腰三角形的周长为21,其中一边的长为5,则底边的长为.

13.（2024秋•石景山区期末）在△ABC中，AB=AC,NA4C=10（）°,D在BC边上,且△力2。是等腰三

角形，则N力08的度数为.

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14.（2024秋•怀柔区期末）如图，在△XBC中，ZA=30a,AB=BC,OE垂直平分48,交AC于点E,

求NEBC的度数.

15.（2024秋•平谷区期末）定义：点尸是△XB。内部的一点，若经过点尸和△48C中的-一个顶点的直线

把△48C平分成两个面积相等的图形，则称点。是△川弘?关于这个顶点的均分点.例如图1中，点P

是△N8C'关于顶点A的均分点.

（1）下列图形中，点。一定是关于顶点〃的均分点的是；（填序号）

q心〜匕②/9eCBE

（2）在△48C中，BC=2,48=4。且力8>8C,点尸是△幺8C关于顶点力的均分点，且BP=/，直

接写出N4PC的度数；

（3）如图2,在△45C中,ZBJC=90o,8C=10,点夕是关于顶点/的均分点，直线力产与

BC交于点D,当时,BP=4,

①补全图形：

②;求CP的长.、

A

BC

B/S,=S2。

图1图2

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四.等腰三角形的判定（共1小题）

16.（2024秋•大兴区期末）如图，NZ=36°,/DBC=36：ZC=72°,则图中等腰三角形有（)

五.等边三角形的判定与性质（共1小题）

17.（2024秋•通州区期末）如图，△/AC为等边三角形，BD平分NABC交AC于点、D,DE//BC^,AB

于点£.求证：AE=^AB.

六.含30度角的直角三角形（共1小题）

18.（2024秋•丰台区期末）如图.在△48c中，Z5=90°,ZC=30°,QE垂直平分力C.如果QE=2,

那么BC的长为（）

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七.作图一复杂作图（共6小题）

19.（2024秋•房山区期末）下面是小玉同学设计的“作等腰三侑形底边上的高”的尺规作图过程.

己知：△川中，AB=AC.

求作：8C边上的高力G.

作法：如图.

①以点力为圆心，适当长为半径作弧，与AB,4C分别交于点O,E；

②分别以。，£为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于△48C内一点长

③作射线力凡与8c交于点G.

所以线段AG就是所求作的线段.

根据小玉设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面证明：

证明：连接。尸，EF,

在户与△力月产中，

AD=AE

0

\AF=AF

:•丛ADFQAAEF.

：.ZDAF=Z.

又.：AB=AC.

・・・/G是的高（）（填推理依据）.

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20.（2024秋•海淀区期末）如图,在RtZ\48C中.ZACB=W,求作线段力8的中点。.小明发现作线

段8c的垂直平分线/交48于点。，点。即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作点。（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：连接。C.

•门垂直平分8C,

；・DC=（）（填推理依据）.

：・4B=/DCB.

VZJC5=90°,

-N4=90°,NQC4+4CO=90°.

:.=ZACD.

：.DA=DC.

：,DA=DB.

・・・点。为线段43的中点.

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21.（2024秋•门头沟区期末）下面是小明设计的尺规作图过程:

已知：如图，4ABC.

求作：ZCDA,使点。在8c上，且

作法：①分别以点力和点8为圆心，大于18的长为半径作弧，两弧相交于“，N两点;

②作直线MN,交BC于点、D：

③连接

所以NCD4为所求.

根据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接4W,BM,AN,BN.

'：AM=BM>AN=BN,

・••点M,N均在线段/出的垂直平分线上.

即：直线是线段的垂直平分线.

•・•点。在直线MN上，

：.AD=（）（填推理的依据）.

：,/DAB=/ABC（）（填推理的依据）.

ZCDA=ZDAB+ZABC,

：.ZCDA=2ZABC,

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22.（2024秋•石景山区期末）已知：如图，△48C中，BC>AB>AC.

求作：点P，使得点P在8C边上且N加（=2/8.

作法：①作线段14的垂直平分线，交BC于点、P,交AB于点、0：②连接/P.点尸即为所求作的点.

（I）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：

（2）完成下面的证明.

证明：・"。是"的垂直平分线，

：.PA=®（②）（填推理的依据）.

AZ5=®（0）（填推理的依据）.

又「N4PC=NB+NP4B,

/.NAPC=2NB.

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23.（2024秋•顺义区期末）数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形.

小华说：如图1，任意作一个过点B作N48C的平分线BD,在射线BD上任取一点G（与点8

不重合），过点6作4。的垂线分别交历1,8。于点£,F,这样得到的△8针为等腰三角形.

（2）受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2,任意作一个/POO,过点。作NPOQ

的平分线OH，在射线OH上任取一点K（与点。不重合），过点K作直线.WV分别交OP,。。于点也,

N,使得KM=KM这样得到的△OMN为等腰三角形.小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全证

明过程.

如图3,延长OK到点T,使得KT=OK,连接NT.

在△KOM和中，

KO=KT

（）

=KN

:,AKOMm丛KTN.

：.OM=NTk）；（填推理依据）

/KOM=/T.

YOT平分/MON,

JNKOM=ZKON.

:.NO=NT（；（填推理依据）.

乂'：OM=NT,

：,OM=ON.

•••△OMN为等腰三角形.

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24.（2024秋•延庆区期末）如图，△ZB。是等边三角形，。是48上一点，过点。作8C的平行线交4C

于点E.

（1）依题意补全图形；

（2）判断的形状，并证明.

八.作图一应用与设计作图（共3小题）

25.（2024秋•西城区期末）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条。P,QH组成，两根木条在点0

处相连并可绕点。转动，另有长度与0S相等的两根木条MS、M7\其中木条MS的一端5固定在木条

QP上的相应位置.，木条MS可绕点S转动、分别调整点股和点7在相应轨道槽中的位置可改变NPQR

的大小.若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好滴足Sr=SM,则此时/刀切?

____O

D

26.（2024秋•房山区期末）2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋

斗，深化之年.然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”

的问题.某小区物业公司采取如下措施：如图1，在小区内道路/旁设立“公共晾晒点”。，安装“共

享晾衣架”，使得道路/附近的两栋住宅楼48到“公共晾晒点”O的距离相等.

图1图2

（I）在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点。的位置;

（2）确定点。位置的依据为

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27.（2024秋•通州区期末）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形.

已知：在△48C中，N4c8=90°.

求作：线段CQ,使得线段将△/4C分割成两个等腰三角形.

下面是小明设计的尺规作图的作法：

①作直角边力C的垂直平分线与斜边44相交于点。；

②连接CD.

则线段。。为所求.

（1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）:

（2）完成下面的证明.

证明：•・•直线是线段力。的垂直平分线，点Q在直线上，

：.DC=DA.（）（填推理的依据）

，N=N.

VZACB=90°,

；・NBCD=90°-.

N8=90°-ZJ.

：.ZBCD=ZB.

：.DC=DB.（）（填推理的依据）

：.ADCB和△QC4都是等腰三角形.

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九.轴对称图形（共13小题）

28.（2024秋•昌平区期末）《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳

字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意.二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与

如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量.下列图案中，不是轴

对称图形的是（）

B.

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31.（2024秋•大兴区期末）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪甲骨文出现，经历了金文、篆书、

隶书、草书、楷书、行书的书体演变过程，每种书体都有着各自鲜明的艺术特征.下面篆书属于轴对称

图形的是（）

32.（2024秋•门头沟区期末）下列是2024年巴黎奥运会运动项目的图标，其中是轴对称图形的是（）

33.（2024秋•延庆区期末）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）

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36.（2024秋•怀柔区期末）2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（The33rdSummerOlympicGames）

在法国巴黎举办.运动会共设有32个大项，329个小项，共有206个国家和地区参赛，并且本届奥运

会新增了滑板、冲浪、竞技攀岩和霹雳舞四个大项.卜面是巳黎奥运会一些项目图标，其中是轴对称图

37.（2024秋•平谷区期末）下列是几种著名的数学曲线，其中是轴对称图形的有（）个.

笛卡尔心形线科赫曲线

C.3D.4

38.（2024秋•海淀区期末）在我国传统的祥瑞纹样中、云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生

动，灵性，精神以及样瑞的载体和象征.下列四个云纹纹样中，是轴对称图形的是（）

c,6^)

39.（2024秋•丰台区期末）“二十四节气”是中国古代农耕文化的产物，己被列入联合国教科文组织人类

非物质文化遗产代表作名录.下面这四个节气印章图案分别是春分、夏至、秋分、冬至，其中是轴对称

图形的是（）

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40.（2023秋•怀柔区期末）第19届亚运会于10月8日在杭州闭幕.我国体育健儿在本届亚运会上奋力拼

搏，以201枚金牌遥遥领先，圆满谢幕.下列体育运动图案中是轴对称图形的是（）

十.关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）

41.（2023秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（3,4）与点。关于），轴对称，则点。的坐

标为.

十一.作图-轴对称变换（共4小题）

42.（2024秋•朝阳区期末）如图，△ZBC的三个顶点的坐标分别为4（-1,3）,8（-3,1）,C（-5,

4）.

（1）画出△48。关于x轴对称的图形△由8Ci，其中点4B,C的对称点分别为小，B.,G，直接

写出点/h，。的坐标；

（2）在歹轴上找一点。，使40+8。的值最小，在图中画出点。（保留必要的画图痕迹）.

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43.（2024秋•东城区期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，AABC的三个顶点都在格点上（用

无刻度的直尺画图）.

（I）画出△48C的中线

（2）作出△48。关于直线/对称的△小

（3）在直线/上找到一点。，使QB+QC的值最小.

44.（2024秋•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，。的顶点坐标分别是力（-1,3）,

4（-3,-2）,C（1,1）.直线/过点C且平行于y轴.

（1）在图中画出△.4AC关于直线/对称的△.4i8Ci，（其中点4B,C的对称点分别是点Bi，Ci）：

（2）点4的坐标是,点、Bi的坐标是:

（3）如果b）为平面直角坐标系xOy中任意一点，那么点时关于直线/的对称点W的坐标是

（,）（结果用含。，力的式子表示）.

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45.（2023秋•怀柔区期末）如图所示，在平面宜角坐标系中，△48C的顶点坐标为力（-3,2）、8（-1,

1)、C(-2,3).

（1）若将。向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的

（2）画出△小81。关于x轴对称的图形△出82C2.

（3）若点例的坐标为（〃，£）,将点股向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点

,再将点关于x轴对称，得到点A/2，则点M?的坐标为

十二.利用轴对称设计图案（共1小题）

46.（2024秋•通州区期末）2024年7月27日，第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中

国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》.下面是北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中

轴线标志设计赛道”中的其中四个设计图案，其中不是轴对称图形的是（）

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十三.轴对称-最短路线问题（共6小题）

47.（2024秋•丰台区期末）如图，要在一条笔直的路边/上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P,。铺

设燃气管道.在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形4BC。），燃气管道不能穿过该区域.下列四

种铺设管道路径的方案：

方案1：方案2：方案3：方案4：

过点夕作尸E_L/于点E,连连接QC并延长交/于点作点尸关于/的对称点作点。关于/的对称点2,

接EC,CQ,则铺设管道路凡连接尸凡则铺设管P',连接产C交/于点连接。'P交/于点，，连接

径是PE-EC-CQ.道路径是PF-FQ.G,连接PG,C。，则HC,CQ,则铺设管道路径

铺设管道路径是PG-是PH-HC-CQ.

GC-CQ.

其中铺设管道路径最短的方案是（)

AD

生态.Q

保护区

P.

13C

A.方案1B.方案2C.方案3D.方案4

48.（2024秋•大兴区期末）如图，在△48。中，点。在8C边上，CD=5,AD=\3,直线E尸是4C的垂

直平分线，点M是直线E/上一动点，则△CDW周长的最小值为.