2025年高考数学三轮复习冲刺卷：平面向量的分解（含解析）

高考数学三轮冲刺卷：平面向量的分解

一、选择题（共20小题；）

1.已知四边形48C。是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点4C）,则标=（）

A.A（AB+AD）,AG（0,1）B.X（AB+BC）,A6（0,y）

C./l（漏-而），AG（0,1）D.A（JB-FC）,AG（0,y）

2.如图，在△ABC中，AD.BE,C"分别是边BC,CA,48上的中线，它们交于点G,则卜.列各

等式中不正确的是（）

3.已知矩形48CD中，AE=\AB,若而=d,而=月，则而=（）

4.如图，在△力BC中，已知前=2尻，则彳5=（）

5.己知△A8c和点M满足拓？+而+祝=6.若存在实数m使得通+前=7几宿成立，则

m二（）

A.2B.3C.4D.5

6.在△力BC中，BD=DC,AP=2PD,BP=XAB4-fiAC,则/I+〃等于（）

A.--B.-C.--D.-

3322

7.已知关于”的方程6/+嬴+3=%其中落g,5都是非零向量，且a,族不共线，则该方程

的解的情况是（）

A.至少有一个解B.至多有一个解

C.至多有两个解D.可能有无数个解

8.如图，原点。是A/IBC内一点，顶点A在久轴上，Z.AOB=150°,480。=90°,\0A\=2,

\OB\=1,\OC\=3,若沆+〃而，则?等于（）

A

A.-yB.yC.-V3D.x/3

9.在A/IBC中，点G满足出+而+泥=6.若存在点。，使得而=；就，旦面=m而+

6

nOC,则771—71等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

10.如图，在中，丽=1芯P是BN上的一点,若而=小而+^■宿则实数m的值为

（）

N

D.—

11.如图所示，在A/IBC中，点。是8c的中点;，过点。的直线分别交48,4C所在直线于不同的

两点M,N,若肉=m而?，AC=nAN,则m+九的值为（）

12.如图，在Rt△力BC中，/.ABC=pAC=2AB,乙8力C的平分线交△/8C的外接圆于点0,设

AB=a,AC=b,则向量而等于（）

C.G+转D.a+^b

13.如图所示，在△ABC中，8C=30,点。在8c边上，点£在线段4）上，若在+：而,

62

则8。等于（）

19.已知|褊|=1,|明|二万，雨•砺=0,点C在乙408内，且〃OC=30。，设近=m函+

nOB（m,nER）,则巴等于（）

n

A.1B.3C.YD.V3

20.设Q>b>c>0,则2a2+盛+忌都-10ac+25c2的最小值是（）

A.2B.4C.2V5D.5

二、填空题(共5小题；)

21.若向量a=(1,-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是.

22.如图，已知AABC的面枳为14cm2,D,E分别为边AH,8c上的点，且力。:=8E:EC=

2:1,CD与AE交于点、P,连接8P,则△NPC的面积为.

23.已知|瓦5|=1,|而|=V3,OA-OB=0,点C在4B上，且/-AOC=30°.设赤=+

nOB,则m+九=.

24.已知△4BC,点P是平面上任意一点，且而=/1彳§+〃前Q,〃€R),给出以下命题：

①若'=缁p"=意，则P为△ABC的内心；

②若4=〃=1,则直线4P经过△4BC的重心；

③若;1+〃=1,且〃>0,则点P在线段BC上；

④若4+则点P在外；

⑤若+则点P在AABC内.

其中真命题为.

25.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若而=》而+、元，则％=

三、解答题（共5小题；）

26.如图，710,BE,CF是△718C的三条中线，CA=a,CB=b.用d,b表示而，而，BE,

CF.

27.已知四边形A8CD是平行四边形，AC=a,BD=bt试用G,3表示南，BC.

28.在A48C内有一点。，满足瓦？+羽+近=1E为BC边的中点，AD=-AB,设彳至二心

4

AC=b,以五，族为基底，试求下列向量表达式：

⑴福

(2)DE.

29.如图，已知在梯形力BCD中，AB//CD,AB=2CD,E,F分别是DC,48的中点，设而=五,

AB=b.

(1)试用｛a,b｝为基底表示反，EF,FC.

(2)若取8c的中点G,则布=

(3)若Er的中点为“，试表示出丽.

3().如图，在△/8C中，AQ=QC,AR=^AB,8Q与CR相交于点/,4的延长线与边BC交于

点P.

(1)用而和前分别表示BQ和而；

(2)如果浦=而+入旗=北+〃而，求实数4和〃的值;

(3)确定点P在边8c上的位置.

答案

1.A【解析】根据平行四边形法则，AP=AAC=A(AD+XB),A6(0,1).

2.C【解析】因为AD,BE,CF分别是边BC,CA,八8上的中线，它们交于点G,

所以点G是△48C的重心.

选项A：因为点G是a/lBC的重心，所以8G=|8£,因此丽=彳而，所以本选项正确；

选项B：因为710是边BC上的中线，所以说+m=2而，乂因为点G是的重心，所以有

AG=-AD=>AD=-AG,因此通+n=3m，所以本选项正确；

32

选项C：因为点G是△71BC的重心，所以71G=2OG,因此而=g褊=一^刀，所以本选项不正确;

选项D：因为40是边BC上的中线，点G是△/BC的重心，所以有EJ+而=2不=葡=>瓦+

GB+GC=6,因此本选项正确.

故选：C.

3.B【解析】因为HE=白48,AD=a,AB=b,

3

所以在=而+亘云=丽+马丽=-AD--AB=-a-'-b.

333

4.C【解析】

AD=AB+BD

一2一

=AB-V-BC

=A6+1-AB)

1一2_

=/B+/C.

5.B

【解析】由福+丽+前=6知，点M为△48C的重心，设。为边BC的中点，则丽=|同=

：乂：(而+冠)=3(而+m)，所以有而+m=3祠，故m=3.

6.A【解析】因为丽二坑，AP=2PD,

所以而=L彳E+二尼=?而，

222

所以彳？=；而+；於，

所以丽=而一而二一三荏+△元，

33

因为前=4而+〃彳？，

所以义=一1〃=%

所以％+〃=一；.

•5

7.B【解析】由平面向量基本定理可得，c=Aa+y.b{X，n€R),

则方程ax2+bx+c=0可变为ax2+菽+Ad+〃族=G,

即(A+x2)a+(〃+x)S=0,

A+X2=0,

因为G,族不共线，所以

〃+x=0,

可知方程组可能无解，也可能有一个解.

所以方程ax2+bx+c=0至多有一个解.

8.D【解析】由题意知AR,。），B1f—~2~）r

因为沆=707+〃砺，由向量相等的坐标表示可得，

5.得

:二'即%原

2，

9.D【解析】因为万？+而+诧=6,

所以瓦？一而十砺一而+次-05=6,

所以0（?=［（西+而+沅）=*就=:（而一函）,

可得而=44号而，

所以一—,n=一一，

m=22m—n=-1.

1（）.B

【解析】注意到N,P,B三点共线,

因此而二m而+看配=e港+旨俞，从而m+撩=1,

所以m二5.

11.B【解析】方法一：连接4。，

则而函+徜=£而?+］加

因为M,0,N三点共线，

所以三十：1，

所以771+九=2.

方法二：连接4。（图略）.

由于。为8C的中点，故而=*南+而），

=A0-AM=^（AB+ACy\-^AB=+^AC,

同理，而=：荏+@-；）正.

由于向量丽，布共线，故存在实数A使得而=A而，

即（；_；）而+；近=.而+GV）近］.

由于彳5,正不共线，

故得:5=累且；布-沙

消掉九得（m-2）（n-2）=mn，

化简即得m+n=2.

12.C【解析1设圆的半径为r,在内△A8c中，^ABC=pAC=2AB,

所以ABAC=三，乙4c8=pLBAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,

所以乙4cB=乙BAD=Z.CAD=则根据圆的性质得BD=CD=AB,

6

又因为在内△ABC中，AB=^AC=r=0D,所以四边形480。为菱形，

所以标=而+彳0=五+

13.B

14.A

15.D

16.A【解析】由题意得，~DE=^~DA+^DC=^（DC+CA）i-^DC=DC-^AC=^AB-^AC.

17.A【解析】由题意可知：而=4彳5+4〃而，

其中8,P,。三点共线，

由三点必要条件可得：4+4〃=1,贝IJ：

泻=（泻）X（"+4"）=8+学+谷8+2杵=16,

当且仅当;1=：,时等号成立，即3+工的最小值为16.

2L8AH

故选A.

18.A

19.B

20.B

【解析】因为Q>b>c>0,所以

原式=a2+-74-.1-10ac4-25c24-a2

at/u\u-u)

=。2--+券+。匕+专+(”5c尸

=[03—匕)+康]+(帅+2)+伍一5c尸

>2+2+0

=4,

当且仅当a(a-/?)=Lab=1,a-5c=0时取等号，

即当。=或，仁,，c=白时，所求代数式的最小值为4.

21.(-1,2)

22.4

【解析】设通=落玩=族为一组基底,

则力£"二日+三比DC=-d+b.

33

因为点A，P,E与D,P,。分别共线,

所以存在a和”，使而=a荏=府+,4孔而=国=如+访

又因为前=AD+D?=《+］）五+

所以

|a=“.

解得

"%

所以S“AB=；SMBC=14x'=8(cm2).

所以SAP8c=14X(1—乡=2(cm2).

故S^APC=14-8-2=4(cm2).

23.1

【解析】提示：

因为|瓦?|=1,\OB\=\f3,OALOB,

所以4力=60°.又44。。=30°.

所以沅J.而，

所以｛AC\=支又|而|=2,

所以公=1而，

4

所以沆=耐+前=函+；（而-57）=1OA+［而.

24.②④

［解析］①AP=扁+京jAC,

其中扃珂=】，岛凋=】，

如图①所示，

图①

令德=矗福而二意宿

其中I而I=|X?|=1,

则四边形/8'PC为菱形.

则力P是4B4C的角平分线，

但P不一定为AABC的内心（内心应为三个角角平分线的交点），

因此①不正确；

②若A=n=1,

则如图②所示，四边形ABPC为平行四边形，

则BD=DC,

即AD为边BC中线，

因此直线4尸经过△/BC的重心（重心为三个中线交点），

因此②正确；

③若A=2,ju=-1»

则满足条件+〃=A>0,

如图③所示，此时点P没有在线段8c上,

因此③是假命题；

④若入与〃中有一个小于0,

则P一定在夕卜，

若2>0,〃>0且入+〃=1,

所以标=AAB+(1-A)AC,

根据三点在同一条直线上的判定原理可得P位于线段BC上，

因此若4+〃>1,

则P位于△力8c处，

因此④是真命题；

⑤若A=—1,〃=去

则P在△Z18C处，

⑤为假命题；

综上：②④是真命题.

25.1+苧,y

【解析】设斜边长为2.由已知，得而+而二无而+y公，

即丽=(%-1)超+屈……①，

在①的两端点乘宿化简得企・4=y•(四)?……②，

在①的两端点乘8C,化简得0=(%—1)V^.2.(-苧)+y.遮',2•号...③,

联立②③，解得“1+今y=?

26.AB=b-d,AD=-b-aBE=-a-b,CF=-d+-b.

2t222

27.AB=2-a--22b,B2C=-a+-b.

28.(I)因为E为8c边的中点，

由平行四边形法则，OB+OC=0F=20E,

由已知：函+而+沆=6得：OB+0C=-OA=AOt

所以而二2丽，故。为4E的三等分点，

所以丽彗荏二第(而+配))=/+笆；

DE=AE-AD

=/十用)_海

(2)=1(a+5)-；a

29.(1)因为。C〃/B,AB=2DC,E,F分别是DC,48的中点,

所以卮=彳5=6，

DC=AF=-AB=^b,

22

EF=ID+DA+AF

=一工一而+;而

22

iij*,ir

=--2x-2b-2a+-b

=-ibr-a.-

4

(2)-a2+-b4

【解析】BC=BA+AD+DC=-b+a+-b=a--b

22t

所以尼