2026高考数学复习高效培优：平面向量（选填题）原卷版

专题03平面向量（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

包典例剖析他方法提炼色变式

题型01平面向量基本定理与坐标运算

题型02建系求向量最值和取值范围

题型（）3奔驰定理与三角形四心

题型04平面向量新定义

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

＞第一部分题型解码

题型01平面向量基本定理与坐标运算

典例剖析

【例1-1］（25-26高三上•辽宁・期中）在VA8C中，D为边BC上一点,且满足丽=2瓦设而=2标,

^e（OJ）,若存在实数"?，〃，使丽="［丽+〃而，则〃叶〃的取值范围是（）

A-刖B.加C.臣|D.仲,1

【例1・2】（2025•天津・高考真题）VA8C中，。为"边中点，CE=^CD,AB=a.AC=bf贝1］而=（用

a.B表示），若|A巨|=5.AE1CR,^\AE-CD=

方法提煤

1.共线向量基本定理

向量a（aWO）与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使得b=Xa.

2.平面向量基本定理

如果e；和正是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量占,都存在唯一的一对实数

4，办，使得〃=4e；+%e；,我们把不共线向量力，［叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e；,［｝,

44+4e；叫做向量不关于基底｛q,6｝的分解式.

3.线段定比分点

如图所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点,且瓦5=；IOC（丸工-1），则向量

4.三点共线定理（等和线）

平面内三点A,B,C共线的充要条件是：存在实数4",使OC=/IQ4+〃O后，其中4+〃=1,O为平面

内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

5.A、B、C三点共线

。存在唯一的实数2,使得4乙=%4月；

o存在唯一的实数2,使得03=。4+丸人//：

。存在唯一的实数2,使得oC=（i-㈤。4+2。月；

=存在丸+〃=1,使得=+〃。方

【变式I】（2025•天津河北•二模）如图，在VA3C中，点Q,七在边8c上，且丽=屁=用，点RM

UUUUUUIRILMBULRIU______

分别在线段A8,AO上，且AF=2正a2AM=M。，直线QW交AE于点G,且而=/荏，则2=.若

直线MC交AE于点N且△MNG是边长为1的等边三角形，则必.祝=.

【变式1・2】（2025.吉林松原.模拟预测）在菱形A3C。中，"=1,N/WC=9，E,/分别是边BC,C。的

中点，则人用人户=（）

933

U

13一---

A.8B.84D.8

【变式1・3】（2022•山东烟台三模）如图，边长为2的等边VABC的外接圆为圆。，点尸为圆。上任意一

点，^AP=xAB+yACf则2x+2y的最大值为（）

c

4

c.—D.1

3

题型。2建系求向量最值和取值范围

典例剖析

【例2・1】（2025•云南昭通・模拟预测）已知向量万万了满足阿=3旧=1,卜-5卜同=2卜-"，记

济=Z“feR）,则|筋-同的取值范围是（）

A.[>/2,+oo）B.[26-2,+00）C.（-8,26+2）D.[2>/3-2,2>/3+2-

【例2・2】（2025•北京海淀•一模）已知向量1（2,0）,|*1,则卜+4的最大值为；存入与々的夹

角的取值范围是.

方法提煤

平而向量建系解题的核心逻辑是“先选最优坐标系,再坐标化向量,最后用公式运算”，具体方法如下:

1.看图形特征定建系类型

1）含直角（直角三角形、矩形、正方形）：优先以直角顶点为原点，直角边为x、y轴（最省计算）；

2）对称图形（正六边形、菱形、圆）：以对称中心为原点，对称轴为坐标轴（利用对称性简化坐标）；

3）含特殊角（30°、45°、60。）：以特殊角顶点为原点，一力为x轴（用三角函数快速求坐标）；

4）无明显直角/对称：选线段中点、定比分点或公共顶点为原点，选任意不共线边为坐标轴（尽量减少参数）。

2.按图形性质求点坐标

1）利用边长、角度、对称关系（如中点坐标公式、定比分点公式）il算各顶点坐标，确保坐标无遗漏；

2）特殊图形结论直接用（如正六边形顶点坐标、菱形对角线垂直平分等），节省推导时间。

3.套用公式解决目标问题.

【变式2-1]（2025•河北邯郸•模拟预测）已知圆。：/+）,2=[和定点A（1,2）,若点P、Q分别为圆。外和

圆。上两点，且满足.伊@=1网，则的最小值为.

【变式2・2］（24-25高三上•上海•期末）在平面中，非零向量7尻1满足同=

，则同的最大值为.

【变式2・3】（2025高三・全国・专题练习）（多选题）给定两个长度为1的平面向量次和丽，它们的夹角

为:，如图所示，点。在以O为圆心的劣弧AB上运动，若灰=x）+_y丽C*），eR）,则汇+N的取值可

5

C.2D.

2

题型03奔驰定理与三角形四心

典例剖析

【例3・1］（25-26高三上•黑龙江期中）（多选题）下列命题中正确的是（）

A.若4=（3,4）石=（0,1）,则向量不在向量5方向上的投影向量为（0,4）

B.两个非零向量,出，若卜-可=同+忖，则值与5共线且反向

C.若jBvO,则向量M与5的夹角为钝角

D.若。为VA8C的外心，PA+PB+PC=2PO＞则/＞为V4BC的垂心

【例3・2】（2025.广东江门.模拟预测）已知点QG分别是V48C的外心,重心,AB=3,AC=2,则称而

的值为.

方法提煤

奔驰定理：设。是AABC内一点，A3OC,&4OC,A4O3的面积分别记作S.,S",Sc，则

SA-OA+SR,OB+Sc,OC—0.

奔驰定理与三角形四心

①若。为“WC的重心,则方+丽+玩=6；

②若。为△/WC的外心,贝iJsin2AE+sin2/r08+sin2CA=(j;

③若一。为△A8C的内心，UI1]a-OA4-b-OB+c-OC=6：备注：若。为AABC的内心,则

sinAOA+sinBOB+sinCOC=6也对.

④若。为AABC的垂心，则tanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

【变式3・1】（2025・湖南长沙•一模）（多选题）在0ABe中，内角A,B,C所对的边分别为mb,c,点M

是朋8c所在平面上一点，且戒=4通则下列说法正确的是（）

A.^0<2<1,0<//<1,0<A+A<1,则M在VA8c内部

B.若/l=〃=g,则M为V4BC的重心

211

C.若2=鼻,〃=可，则的面积是VA8C面积的-

D.若〃=2,c=3,N8AC=g,W为VA8C外接圆圆心，则义+〃=

31o

【变式3・2】（2025高三•全国・专题练习）（多选题）奔驰定理：己知。是VA6c内点,△GOC,^AOC,

V49B的面积分别为SA，SS，SC，则5邛+S"•加+S。•元=0.如图，设。是VA8C内一点，VA5c的三

个内角分别为AB。，/OC,△AOC,VAO8的面积分别为力凡£,若33+4万+5反=0,则以下

命题正确的有（）

B.。有可能是VA8C的重心

C.若。为VA8C的外心，则sinA:sinB:sinC=3:4:5

D.若。为VA8C的内心，则VA8C为直角三角形

【变式3・3】（2025•海南•模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年吴出定理：任意三角形的外心、重心和垂心

依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线.已知在

V45C中，AB=而，AC=2,且设V48c的外心为O,重心为G,垂心为“，若柘5=方+砺+元,

则实数2:；\OH\=.

题型04平面向量新定义

典例剖析

【例4.1】（2025•河南新乡•二模）已知7=（冷yj,4=仇，外）都是非零向量，定义新运算

aQb=xfx2+A,y2+x1x；+yix2y2,则“Z©石=0"是"21坂"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

mirtiuui

【例4・2】（2025•福建漳州•模拟预测）在平面直角坐标系xQy中，向量OA=a=（x“J,O8=>=（X2，M），

若万，B不共线，记以04，08为邻边的平行四边形的面枳5（'）=卜［%-工2,|.已知了讨=机两=”，

茄=方=焉+/，则里第潸=（）

A."+〃|B.I办IC.|2|+1//1D.，丝।

方法提煤

新定义问题需要认真审题，再结合已有的知识经验进行处理，具有一定的综合性.

【变式4・1］（24-25高三上•上海期中）我们称〃（〃为正整数）元有序实数组&,天，…，玉）为〃维向量，

|西|+国+…+同为该向量的范数.已知）维向量4=（不分其中七e{—1,0,1}。=1,2，…,小，记范数为

奇数的4的个数为4,则Ao=

【变式4・2】（2025•上海松江二模）设向量值=（再,）1）,5=（工2，）’2），记云云万=”］巧一）’1）'2•若点4、42、4为

圆C：f+）,2+4x—2），=0上任意三点，且满足44_1&儿，则|明顺可+砥网的取值范围

是.

【变式4-3］（2025•四川成者B•三模）（多选题）对于空间中一组向量4（，=1,2,3）,若存在不全为零的实数

&。=1.2.3）使得4用+&4+&同=6,则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（）

A.若、=（-1,1,1）,5=（-2,2,2）,d=（3,1,-4）,则不,.。线性相关

B.若4=5=（1,2,3）,"（2,3,4）,则日，g,。线性无关

C.若4,a2t小线性无关，则4-访，24-34，4-4线性相关

D.对于非零向量4，4,若存在实数x,y使得如二防也+阿依，则4，丁，4线性相关

>第二部分强化实训

1.（2025•湖北•模拟预测）己知网=画=3,|祠=3&，点。（4,2）,O为坐标原点，贝U|以+：围的最

小值是（）

A.@B.空C.石D.475

33

2.12025•四川成都•一模）在平行四边形A4CO中，BC+3CE=6f/是线段。石的中点，连接30交加'于

O,若4。=〃?4厂，则加=（）

342

A.1B.-C.-D.一

433

3.（2025•广东江门•模拟预测）已知向量,上分别表示位移“向北偏东60"方向2km""向东偏南30“方向3km”,

则向量%-25表示位移（）

A.向正北方向6kmB.向正南方向6km

C.向西北方向6/kmD.向东南方向6应km

4.12025•浙江金华・一模）设。为两个非零向量31所成的角，已知对任意/wR,|2-南|的最小值为g|£|,

则8=（）

冗-兀-兀-5兀>兀-27c

A.-B.-C.一或—D.一或—

636633

5.（25-26高三上•天津滨海新•月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一

个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFG〃的边长为4,P是

正人边形ABCDEFGH边上.任意一点,则以下结论正确的个数是（）

①PCPD的最大值为48+32x/2

②而在方向上的投影向量为-竽

③m+3=6"

④若函数〃X）=|屁7觉则函数/（X）的最小值为6+2夜

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.12025•上海奉贤•一模）在平面中，和月是互相垂直的单位向量，向量。满足k-64=1,向量B满足

M