2026高考数学复习高效培优：极化恒等式、三角形“四心”和奔驰定理（解析版）

专题05极化恒等式、三角形“四心”和奔驰定理

目录

高频考情深点解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

*核心考点京统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

，聚焦题型幡用解密（5大题型精讲+变式拔高训练）

题型一三角形“四心”向量识别（Xf）

题型二极化恒等式求数量积（f）

题型三奔驰定理与面积比例（♦♦♦）

题型四“四心”与轨迹问题（♦—）

题型五综合应用（“四心”+奔驰定理+极化恒等式）（★★★）

.实战演练为致提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

高考平面向量的核心考查模块，分值占比5-12分，题型以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中作为

综合考点出现。

基础知识必备：需熟练掌握三类核心知识的基础内容：三角形“四心”（重心、内心、外心、垂心）

的专属向量特征，如重心的①f+用+沆=6、外心的|函|=|而|=|沆|等；极化恒等式的两种核心模式

（三角形模式而♦冠=|宿产_|丽|2、平行四边形模式五不=/伍+及2-0—&2］）:奔驰定理的基本

形式SAPBC・瓦？+SAPAC•而+SAP"•无=6及与“四心”的面积比关联（如内心对应面积比Q：5：c）。

2026高考预测：2026年考向将聚焦三大方向：一是“四心”向量识别的基础送分题，侧重向量表达式

与“四心”特征的直接匹配；二是极化恒等式的灵活应用，常结合三角形、圆、正六边形等几何图形，考查

数量积的快速计算；三是奔驰定理与面积比例的综合题，可能与三角函数、余弦定理结合，提升题H综合

性；此外，跨模块融合（如与解析几何、三角函数的结合）和新情境应用（如结合几何图形性质的创新设

问）将成为重要趋势，对知识迁移能力要求提升。

核心考点♦梳理

重难知识汇总：三角形“四心”的向量本质：

①重心是中线交点，核心向量关系为而=X瓦？+而+瓦）：

②内心是角平分线交点，对应边长加权向量和为零（aOA-^bOB+cOC=0）;

③外心是中乖线交点，关键特征是到顶点距离相等；

④垂心是高线交点，满足•而=0百・瓦=瓦・6?°

极化恒等式的适用场景：三角形中需紧扣“中点”条件，圆中可结合圆心与直径构造应用，平行四边形

中直接套用原始公式，核心是通过“和差对角线”或“中点线段”转化数量积。奔驰定理的核心关联：

向量系数比与对应三角形面积比完全等价，且可直接关联“四心”（如垂心对应面积比UmAtGibSTiC、

外心对应sm2Asin28:sE2C）,是解决面积比例问题的“万能工具”。

常用技巧方法：“四心”快速判断法：优先匹配向量核心特征（如看到6？+而+沅=6直接判定重心），

垂心可通过“点乘为零”验证垂直，内心关注“单位向量和”或“边长加权”。极化恒等式速用法:

遇数量积计算，先找线段中点，若无中点则构造中点，优先套用三角形模式，圆中可利用“圆心为直径中

点”简化运算。奔驰定理应用法：向量系数直接对应面积比，无需更杂推导，综合题中先通过奔驰定理转

化面积比，再结合余弦定理、三角函数求解角度或边长。数形结合辅助法：复杂问题可建立平面直角坐标

系，将向量关系转化为坐标运算，降低抽象性（如“四心”轨迹问题、极化恒等式与圆结合问题）。

易错避坑提效：

①混淆“四心”向量特征：外心的核心是“距离相等”，切勿与垂心的“数量积相等”混淆；内

心的向量表达式系数是边长，而非角度或其他比例。

②极化恒等式误用：忽略“中点”前提，直接套用公式；圆中应用时未注意“圆心为直径中点”的

隐含条件，导致计算错误。

③奔驰定理适用范闱：仅适用于点在三角形内部的情况，若点在外部，需注意面积比的符号变化，避

免直接套用系数比。

综合题逻辑断层：解决“四心+奔驰定理+极化恒等式”综合题时，未理清知识关联，如未利用

奔驰定理将向量系数转化为面积匕，导致后续计算无法推进，建议按“向量关系一面积比/四心判定一数

量积/角度计算”的逻辑推进。

4V聚焦题型,解密I.—j▼

题型一三角形“四心”向量识别

方法点拨：重心核心特征：血+万S+沅=6或而=：（方+而+而），直接匹配即可；外心核

心特征：到顶点距离相等（|瓦?|=\0B\=|0C|）,与向量数量积无关；垂心核心特征：OAOB=OB0C=

OC^OA,体现高线垂直性质；内心核心特征：边长加权向量和为零（a6J+b丽+c沆=6）,牢记“边

长对应系数”。

【典例01］（2025•四川遂宁•二模）若点。为VA8C的外心,且满足24OCA+CO/W=0,贝”sinC的最大

值为（）

A.yB.—C.@D.1

222

【答案】C

【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定

理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果.

【洋解】因为点。为V4BC的外心，

IIII

所以508A=-BA,BOBC=-BC\COCA=-CA,COCB=-Of,

2222

因为23OC4+COA3=23O（CB+8A）+CO（AC+C8）=0,

即28OCB+2BO8A+COAC+COC3=0，

即-BC+BA1--CA+-CB2=0,HR-a2+c2--b2+-a2=0,

2222

化简得C，2

22

可知02=/+从一2,力cosC=-a2+-b\化简得cosC=±土,

224ab

根据基本不等式可知cosC=4^£之也=1,当且仅当。=〃时取等号,

4ab4ab2

因为OVCVTC,—<cosC<1,所以OvC^Z,

23

所以sinC的最大值为sinE=走.

32

故选:C.

【典例02】（2025•河北张家口•一模）在平面直角坐标系中，4T0）,5（1,0）,。（如为），点F,“分别是

V/WC的外心和垂心，若则川的取值范围是()

2-2m

(1

A.(-co,0)B.(-1,0)C.YO,3D.(0,-KO)

k2_

【答案】A

【分析】根据直线方程求解的坐标，即可根据向量的坐标得％=：巴，且。=一阵。)(0十1)一普求

\-m2ya2

解.

【详解】由于4B关于原点对称，故尸在y轴上，

CU。,%),则8c中点为(然，券)易知"0.

因此直线BC的垂直平分线方程为y-^-=一午(x-

令付.则尸拶(怨港,故%中(怨鸿］

BC边上的高所在的直线方程为y=-Q(X+1),故"-芋5+1),

》okJ'oy

故尸"=10,_裔(%+1)_十(铝)_£)=[。，_^^(%+])_掾：

且0=一

分0L

由0=-3(：01)(%+1)+9可得3(4-1)=此，

2>oZ

由于%工0,因此北=3(4—1)>0,解得一lvx°vl,

故-1<匕?<1,解得〃7<0,

\-m

故选：A

【点睛】关键点点睛：根据直线的方程，结合外心和垂心的性质求解故尸。，土土粤

【y012yl2J

H!-(x0+i)

为

【变式01】（2025高三•全国•专题练习）己知点。是非等边VABC的外心，。是平面ABC内的一点且

miunimilluuur।.

OA^OB+OC=OP则P是VA5c的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

【答案】A

【分析】由点。是非等边VA4c的外心可得|OA|=|O却=|OC|,又因为平面内。满足次+潴+关'二法,

UliIRUUIU1UllULILIuuuilllUlltlULI

所以O4+OB=OP-OC=CP，设。为相中点，得到。。,4?,。4+03=20。=。。，从而得到"_1_人8,

C尸在48边的高线上.同理可得3P在AC边高线上，”在4c边高线上，故P为高线交点，即为垂心.

【详解】

因为点。是非等边VABC的外心，

所以|Q4|=|OB|=|OC|.

uuuuuUUUuuu

因为平面内P满足。4+OB+OC=OP，

uuUlUmumuuuu

所以04+OB=OP-OC=CQ.

设D为A8中点，则有

mitiiiumillmi

ODLAB,OA+OB=2OD=CP

所以CPJLAB，

所以C2在AB边的高线I：.

同理可得，8P在AC边高线上，AP在边高线上.

故点P是V/\〃C高线的交点，即为VABC的垂心.

故选:A.

【变式02】（2025•全国•二模）点0,P是△48C所在平面内两个不同的点，满足而=刀+而+灵，则直线

OP经过△48。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】A

【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.

【解答过程】设8C的中点为点。，所以9+OC=2OD.

则而一褊=彳7=2OD,

若4P,O,D四点共线时，即点O,P都在中线力D上，所以OP经过三角形的重心,

若A,P,O,。四点不共线时，AP//OD,HAP=2ODf连结/W,OP,交于点G,

如图,

即OP经过△48。的重心,

综上可知，OP经过△48C的重心.

故选:A.

［变式03］（2025・四川南充•三模）已知点口在4力BC所在平面内，若瓦？.（点j一篇）=丽.（蒜-箫）=0,

则点〃是△力8。的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得4P平分iBAC,BP平分4A8C,结合

三角形内心定义判断即得.

【解答过程】在UBC中,际嗡一缺=0,得诃瓷=两.瑞

即Q.1r万品,由丽嚅漓）=o,同理得丽.卧丽.翳

显然而即P与4不重合，否则COSN/48c=1,同理百户工在

则|而|cosz_P4C=\AP\cosz.PAB,即cos/Pi4c=cos4PAB,4PAC=乙PAB,

于是4P平分同理BP平分”8C,

所以点P是△48C的内心.

故选:D.

题型二极化恒等式求数量积

~~方法点拨：三角形模式（核心用法）：同•笈=|祠|2-|丽『，直接代入中点相关线段长度；平

行四边形模式：ab=^［（a+b）2-（a-b）2］,适用于平行四边形或可补成平行四边形的图形；圆中模式:

若P在圆上，C为圆心，可设P（%,y）,用坐标表示后结合极化恒等式，简化计算。

【典例01】（2025•天津和平三模）若正方形A8CZ）的边长为1,中心为O,过O作直线/与边40,BC分

别交于P,Q两点，点M满足=+厂OA（4wR）.（i）当4=］时，|0M卜一：（ii）PMQM

的最小值为一.

【答案】6-

816

【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律即可求解空1,利用向量的线性运算将问题转化为

PM-OMuOl-OP’，求解0P，的最大值，|。加「的最小值即可求解.

【详解】由于O4_LOB.则oLoa=o,

lew/（AnA1-AV分fl-AV2万（&丫（1-4丫（夜丫2万-2%+1

11U2）4I2）4（2J12乂2J8

（i）当九卷则L2xQ-2x（+1§,故阿邛，

1864

（ii）PMQM=（OM-OP）\OM-OQ）=OM2-OM（OP+OQ）+OPOQ,

由于OP.。。为相反向量，故OP+OQ=0,

所以尸MQM=OM2-OP'，

（［Y］

/t

由pA42_24224+］_1/>l+［，故当，=：时，10M2取最小值而，

而OP?的最大值为04=9，

因此当op2取最大值，|。加「取最小值时，PM-QM=QM'-Op2取最小值，故最小值为上二二二，

1116216

故答案为：正，二

816

【典例02］（24-25高三下•湖南•月考）已知AC为圆M的直径且AC=2,6为圆M上的动点且与A,。均

不重合，等边三角形38与VA3C共面且点A,。位于8C的异侧，则D4-QC的最大值为（）

A.gB.1C.2D.3

【答案】D

【分析】先把O/VQC转化成：。/-1，再求|1阳的最大值即可.

【详解】如图：

因为MA+MC=0,

所以0人.℃=（0"+用人）.（。用+知0=（0知+/必力（0知一^4）=0.2MA=|MD|2-1.

取8c中点N,则|MD|=|M?V|+|ZW|，

因为0＜忸。＜2,所以设忸C=2cosa,

则=Jl-cos%=sina,\DN\=^-x2cosa=VJcoscr,

所以|MZ)|=sina+V5cosa=2sine+怖)，a€0,yl

当。=三时，|仞。=2为最大值.

6

此时D4-OC=4-1=3为最大值.

故选：D

【变式01】（2025高三・全国・专题练习）已知正六边形ABCQ砂的边长为4,圆。的圆心为该正六边形的

中心，圆。的半径为2,圆0的直径MN〃C。，点P在正六边形的边上运动，则尸M.PN的最小值为（）

【答案】D

【分析】根据PM-PN=PO2_4,结合正六边形的性质求解|夕。|的范围即可.

【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，△043,△08C,,,OCD,-ODE,&0EF,&0E4均是

当点。位于正六边形A5co"'的顶点时，,。|取最大值4,

当点?为正六边形各边的中点时，|尸。|取最小值，即poL,=4sin]=2W,

所以卜0|e[2G,41

所以7）加.乃17=仍0+。河）俨0+0%）=（尸0+0加）仍0-。"）=尸02—448,12],

即PM，N的最小值为8.

故选：D

3

【变式02]（2024.天津河西.模拟预测）在梯形ABCO中，AB//CD,AD=\,AB=3,CD=1,ACAB=~,

点加满足AM=gA8,则/84。=；若8。与CM相交于点4N为线段4c延长线上的动点，则

NP-NB的最小值为.

【答案】9/120。*

336

【分析】利用人。•人〃=（人力+。0•"可得到N84O大小，根据梯形上下底平行可得线段比例关系，取PB

中点O，利用向星数星积可得NPN8=M?2-O82,通过求NO的最小值即可得到结果.

【详解】

N

由ACA8=m得，(4O+OC)A8=AOAB+/)(>AA=lx3xcosNR4/)+1x3=5，

I77t

解得cos/84O=——，故NBAD=j

23

设AC交8。于点Q,由题意得，AM=1,BM=2.

在△A8O中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2ABADcosZBAD=l+9-2xlx3x(-ij=l3,故

BD=9.

由⑦〃山得，黑啜4条制,所以DP=；DB,DQ=：DB・

取P8中点0,连接NO,则。8=1。8=巫，DO=¥DB,

333

所以OQ=OO-OQ=]OB-1OB=；^O8,故段二段.

3412DQ3

1a

因为NP.NB=(NO+OP){NO+OB)=(NO-OB){NO+OB)=NO?-OB?=NO?-5

所以当NO最小时，NP・NB有最小值，NO的最小值为点0到直线4c的距离.

由可。专得，加心=,乂因为4)=0所以.、4第为等边三角形，故点。到直线忙的距离为争

由盥二^得点。到直线AC的距离为由？2—，即70於=更，

DQ3236m,n6

此时(网21323

NPNB)=

，min~T~V36

2兀23

故答案为：y；荻

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向审综合问题，解决问题的关键是利用平面向晟的极化恒等式公式得

到NP・N8=NO2—O8"问题转化为求线段NO长的最小值，分析几何图形即可得到结果.

【变式03](24-25高三上•上海浦东新•期中)在VABC中，A=90°,AB=4,4。=46，P,Q是平面

上的动点，4P=4Q=PQ=2,M是边BC上的一点，则M尸•丽的最小值为.

【答案】2

【分析】根据向量运算可得MP'IMOMN?-T，结合图形分析卜阳的最小值即可得结果.

【详解】取PQ的中点M则MP=MN+NP，MQ=MN+NQ=MN-NP

可得MP.MQ=(MN+NP)•(MN—NP)=MN2-NP'=MN2-l,

•・[MM=|M4+4NRMHAM|,当且仅当N在线段八例上时，等号成立，

故\MN\>||MA|-|A/V||=||M/1|-四，

显然当时，|则取到最个值26，

\^N\>,小一6同26一6卜石，

mmuuruuir、

故例PMQ=MN、123-1=2・

故答案为：2.

题型三奔驰定理与面积比例

方法点拨:

1.奔驰定理核心：S^PBC-PA+ShPAC-PB+PC=0,向量系数比=对应面积比；四心与奔

驰定理关联：

2.重心：面积比1:1:1,向量和为零；内心：面积比a:b:c,对应边长加权向量和为零；外心：面积

比sin2A:sin2B:sin2C；

3.垂心：面积比tanA:tanB:tanC；快速计算：直接提取向量系数作为面积比，总面积=各部分面积

之和，简化比例运算。

【典例01](2025高三•全国•专题练习)已知点O是VA8C内一点，2QA+3O8+4OC=0，则

•°AOBC_・

【答案】4:3:2

【分析】通过已知的向量关系得出三角形重心，再利用重心性质得到不同三角形面积的比例关系，最后根

据向量倍数与二角形面积的关系.求出目标二角形面积的比例.

【详解】令QV=2OA,OB'=3OB，OC=4OC，所以O为▲A万。的重心，则:S^OBC=

因为S八O*B'=6sAQAB,»S&0B，C=12s△℃,所以以0人8:S&OAC:^^OBC=4:3:2.

故答案为：4:3:2

【典例()2】(24-25高三上•黑龙江齐齐哈尔•月考)“奔驰定理''因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面

向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是V48C内一点，△BMC,_AMC,-AM8的面积

分别为丛，SR,S「且S-M4+S屋M8+Sc・MC=().若M为V4BC的垂心，3M4+4MB+5MC=0，则

C-TD-T

【答案】B

【解析】

如图，延长AM交3C于点Q,延长8M交4c于点r，延长CM交AB于点£

由例为V/WC的垂心，3M4+4M4+5MC=0，且冬・M4+S8M8+Sc•MC=O,

45

得枭：S/Sc=3:4:5,所以品=?S…SC=§SA，

又S"=SA+SH+S一则千=4,同理可得事=3,所以黑=4,整=3,

3八、BMDMF

设MD=x,MF=yt则AM=3x,BM=2y,

所以cos/ZM/O-X-cos^AMF-y,即3/=2/,±=旦,

2y3xy3

所以cos/BMD=—=—,

2y6

所以cos/AMB=cos（7t-ZBMD）=-cosZBMD=一手•故选：B.

【变式01】（2025高三下•全国・专题练习）如图，已知。是VABC的垂心，且。4+2OB+30c=0，则

tanZ.BAC'.tailZABC:tanZACB等于（）

B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

【答案】A

【分析】延长C。，BO,A。分别交边48,AC,BC于点P,M,N,利川同底的两个三角形面积比推

得tanNZMC:tan乙钻C:NAC8=S砂：S.0c:S.阳,从而得解.

【详解】。是VABC的垂心，延长CO,BO,AO分别交边AB，AC,BC于点、P,M,N,如图,

则。_LA8,BM1AC>ANIBC./BOP=NBAC,ZAOP=ZABC,

oOCBPBPOPtanZBOPtanZBAC

।卜(火=上_______=___=___________=________

''1“4P”OPlanZAOPlan/ABC'

V/IUV—C/C,/\r

一?

同如，S7K密oe=-t-a-n-/-8--4-c-

S*\°BtanZACB'

于是得tanNZMC:tanZAZ?C:tanNACZ?—SBOC:SAOC:SAOB,

又O4+2OA+3OC=()

由“奔驰定理”有S的Q8+S八.。太二。

即SBOC:SAOC:SAOB=1:2:3,所以tanNBAC:tanZABC:tanZACB=1:2:3,

故选：A

【变式02］（2025高三・全国•专题练习）设点。在V4BC内部，且QA+2O8+3OC=0，则VABC与△AOC

的面积之比是.

【答案】3

【分析】根据条件，确定。点的位置，再求两三角形的面积之比.

【详解】如图：

由。A+2OB+30c=0,

得伊+OC)+2(OB+OC)=(),

从而20。+40M=0（。为AC佗中点，M为8c的中点），

即OD=2MO,

所以O为中位线/加的三等分点.

故答案为：3

【变式03］（23-24高三下•广东广州•二调）（多选）“奔驰定理物其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平

面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它

的具体内容是：已知M是VA8C内一点，△8MC,AMC,的面积分别为3,S1,&,且

SAMA+SRMB+SC-MC=O.以下命题正确的有（）

A.若SA：S8：SC=1：1：1,则M为二AMC的重心

B.若M为VA8C的内心，则8cM4+ACMB+48MC=0

C.若N8AC=45。，ZA3C=60°,M为VABC的外心，则S八：:S0=G:2:1

D.若用为VA3C的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos/AMB=-巫

【答案】ABD

【解析】对A选项，因为Sa：S8：Sc=l：l：l,所以MA+MB+MC=0，

取的中点。，则MA+MC=2M7），所以2Mo=—M4，

故A,M,D三点共线，且|M4|二2|M。，

同理，取AA中点E,AC中点尸，可得3,M,产三点共线，C,W，石三点共线,

所以M为\ABC的重心.A正确：

对B选项，若A/为V46C的内心，可设内切圆半径为

则S=-ACr,S=-ABr,

22B2c

i—I-1-------

所以一BC「M4+-ACrMB+-ABr-MC=O,

222

即3CM4+ACM8+48MC=0，B正确：

对C选项，若NBAC=45。，ZABC=60°,M为VA4c的外心，则NAC8=75。，

设V4BC的外接圆半径为/?•故N8WC=2N84C=90。，ZAMC=2ZABC=\20°,

ZAMB=2ZACB=150°，

2222

故5.=(川风90。=1*,S„=l/esinl20°=^/?,Sc=l/?sin15O°=l/?,

22H2424

对D选项，若M为VABC的垂心，3MA+4MA+5MC=0,

则SA：S/SC=3:4:5,

如图，ADIBC,CEJ.AB,BFJ.AC,相交于点M,

乂3A8C=S八+Slf+Sc,

工=a」

即AM:MO=3:1,

S.sc124

S41

T-5B-=7T=T,即A//：8M=1:2,

'ABC")

,scA

=,BPME:MC=5:7,

S.sc12

设“£)-〃？，MF-n,METi,则AM—3/〃，BM-2n,MC-lt,

因为NOU)=NCBF,sinZCAD=—,sinZCBF=—,

3m2n

所以r=F，即相=也〃，

3m2n3

x/6r

”八in3〃瓜,则cos/.AMB=COS(TT-Z.BMD)=----»D正确；

cosZBMD=—=——=——、)6

2n2n6

故选：ABD.

题型四“四心”与轨迹问题

方法点拨:先化简向量式:提取同=”向量表达式），聚焦乔的方向特征;垂心轨迹判断:若丽.BC=

0（EP4P0BC）,则轨迹过垂心,可通过点乘前验证;重心轨迹判断:若"与史线共线（如四=AiAB+m）），

则轨迹过重心；内心轨迹判断：若而与角平分线共线（如近=明弱+强；）），则轨迹过内心

【典例01］（2025•河南•模拟预测）（多选）在△OA8中，若。4=（1-6,1+6）。3=（1,1）,点。在边04上,

点。在边A8上，且BCQ4=0，OD=A,则（）

\\OA\\OB\）

A.|AB|=#B.AAOB=-C.18cl=1D.|0。|=也

63

【答案】AD

【分析】本题考查平面向量的运算性质，对于A,先将八6表示为OB-04,求A8的坐标，再求出其模长;

对于B,先利用向量数量积的坐标表示求出8S/4O3,再求出,AOB；

对FC,由8C-OA=0，得8C为边OA上的高，再由等面积法求出|BC|；

/•、

对于D，由。。=4乌-+人巴得到。£＞平分NAO8,即/8。。==，又O8AB=0，所以O8_LA8,

（|。4|\OB\）6

\OR\

最后利用1=-n求出|OD|即可.

cos—

6

【详解】对于A,IABH0B-0川=|（班,一6）|=6，故A正确；

对FB,因为cos/AOB=°A0B=/所以4优加二个，故B错误；

\OA\\OB\V8xx/223

对TC,因为8c04=0，所以6C为边。4上的高，/\。48的面积为S=；|0A||08|sinNA08=；xMx

1

>/2sini=>/3,所以|8。|=至=峥，故C错误；

3\OA\2

/\

对干D，因为。。二%—+—，所以0。平分N493,即

（|。4|\OB\）6

sm_J0例_2指

又。氏AB=0,所以O8_LAB,所以1°"尸一n=~故D正确.

cos-~

6

故选：AD.

【典例021（2025高三・全国・专题练习）已知点。夕均在VA8C所在平面内，以下所有正确说法的序号是

①若动点“满足OP=04+尸8+PC，则点P为VABC的重心；

/\

②若动点/>满足。。=。4+2'i+生（4€R），则动点p的轨迹一定经过VA8C的内心；

1网MD

/\

③若动点“满足OP=OA+Z।+1「（2eR）,则动点产的轨迹一定经过VABC的重心：

、卜附西|AC|sinC

/\

AD4r

④若动点P满足。。=。4+2,—i—+1—i——（％eR）,则动点P的轨迹一定经过V/WC的垂心.

jAB|cosB|AC|cosC^

【答案】①②③@

【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案.

【详解】对于①，因为动点尸满足8=CM+P4+PC，所以AQ=P8+PC，则点户是VABC的重心，①正确.

丝+坐

对干②，OP=OA+A组+与(AeR),所以AP=Z(AeR),

ABACABAC\

所以点P在/ZMC的平分线所在直线上，所以动点尸的轨迹一定经过VA4c的内心，②正确.

4〃ACAHAC

对于③，OP=OA+A「一+j—―(2eR),所以AP=2「一+i—―(2GR),

ABsinB4CsinCA5sinB4CsinC

过点A作AO/BC,垂足为O,如下图:

A

则,4卜由3=卜。卜inC=ADt所以从A=+4C),

则点尸在3C边上的中线所在直线上，因此动点『的轨迹一定经过VA4c的里心，③止确.

/

ACABAC

对于④，OP=OA+A--------H-------------(AeR),所以A尸=%(&R),

ABcosBACcosCAB|COSBUCICOSC

\

Z

所以AP-〃C=/l।翼+|华.BC=/l(-|BC|+,d)=O,

JA“OS8|/1C|COSCJV117

所以APJ.BC，所以动点夕的轨迹一定经过VA8C的垂心，④正确.

故所有正确说法的序号是①②③④.

故答案为：①②③

【变式01】(2025高三・全国•专题练习)。为VA8C平面内一定点，该平面内一动点P满足

M=[P\OP=OA+A(\AB\sinBAB+\AC\sinCAC\A>0],则V人4C的()一定属于集合M.

A.重心B.垂心C.外心D.内心

【答案】A

【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出Wq-sin4=|AC|-sinC,代入关系式由向量的加减法化简,

得出AP与A。共线，由此得出点P的轨迹，得出答案.

【详解】

VA4c中，根据正弦定理,

BDC

解_凹.g|j|4B|.sinB=|AC|-sinC.

sin3smC

设f=b,.sinA=|同sinC,/>0,

所以00=04+力（44+4（7）,

•・♦OP=OA+AP>

：.AP=At^AB+AC^,

设。为AC中点，贝i」AQ=；（AB+AC）,故AP=2力AO,

所以AP,。共线，

•・・点尸的轨迹为射线4。（不含端点4）.

「.—ABC的重心一定属于集合M.

故选:A.

【变式02】（24-25高三下•甘肃兰州・月考）已知三角形ABC满足［卷AC=O,则三角形ABC

的形状一定是（）

A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义仃里+匹对应向量在的角平分线上，进而有”的

18Al\BC\

角¥分线与边AC垂直，结合等腰三角形的性质即可得.

【详解】由几何意义知，BA।BC对应向量在/4的角平分线上，

18Al\BC\

由篙+凝］・AC=。，即/〃的角平分线与边AC垂直，

所以三角形4BC的形状一定是等腰三角形.

故选：B

【变式03】（2025高三・全国•专题练习）已知V/WC所在的平面上的动点P满足A尸=%8%。+卜4/18,

则直线A〃一定经过VA8C的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】C

【分析】由题意可得4P=M6||AC|（忘AC+5的A8）,平行四边形法则知忘AC+册人8表示的向量在三

角形角4的平分线上，从而即可得答案.

【详解】解：因为AP=1A8|4C+|AC|48

AP=\AB\\AC\（-^—AC+-^—AB\

MC||叫

:•根据平行四边形法则知$/C+&A5表示的向量在三角形角4的平分线上，

|AC||A8|

而阿曼“与危3总反共线.

尸点的轨迹过V/1BC的内心.

故选：C.

题型五综合应用（“四心”+奔驰定理+极化恒等式）

方法点拨：第一步：关联垂心与奔驰定理，垂心对应的面积比=tanA:tanB:tanC；第二步：由奔驰定

理，向量系数比=面积比，直接提取瓦?、HB.前的系数作为tanA.tanB.tanC的比；第三步：复杂

场景可结合极化恒等式求数量积，或建立坐标系辅助计算，优先利用“四心”与奔驰定理的关联结论简

化推导。

【典例01］（24-25高三上•河北保定•期中）（多选）己知点O是VABC内的一点，则以下说法正确的有（）

A.2OA+OB+3OC=0»ABC>S分别表刁:V48C,A50c的面积，则&A8C：S/IBOC=3:1

/

一八IA8

若AO=2।-----------十，则动点O的轨迹一定通过V八笈C的重心

\ABsinB

ABCA

C.若。从<M+H则点。是VA4C的垂心

D.若E,尸，G分别为48.BC,4c的中点，且4C=BG=2,PAPC=0^则PEP产的最大值

.15

为Z

【答案】ABD

【分析】A选项，作出辅助线，得到-2OH=O尸，从而得到所以。尸=：44,即可判断；B选项，作出辅

22

助线，得到入。二网人尸，故点。在中线AF上，故向量一定经过VA3C的重心；C选项，佐出辅助线，

ABCA

得到网+同=用'，故OAJ.MN,并得到O在NA的平分线上，同理可得，。在N8,NC的平分线上.D

uiK1uurinn1inr

根据尸4尸。=0得到点尸的轨迹，将PE,P尸转化为8O+5GABO-]GA,然后求数量枳，根据点P的轨迹

求最值.

【详解】对于A：如图，RH分别为4cAe的中点，

2OA+OB+3OC=0=>2[OA+OC)+OB+OC=0,

则40"+20/=0，故-2OH=OF，

所以==

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故S必•：S人8c=1：3，A正确；

A

对于B：过点4作AE_LBC于点E，取BC的中点r，连接",

则网sinB=|AE|,|/ic|sinC=|/E|,

/x、

ADABAC22

贝i"O=Zi一j----+,一台一=2+

|Aj?|sinB|AC|sinCAE\M

故点O在中线所上，故向量一定经过VA3C的重心，B止确；

A

ABCA

对于c：网同分别表示4&CA方向上的单位向量AN,M4

的

MH=AN+MA=MN

A

=OAMN=b,故Q4_LMN,

由三线合•可得，。在NA的平分线上，同理可得，。在N及NC的平分线上,

则点。是VA8C的内心，C错误.

D选项，设BG中点为。,

因为尸4•尸C=0，所以点/）的轨迹为以AC为直径的圆,

结合上图，PEPF=[BE-