2025年高中数学考点预测：回归分析与独立性检验（解析版）

第9讲回归分析与独立性检验

高考预测一：回归分析

1.如图是某地区2（）00年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.

投资额■

240

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量/的两个线性回归模

型.根据2000年至2016年的数据（时间变量『的值依次为1,2,…，17）建立模型①:

y=-30.4+13.5/；根据2010年至2016年的数据（时间变量f的值依次为1,2,…，7）建立模

型②：^=99+17.5/.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

【解析】解：（1）根据模型①：5=-30.4+13.5/,

计算1=19时,^=-30.4+13.5x19=226.1;

利用这个模型，求出该地区2（）18年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；

根据模型②：y=99+17.5/,

计算1=9时，y=99+17.5x9=256.5;

利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；

（2）模型②得到的预测值更可靠；

因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，

而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，

从2010年到2016年间递增的幅度较大些，

所以，利用模型②的预测值更可靠些.

2.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销

售量y（单位：。和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x,和年销售量=

2,…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.

XyH,，（玉-可Z(叱-沔2XU-xXx-y)Z（叱-力）（y-7）

J-Ir-1l-ll-l

46.65636.8289.81.61469108.8

表中吗=惠，记=：£叱・

O1=1

附：对于一蛆数据,（“2，v2）»...»（«„♦V.,）»其回归直线箕=2+处的斜率和截距的最

£（〃—）（匕-刃

小二乘估计分别为/=J---------，a=v-Pu.

万尸

i=\

（1）根据散点图判断尸反和尸C+d«哪一个适宜作为销售量），关于年宣传费工的回归方

程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于X的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与八y的关系为z=0.2y-x,根据（2）的结果回答下列问题:

①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少?

②午宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

，年

6(M)侑

传

年6（千兀）

”36384042444G如50325156

【解析】解：（1）由散点图可以判断，y=c+d4适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归

方程类型;

（2）令卬=4,先建立），关于印的线性回归方程，由于］=嘿=68,

c=y—而=563-68x6.8=100.6,

/.『关Fw的线性回归方程为y=l00.6+68vv»

因此y关于x的回归方程为y=100.6+68y/x；

（3）①由（2）知，当x=49时，年销售量），的预报值＞=100.6+68屈=576.6,

年利润z的预报值z=576.6x0.2-49=66.32;

②艰据（2）的结果可知，年利润z的预报值z=0.2（100.6+68石）-x=-x+13.6«+2（M2,

当&=坐=6.8时，即工=46.24时年利润的预报值最大.

2

3.长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入匕（百万元）和相应的销售额y（百

万元）进行了统计，其中i=l，2,3,4,5,对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些

统计量如下：

5

£（吗-沔（凹一刃EU,-x）2£（叫-w）2

Mf=lr=!;=!f=lr=l

6810.315.8-192.121.6020.463.56

其中叱=i=1，2,3,4,5.

（1）根据散点图判断，y=历+。与），=c/+d哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入玉的回

归方程类型？（给出判断即瓦，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立），关于x的回归方程，并据此估计月广告投

入200万元时的月销售额.

附：对于一1组数据,“），（％,也），…，①，匕,），其回归直线丫-。+的的斜率和截距的最

£（%一万）（匕一万）

小二乘估计分别为：3=4---------,a=v-pu.

力4-万尸

1-1

仰风wn万元

••,

2

I

月广告投入*ri万元

o---------------------------------------------------------►

0.5I1.52

【解析】解：（1）根据散点图可知，选择y=cf+"作为回归方程；

（2）令卬=f,则），=cw+d,

15I5

^=~XMr=206，5=42乂=3.16,

3j=l3i=l

如i）（一）Jm

—、

工<7（z明一卬）23.56

/=l

d=y-cw=3A6-0.45X2.06=2.233,

故回归方程为y=0.45.V2+2.233,

当月广告投入为200万元时，月销售额为5=0/5x22+2,233=4.033（百万元）.

答：选择y=c/+d作为回归方程，当月广告投入为200万元时，月销售额约403.3万元.

4.在党的十九大报告中，习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”；为响应总书记的号召，

某市旅游局计划共投入4千万元，对全市各旅区的环境进行综合治理，并且对各放游量区收益

的增加值作了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加

值，工作人员绘了下面的频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，横轴的数据丢失，但

可以确定横轴是从0开始计数的.

（I）频率分布直方图中各小长方形的宽度相等，求这个宽度；

（II）旅游局在投入4千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收量增加值的平均数为多少万

元（以各组的区间中点值代表该组的取值）

（Ill）若旅游局投入的不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据:

投入治理经费工（单位：千万元）1234567

收益的增加值），（单位：万元）232779

请将（II）的答案填入上表的空白栏，结果显示X与N之间存在线性相关关系.在优化环境的

同时，旅游局还计划使全市旅游景区收益的总额至少增加10万元，试估计旅游局应该对全市

旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？（答案精确到0.01）

附注：回归直线方程5，=石+力中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

Z(hx)(y.y)XRX际

3=4二---------=4--------，a=y-bx.

-欣2

r=li=l

频率

0.14........

0.12-------------------.

0.10----

0.08

0.061

002L....L............-----1

o-----------------------------*

收益的熠加值(万元)

【解析】解：(I)设各小长方形的宽度为机,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1

可得，

(0.08+01+0.14+0,17+004+0.02)•m=0.5/n=1,

解得〃z=2；.....(4分)

(H)由(I)知各小组依次是[0,2),[2,4）,[4,6）[6,8）,[8,10）,[10,12],

其中点分别为h3,5,7,9,11,对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04,

故可估计平均值为1x0.16+3x0.2+5x0.28+7x0.24+9x0.08+11x0.04=5;___(7分)

(Ill)空白栏中填5.

由题意可知，x=|x(l+2+3+4+5+64-7)=4,

y=lx(2+3+2+5+7+7+9)=5;(8分)

7

z=1x2+2x3+3x24-4x5+5x7+6x7+7x9=174♦

J=7l

z

x；=12+22+32+42+52+62+72=140;

i=l

根据公式可求得：

斗）'厂由174-7x4x5

=1.214,

力X；-苏一⑷-7x42

/-I

«=7-^=5-1.214x4^0.144；

所以回归直线方程为2=L214x+0.144；......................（10分）

当S，=L214x+O.144..1O时，X..8.I2;

即旅游局对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费..............（12分）

高考预测二：独立性检验

5.为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，8药）的疗效，某机构随机地选取2（）位患

者服用A药，20位患者服用8药，观察这4（）位患者的睡眠改善情况.这些患者服用一段时间

后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：力），以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如

图茎叶图：

4药B药

8730.45789

51.1223456789

9877654332002.167

52103.23

（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；

（2）求这40名患者日平均增加睡眠时间的中位数,〃，井将日平均增加睡眠时间超过,〃和不超

过,，〃的患者人数填入如表的列联表:

超过m不超过〃？

服用4药

服用B药

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为A,8两种药的疗效有差异？

仔.“2_n（ad-bc）2

(4+b)(c+d)(a+c){b+d)

Pg.k。)().010.0050.001

%6.6357.87910.828

【解析】解：（1）四个理由，任意一个均可，（答案不唯一）

①从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有《的叶集中在茎2和3上，而B药疗效的试

验结果有3的叶集中在茎0和1上，由此可看出A药的疗效更好.

4

②从茎叶图的分布情况可以看出，服用A药的患者日平均增加睡眠时间的平均数大于2,而服

用用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数小于2,因此可知4药的疗效更好.

③由茎叶图可知，服用A药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是必至=2.45〃，而服用8药

2

的患者日平均增加睡眠时间的中位数是比”=1.45〃，因此A药的疗效更好.

2

④由茎叶图可知，服用A药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎2上的最多，关于茎2大致呈

对祢分布；而服用4药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎I上的最多，关于茎I大致呈对称

分布；又患者在服用两种药后日平均增加睡眠时间分布的区间相同，故可以认为服用A药的患

者三平均增加睡眠时间比服用8药的患者日平均增加睡眠时间更多，因此A药的疗效更好.

（2）由茎叶图可知，40组数据的中位数为加=20,

因此列联表如下：

超过m不超过

服用A药146

服用8药515

(3)由于片=竺业至±/=照，8-2。＞6.635;

20x20x19x21133

所以有99%的把握认为A,8两种药的疗效有差异.

6.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个

网箱，测量各箱水产品的产量（单位：版），其频率分布直方图如图:

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50依，新养

殖法的箱产量不低于50依”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50口箱产量..50依

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.

附：

Pg..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(cul-be)2

(a+b)(c+d){a+c)(b+d)

【解析】解：（1）记从表示事件“旧养殖法的箱产量低于50口”，C表示事件“新养殖法的箱

产量不低于50版”,

由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),

则旧养殖法的箱产量低于50伙:(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)x5=0.62,

故P(B)的估计值0.62,

新养殖法的箱产量不低于50依：(0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66,

故Q（C）的估计值为,

则事件A的概率估计值为。(A)=P(B)P(C)=0.62x0.66=0.4092;

.•.A发生的概率为0.4092；

(2)2x2列联表：

箱产量<50依箱产量..50依总计

旧养殖法6238100

新养殖法3466100

总计96104200

则人畸鹏萨57。5,

ill15.705>6.635,

,有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;

(3)由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50依的直方图的面积:

(0.004+0.020+0.044)x5=0.34,

箱产量低于55版的直方图面积为：

(0.004+0.020+0.044+0.068)x5=0.68>0.5,

故新养殖法产量的中位数的估计值为：501经汕灯52.35(加)，

0.068

新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(依).

7.某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，

甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80,90)>[90,

100)>[100,110).[110,120)>[120,130),由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图:

（I）完成下而2x2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与

实施课题实验有关”吗？并说明理由;

成绩小于100分成绩不小于100合计

分

甲班a=12b=___50

乙班c=24d=2650

合计e=___r=一100

（H）现从乙班50人中任意抽取3人，记J表示抽到测试成绩在［100,120）的人数，求g的分

布列和数学期望E3

附：KRi器含i，其中…+2〃

P(KLk°)().15().1()0.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.2046.6357.87910.828

【解析】解：(I)由题意，4=0.024x10x50=12,〃=50-12=38,e=12+24=36,f=38+26=64,

…（2分）

/100x(24x38—26x12)2

K=--------------------------------------=6.25...(4分)

50x50x36x64

■「P(K?>5.204)=0.025,

二有97.5%的把握认为这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”…（6分）

（II）乙班测试成绩在［100,120）的有25人,J可取0,1,2,3,...（8分）

户…=等喂，—二等喂

等噫，一3=等喂

岁的分布列是

0123

P23757523

T%196T%196

（10分）

E入J=八0x23+1x75+2x7-5--F3x23=3-..../（1io2八Jj、）

1961961961962

8.某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系

统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并

用以估计所有学员对该学习平台的满意度.其中对教学成效满意率为0.9,课后跟踪辅导的满

意率为0.8,对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人.

（1）完成下面2x2列联表，并分析是否有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有

关.

人数对教学成效满对教学成效不满意合计

意

对课后跟踪辅导满意

对课后跟踪辅导不满

意

合计

（2）若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员

的续签率为90%,只对其中一项不满意的学员续签率为60%,对两项都不满意的续签率为

10%.从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数.

附：2x2列联表参考公式：K」=--------府---------,其中〃F+武—小

临界值:

P(K-ko)0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

【解析】解：（1）依题意有

人数对教学成效满对教学成效不满意合计

意

对课后跟踪辅导满意15010160

对课后跟踪辅导不满301040

意

合计18020200

算得-的观测值为F=受给蒜〜2.5>10,828

故有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.

（2）在2（X）人中对平台的双满意的续签人数为150x90%=135,

仅,项满意的续签人数为40x60%=24,都不满意的续签人数为10xl0%=l,

所以该平台的续签率为135+24+1=08,

200

从该学习平台中任选10名学员，该平台续签人数为8人.

9.某校高三数学竞赛初赛考求后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分

150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组［90,100）、第二组［100,110）...第六组［140,150］.图

（1）为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有

4人.

（I）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M;

90100