2025年高中数学考点预测：回归分析与独立性检验（原卷版）

第9讲回归分析与独立性检验

高考预测一：回归分析

1.如图是某地区2（）00年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.

投资额■

240

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了,，与时间变量/的两个线性回归模

型.根据2000年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,…，17）建立模型①:

5,=-30.4+135；根据2010年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,7）建立模

型②：^=99+17.5/.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

2.某公司为确定下一年度投入某种产品的

宣传费，需了解年宣传费工（单位：千元）

对年销售量），（单位：”和年利涧Z（单位：

千元）的影响，对近8年的年宣传费不和年

销售量），,4=1，2,8）数据作了初步处

理，得到如图的散点图及一些统计量的值.

表中叫二喜,记’一!£叱・

3r-i

附：对于一组数据（必，匕），（的,匕），…，

（w„>v„）,其回归直线v=a+侬狗斜率和截

距的最小二乘估计分别为

£（%-万）（匕-日）

/二旦-----------a=v-flu.

E（«,-w）2

（1）根据散点图判断y=〃+及和产c+d5G

哪一个适宜作为销售量），关于年宣传费x的

回归方程类型？（给出判断即可，不必说明

理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建

立），关于工的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与x、），的关

系为Z=0.2），T,根据（2）的结果回答下列

问题：

①年宣传费、=49时，年销售量及年利润的

预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最

大？

，年

600

510

3如

500

年宣传费（千元）

136384042444G如50325156

3.长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入%（百万元）和相应的销售额上（百

万元）进行了统计，其中i=l,2,3,4,5,对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些

统计量如下：

5

£（七-1）（凹-刃£(＞匕-访＞

%Z（叱一沔（丫一切

1=1r=lr=l/=11=1r=1r=1

6810.315.8-192.121.6020.463.56

其中吗=x；，i=1,2,3,4,5.

（1）根据散点图判断，、=历+。与），=c/+d哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入玉的回

归方程类型？（给出判断即兀，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立），关于x的回归方程，并据此估计月广告投

入200万元时的月销售额.

附：对于一组数据（对,片），他,匕），…，（/，匕），其回归直线箕=。+仇，的斜率和截距的最

£（4-万）（匕-万）

小二乘估计分别为：3----------,a=v-pu.

之（％-五）2

’月的仲靛万百万元•

3•.J

2

I

月广告投入*Fi万元

0---------------------------------------------------------------►

0.5I1.52

4.在党的十九大报告中，习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”；为响应总书记的号

召，某市旅游局计划共投入4千万元，对全市各旅区的环境进行综合治理，并且对各放

游量区收益的增加值作了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在

治理后收益的增加值，工作人员绘了下面的频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，

横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

（I）频率分布直方图中各小长方形的宽度相等，求这个宽度；

（II）旅游局在投入4千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收量增加值的平均数为多

少万元（以各组的区间中点值代表该组的取值）

（III）若旅游局投入的不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据：

投入治理经费X（单位：千万1234567

元）

收益的增加值），（单位：万元）232779

请将（II）的答案填入上表的空白栏，结果显示x与y之间存在线性相关关系.在优化环境

的同时＜旅游局还计划使全市旅游景区收益的总额至少增加10万元，试估计旅游局应该

对全市旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？（答案精确到0.01）

附注：回归直线方程+力中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

Z（x,-x）（y.-y）-际

b=--------=号-------，a=y-bx.

£（Z-工）2汽x；-欣,

r-lZ-l

收益的增加值（万元）

高考预测二：独立性检验

5.为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，〃药）的疗效，某机构随机地选取20位患

者服用A药，20位患者服用“药，观察这40位患者的睢眠改善情况.这些患者服用一段时间

后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：人），以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如

图茎叶图：

*药3药

8730.45789

51.1223456789

9877654332002.167

52103.23

（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；

（2）求这40名患者日平均增加睡眠时间的中位数机，井将日平均增加睡眠时间超过阴和不超

过股的患者人数填入如表的列联表:

超过/n不超过m

服用A药

服用B药

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为A,8两种药的疗效有差异？

2

a.2n（ad-he）

(a+b)(c+d)(a+<?)(/?+d)

而..%)0.010.0050.001

6.6357.87910.828

6.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个

网箱，测量各箱水产品的产量（单位:依），其频率分布直方图如图:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记4表示事件“旧养殖法的箱产量低于50依，新养

殖法的箱产量不低于50依”，住计A的概率;

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量＜50Ag箱产量..50伙

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.

附:

P(K\.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

7.某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，

甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80,90).[90,

100)>[100,110)>[110,120)[120,130),由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图:

(I)完成下面2x2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与

实施课题实验有关”吗？并说明理由；

成绩小于100分成绩不小于100合计

分

甲班a=____b=____50

乙班c=24d=2650

合计e=____f=一100

(II)现从乙班5()人中任意抽取3人，记看表示抽到测试成绩在[100,120)的人数，求彳的分

布列和数学期望

附：K2=--------吆^—--------»其中〃=。+力+。+4

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K?..k°)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.2046.6357.87910.828

8.某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系

统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并

用以估计所有学员对该学习平台的满意度.其中对教学成效满意率为0.9,课后跟踪辅导的满

意率为0.8,对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人.

(1)完成下面2x2列联表，并分析是否有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有

关.

人数对教学成效满对教学成效不满意合计

意

对课后跟踪辅导满意

对课后跟踪辅导不满

意

合计

(2)若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员

的续签率为90%,只对其中一项不满意的学员续签率为60%,对两项都不满意的续签率为

10%.从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数.

附：2x2列联表参考公式：K=----------n{ad-bc?-----,其中〃.

{a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值:

0.1000.0500.0250.0100.001

%